解讀知識核心，探討破題策略

唐凝

[摘? 要] 函數(shù)零點(diǎn)問題的探究教學(xué)，需要關(guān)注其中的核心知識和類型問題的解題思路，核心知識包括定理定義、零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系、數(shù)形策略，而常見的類型問題有零點(diǎn)個(gè)數(shù)、范圍、參數(shù)取值等. 文章深入解讀零點(diǎn)核心知識，圍繞具體問題探討解題策略.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);零點(diǎn);知識;定理;問題;建議

[?]問題綜述

函數(shù)零點(diǎn)問題是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)問題的綜合性和關(guān)聯(lián)性極強(qiáng)，常與不等式、方程、幾何等知識相結(jié)合，在高考中常出現(xiàn)在選擇題、壓軸導(dǎo)數(shù)問題中. 零點(diǎn)問題不僅包含了函數(shù)、零點(diǎn)知識，其中也隱含了數(shù)學(xué)方法和思想，如常見的數(shù)形結(jié)合、分離參數(shù)、化歸轉(zhuǎn)化、換元等. 函數(shù)零點(diǎn)問題可全面考查學(xué)生對函數(shù)知識的理解和數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的能力. 問題探究建議立足函數(shù)零點(diǎn)的核心知識，深刻理解定理定義內(nèi)涵，整理常見的問題類型，歸納解題方法. 下面從“知識解讀”和“問題探究”兩個(gè)環(huán)節(jié)對函數(shù)零點(diǎn)問題進(jìn)行探討.

[?]知識解讀

掌握函數(shù)零點(diǎn)問題的知識核心，理解定義定理的知識內(nèi)涵是問題突破的基礎(chǔ). 關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)問題，需要關(guān)注以下幾點(diǎn).

1. 函數(shù)零點(diǎn)的定義

對于函數(shù)y=f（x），教材中定義使f（x）=0的實(shí)數(shù)x稱之為函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).

分析上述定義，可知函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根，也是y=f（x）圖像與坐標(biāo)x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 在探究學(xué)習(xí)時(shí)需要關(guān)注以下兩點(diǎn)：一是定義中的函數(shù)零點(diǎn)不是單純的“點(diǎn)”，而是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo);二是注意類比導(dǎo)數(shù)極值點(diǎn)，同樣極值點(diǎn)也不是“點(diǎn)”，而是函數(shù)取得極值時(shí)x的值. 但無論是函數(shù)零點(diǎn)，還是極值點(diǎn)，通過觀察圖像可初步確定.

2. 函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系

根據(jù)上述對函數(shù)零點(diǎn)的定義分析可知，函數(shù)零點(diǎn)有如下三個(gè)等價(jià)關(guān)系：

函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)?方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn).

對于上述三個(gè)等價(jià)關(guān)系，可從方程實(shí)數(shù)根、與x軸的交點(diǎn)來把握函數(shù)的零點(diǎn)，同時(shí)建立零點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的個(gè)數(shù)、交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)聯(lián).

3. 函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理

函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的內(nèi)容較為豐富，首先呈現(xiàn)其定理，然后分段理解.

定理：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c也就是方程f（x）=0的根.

定理的內(nèi)容可分為三段，第一段描述函數(shù)的連續(xù)性，第二段描述函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，第三段進(jìn)行零點(diǎn)確定. 在理解時(shí)需要把握定理的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是函數(shù)圖像的連續(xù)性，如果函數(shù)的圖像不連續(xù)，則不能保證端點(diǎn)值異號就一定有零點(diǎn);二是兩端點(diǎn)函數(shù)值滿足f（a）·f（b）<0，實(shí)則表示與x軸有交點(diǎn);三是定理描述的存在零點(diǎn)，指的是至少存在一個(gè)零點(diǎn)，并沒有說明具體的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，后續(xù)還需結(jié)合相關(guān)知識進(jìn)行確認(rèn)判斷.

4. 函數(shù)零點(diǎn)問題的解析策略

函數(shù)零點(diǎn)問題往往基于函數(shù)知識而構(gòu)建，而函數(shù)具有“數(shù)”與“形”兩大知識屬性，因此數(shù)形結(jié)合是解析該類問題的核心策略. 解析時(shí)可利用函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，從而將抽象的函數(shù)直觀化、具體化. 學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合策略要側(cè)重以下幾點(diǎn)：一是熟悉常見初等函數(shù)的圖像;二是搭配參數(shù)分析法，對于較為復(fù)雜的函數(shù)，可先進(jìn)行參數(shù)分離，將復(fù)合函數(shù)等效轉(zhuǎn)化，然后利用數(shù)形結(jié)合繪制圖像.

[?]問題探究

函數(shù)零點(diǎn)問題的類型較為眾多，常見的包括求零點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷零點(diǎn)的區(qū)間，分析參數(shù)取值，以及探究復(fù)合函數(shù)等，下面結(jié)合實(shí)例加以解讀探究.

類型一：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或區(qū)間問題

函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題較為常見，問題難點(diǎn)主要集中在函數(shù)性質(zhì)判斷和方法選取上. 求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)一般有以下三種方法：①直接解方程，即將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，求方程的解來確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù);②研究函數(shù)單調(diào)性和端點(diǎn)值，單調(diào)函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，則可將其分解為單調(diào)區(qū)間上的零點(diǎn)存在性問題，該方法常結(jié)合導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)性質(zhì);③構(gòu)造函數(shù)法，根據(jù)對應(yīng)的方程來構(gòu)建兩個(gè)函數(shù)，則零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，該方法常搭配圖像使用.

例1：函數(shù)f（x）=ex-

x

3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（? ）

A. 1? B. 2? C. 3? D. 4

解析：①當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=ex+x3，對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ex+3x2>0，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又知f（-1）=e-1-1<0，f（0）=1>0，則此時(shí)函數(shù)f（x）=ex-

x

3有唯一的零點(diǎn).

②當(dāng)x>0時(shí)，令f（x）=ex-x3=0，可解得ex=x3?x=3lnx，原函數(shù)的零點(diǎn)就為函數(shù)g（x）=x-3lnx的零點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為g′（x）=1-. 當(dāng)x>3時(shí)，g′（x）=1->0，則函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)3>x>0時(shí)，g′（x）=1-<0，函數(shù)單調(diào)遞減，又知g（3）=3-3ln3=3（1-ln3）<0，g（1）=1>0，g（6）=6-3ln6=3（2-ln2）>0，所以原函數(shù)在區(qū)間3>x>0和x>0上各有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，選C.

評析：上述在求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)采用了分類討論、導(dǎo)函數(shù)分析的策略，即方法二，問題的難點(diǎn)主要有兩點(diǎn)：一是除去絕對值符號，這也是后續(xù)分類的標(biāo)準(zhǔn);二是解析指數(shù)函數(shù)ex的性質(zhì). 求零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，需要關(guān)注區(qū)間的端點(diǎn)位置、斷點(diǎn)位置.

類型二：討論函數(shù)零點(diǎn)的范圍

函數(shù)零點(diǎn)范圍問題關(guān)注的是零點(diǎn)的范圍，可結(jié)合零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)性質(zhì)來解析. 解析時(shí)首先分析函數(shù)是否連續(xù)，若不連續(xù)則需分段求解，然后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)論證零點(diǎn)的取值范圍;若函數(shù)中的參數(shù)對單調(diào)性有影響，則須討論參數(shù)取值.

例2：（2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+bx+c，曲線y=f（x）在點(diǎn)

，f

處的切線與y軸垂直.

（1）求b;

（2）若f（x）有一個(gè)絕對值不大于1的零點(diǎn)，證明：f（x）所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.

解析：（1）過程略，b=-. （2）可知f（x）=x3-x+c，導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x2-，令f′（x）=0，可解得x=-或x=，則f′（x）和f（x）的取值情形如表1.

①由于f（1）=f

-

=c+，所以當(dāng)c<-時(shí)，f（x）只有大于1的零點(diǎn);

②由于f（-1）=f

=c-，所以當(dāng)c>時(shí)，f（x）只有小于-1的零點(diǎn);

③由題設(shè)可知-≤c≤，則當(dāng)c= -時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為-和1;當(dāng)c=時(shí)，f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為-1和;

④當(dāng)-

-1，-

，x∈

-，

，x∈

，1

.

綜上可知，若f（x）有一個(gè)絕對值不大于1的零點(diǎn)，則f（x）所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.

評析：上述證明特定條件下f（x）的零點(diǎn)均不大于1，采用了函數(shù)性質(zhì)分析和參數(shù)取值討論的策略，分別討論參數(shù)對函數(shù)零點(diǎn)取值范圍的影響. 對于零點(diǎn)取值問題，需要把握兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是函數(shù)零點(diǎn)是否存在;二是參數(shù)對零點(diǎn)取值的影響.

類型三：根據(jù)零點(diǎn)條件求參數(shù)取值

零點(diǎn)條件下的參數(shù)取值問題常采用數(shù)形結(jié)合的方法，將問題等效為方程問題，后續(xù)采用構(gòu)造法突破，另外又分參數(shù)分離和整體構(gòu)造兩種：①參數(shù)分離構(gòu)造法，將參數(shù)變換到等號一側(cè)，另一側(cè)則可構(gòu)造函數(shù)，只需研究一側(cè)函數(shù)的取值即可;②整體構(gòu)造，常結(jié)合函數(shù)圖像，但需要逐步討論參數(shù)取值.

例3：已知函數(shù)f（x）=lnx-2ax恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____.

解析：f（x）=lnx-2ax有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程lnx=2ax有三個(gè)解，基于方程構(gòu)造函數(shù)y=lnx和y=2ax，則轉(zhuǎn)化為y=lnx和y=2ax的函數(shù)圖像有三個(gè)交點(diǎn). 又知y=2ax為經(jīng)過原點(diǎn)的直線，可繪制圖1所示圖像.

①當(dāng)a≤0時(shí)，由圖可知，函數(shù)y=lnx和y=2ax沒有三個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件.

②當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)y=2ax為y=lnx的切線時(shí)，方程lnx=2ax有兩個(gè)解. 令y=2ax為y=lnx的切線，設(shè)切點(diǎn)A（x，lnx），則切線方程為y-lnx=（x-x），由于切線經(jīng)過原點(diǎn)，則可解得x=e，此時(shí)切線的斜率為. 根據(jù)題意可得0<2a<，即a∈

0，

時(shí)原函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).

評析：上述探究零點(diǎn)條件下參數(shù)的取值，解析時(shí)采用函數(shù)構(gòu)造的方法，將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)問題，后續(xù)結(jié)合圖像進(jìn)行參數(shù)取值討論，有效降低了思維難度. 其中涉及了分類討論、函數(shù)構(gòu)造、數(shù)形結(jié)合等策略，技巧性極強(qiáng).

[?]總結(jié)思考

上述重點(diǎn)探究了函數(shù)零點(diǎn)問題解析的核心知識，并結(jié)合考題探討常見類型問題的突破思路，其中的知識核心是教學(xué)的重點(diǎn)，開展類型探究則有利于提升學(xué)生的解題能力.

開展零點(diǎn)問題探究，要立足核心知識，關(guān)注問題的定理定義及等價(jià)關(guān)系，探索問題的轉(zhuǎn)化策略和解析思路. 教學(xué)中可從以下幾個(gè)方面引導(dǎo)：一是方程的根、函數(shù)圖像交點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系，該內(nèi)容是后續(xù)問題轉(zhuǎn)化的核心依據(jù);二是深入解讀定理，零點(diǎn)存在性定理較為抽象，教學(xué)中可結(jié)合基本函數(shù)具體講解，關(guān)注定理的核心要點(diǎn);三是總結(jié)問題的解析策略，從上述問題的探究過程來看，化歸轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造函數(shù)、參數(shù)分離是該類問題突破的常用策略，教學(xué)中有必要引導(dǎo)學(xué)生理解方法內(nèi)涵、掌握方法技巧，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn).