從“植樹問題”談小學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)

黃麗鳳

數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用是學(xué)生體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)與外界聯(lián)系的途徑。隨著年級(jí)的升高，學(xué)習(xí)內(nèi)容在不斷加深，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表現(xiàn)得越來越不適應(yīng)，解決問題的能力低下，這與學(xué)生在學(xué)習(xí)中沒有形成模型意識(shí)有關(guān)系?！爸矘鋯栴}”是人教版五上“數(shù)學(xué)廣角”中的內(nèi)容，這類探索規(guī)律的問題是小學(xué)階段典型的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)中往往覺得抽象難懂。因此，在教學(xué)時(shí)應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)知識(shí)的形成過程，滲透模型思想，提高建模能力，逐步建立“植樹問題”的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決生活中的實(shí)際問題，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升。

一、在教材編排中尋找模型

教材是開展教學(xué)活動(dòng)的重要根據(jù)。由于小學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的特殊性，教材在編排時(shí)會(huì)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況把一個(gè)知識(shí)點(diǎn)分布在各個(gè)學(xué)段逐步滲透、深化，呈螺旋式上升的態(tài)勢(shì)進(jìn)行編排?！爸矘鋯栴}”屬于“探索規(guī)律”的內(nèi)容，學(xué)生早在一年級(jí)下冊(cè)第七單元“找規(guī)律”的學(xué)習(xí)中就有最初的感知和探索，但此時(shí)的他們只能通過具體的人或事物進(jìn)行感性認(rèn)知。例如，在一列站好的10個(gè)女生中，相鄰兩個(gè)女生之間站一個(gè)男生，問一共有多少個(gè)男生？又如，二年級(jí)上冊(cè)“表內(nèi)乘法（二）”單元“練習(xí)二十”第8題（如下圖所示）。以及在三、四年級(jí)學(xué)習(xí)除法內(nèi)容時(shí)的練習(xí)中也出現(xiàn)像“1，2，2，3，1，2，2……這樣排列中，第60個(gè)是什么數(shù)字”的問題。

可以看出，教材的編排中對(duì)植樹問題的相關(guān)知識(shí)早有滲透，并且其中的“間隔長×間隔數(shù)=總長”與“總長÷間隔長=間隔數(shù)”這兩個(gè)關(guān)系式，學(xué)生早在學(xué)習(xí)乘除法內(nèi)容時(shí)就已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了。因此教師在開展植樹問題的教學(xué)前，就要根據(jù)教材編排的特點(diǎn)，幫助學(xué)生把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)串成一條有聯(lián)系的知識(shí)鏈，讓學(xué)生有根可尋、有據(jù)可依，為數(shù)學(xué)模型的建立找到最初的原型。

二、在問題探究中建立模型

數(shù)學(xué)模型的建立，需要學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)探究的過程，而不應(yīng)該是教師簡單地給予。知識(shí)應(yīng)由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、歸納，這樣的獲得才能終身受益。如何讓學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上，建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型呢？

1. 創(chuàng)設(shè)情境，喚醒學(xué)生對(duì)間隔的認(rèn)識(shí)。

現(xiàn)階段，學(xué)生年齡小、認(rèn)知水平較低，沒能形成主動(dòng)的建模意識(shí)，建模能力的培養(yǎng)也存在困難。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的建立還做不到主動(dòng)觀察和主動(dòng)探究，因此，課堂上教師要精心選擇學(xué)生熟悉的生活素材，學(xué)生才能在熟悉的現(xiàn)實(shí)問題中激起對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣，為順利建模做好鋪墊。教學(xué)時(shí)，筆者將學(xué)生熟悉的“某品牌3+2”餅干作為導(dǎo)入的載體，讓他們形象直觀地借助餅干與餅干之間的夾心認(rèn)識(shí)“間隔”，理解兩層夾心就是2個(gè)間隔。緊接著，筆者讓學(xué)生張開自己的手掌，觀察5根手指，數(shù)數(shù)有幾根手指和幾個(gè)間隔。設(shè)置這些看似與植樹問題不相干的事物的探究環(huán)節(jié)意在讓學(xué)生親身體會(huì)不同的事物或現(xiàn)象之間存在著相同的數(shù)學(xué)本質(zhì)，既符合學(xué)生好奇、求真的心理特征，又讓學(xué)生快速體驗(yàn)到不同類型的間隔，為解決后續(xù)植樹問題做好鋪墊。讓學(xué)生將如“餅干夾心”“手指縫隙”等生活問題抽象出數(shù)學(xué)問題，初步感知數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在，進(jìn)而為更快地建立數(shù)學(xué)模型助力。

2. 經(jīng)歷探究，建立模型。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重視學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，對(duì)于植樹問題教學(xué)的中心環(huán)節(jié)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活實(shí)例，可以為他們探究新知提供經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。植樹問題模型的關(guān)鍵在于分割，與學(xué)生對(duì)間隔規(guī)律的掌握有很大聯(lián)系。因此，筆者創(chuàng)設(shè)聯(lián)歡會(huì)舞臺(tái)布置情境，讓學(xué)生體驗(yàn)每1米放一盆花，以及紅黃氣球間隔排列等類型的規(guī)律認(rèn)知，自動(dòng)喚醒學(xué)生對(duì)“總長、間隔長、間隔數(shù)”的最初認(rèn)知。這樣在校園植樹的問題情境中，學(xué)生也就能順利地在理解題意的前提下明確“總長”“間隔長”“間隔數(shù)”之間的關(guān)系是：間隔數(shù)=總長÷間隔長;接著引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方式設(shè)計(jì)植樹方案，變抽象為形象，在實(shí)際操作中初步感受植樹問題的“兩端都種”“只種一端”和“兩端都不種”三種情況，以畫圖的形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，為全面構(gòu)建植樹問題的數(shù)學(xué)模型，建立棵數(shù)、段數(shù)與間隔數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也為學(xué)生能描述植樹問題的本質(zhì)特征做好準(zhǔn)備。在此基礎(chǔ)上，筆者再次組織學(xué)生以小組合作的方式開展填表活動(dòng)，開放間隔長度，為學(xué)生提供多次的“植樹”探究機(jī)會(huì)，重點(diǎn)引導(dǎo)他們聚焦間隔數(shù)與棵數(shù)的關(guān)系，充分發(fā)揮學(xué)生的合作交流能力，逐步發(fā)現(xiàn)隱含其中的規(guī)律，歸納數(shù)量關(guān)系，即兩端都種（間隔數(shù)+1=棵數(shù)）、只種一端（間隔數(shù)=棵數(shù)）、兩端都不種（間隔數(shù)-1=棵數(shù)），建立數(shù)學(xué)模型。符合學(xué)生發(fā)展規(guī)律的探究活動(dòng)，是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷驗(yàn)證、分析和概括等思維的過程，也是學(xué)生形成策略性知識(shí)發(fā)展的過程，模型思想的生發(fā)與建模能力的提高也在此過程中得到體現(xiàn)。

三、在知識(shí)應(yīng)用中發(fā)展模型

學(xué)生經(jīng)歷充分的探究活動(dòng)建立起來的數(shù)學(xué)模型，并不是一節(jié)課學(xué)習(xí)的終點(diǎn)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將已經(jīng)生成的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行拓展，衍生出新的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)建模的能力。植樹問題數(shù)學(xué)模型是從學(xué)生熟悉的生活中來，為了讓學(xué)生體驗(yàn)建模的意義，理應(yīng)回到現(xiàn)實(shí)生活中去，發(fā)揮模型的最大的應(yīng)用價(jià)值。如鋸木頭問題：把一根木料鋸成4段，每鋸一次用6分鐘，一共要用多少分鐘？聯(lián)系植樹問題中的兩端不種模型“間隔數(shù)-1=棵數(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生理解這是要解決鋸的次數(shù)問題，因?yàn)槎螖?shù)比次數(shù)多1，即段數(shù)=次數(shù)+1，次數(shù)=段數(shù)-1，所以（4-1）×6=18（分）。學(xué)生只要理解并掌握了這個(gè)數(shù)學(xué)模型，此類鋸木頭問題也就迎刃而解了。又如爬樓問題：陳老師從1樓走到3樓走了38級(jí)臺(tái)階，如果要從1樓走到7樓要走多少級(jí)臺(tái)階？通過分析，學(xué)生明白這是植樹問題中求間隔數(shù)的問題，理解從1樓走到3樓，層數(shù)為3-1=2（層），所以從1樓走到7樓，層數(shù)就為7-1=6（層），所以一共要走38÷2×6=114（級(jí)）。當(dāng)然還有敲鐘問題、安裝路燈問題等等都可以跟植樹問題緊密聯(lián)系。通過大量的實(shí)踐運(yùn)用，植樹問題的模型得到拓展，進(jìn)而應(yīng)用模型解決更多類似的生活問題，充分體驗(yàn)建立、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型帶來的方便，讓模型思想深入人心，建模能力得以提升。

模型思想是學(xué)生應(yīng)具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，它的建立與發(fā)展需要學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，不斷完善學(xué)生的建模意識(shí)與建模能力。為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，遵循數(shù)學(xué)教材的編排特點(diǎn)，將知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系貫穿于建模過程;聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，并提供充足的時(shí)間和豐富的實(shí)踐材料引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究歸納、實(shí)踐總結(jié)、深化理解等的學(xué)習(xí)活動(dòng)，逐步建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，并在應(yīng)用中讓數(shù)學(xué)模型呈動(dòng)態(tài)發(fā)展，更好地解決生活中的實(shí)際問題。

（作者單位：福建省三明市梅列區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 本專輯責(zé)任編輯：王彬）