在課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的實踐探究

陸一烽

關(guān)鍵詞 課堂探究;數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)問題;理性思維

中圖分類號 G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

文章編號 2095-5995（2021）12-0050-03

一、在課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的意義

作為教材的重要組成部分，數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的重要內(nèi)容。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，是一座取之不盡、用之不竭的寶藏，例如《九章算術(shù)》更相減損術(shù)、秦九韶算法、割圓術(shù)、楊輝三角、勾股定理、坐標(biāo)法與吳文俊的機器證明等，都蘊含著深刻的價值觀念與文化精神追求?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中指出：“數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動?！毙抡n程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入課程內(nèi)容，并通過學(xué)業(yè)水平考試與高考命題來考查學(xué)生對于數(shù)學(xué)文化的掌握情況。

實際上，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中往往存在數(shù)學(xué)文化內(nèi)容“好看而沒有用”的現(xiàn)象。數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心是思維，要提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)本質(zhì)上就是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)真正融入數(shù)學(xué)文化要基于課堂探究，以發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力為前提;同時還需要讓學(xué)生在經(jīng)歷用數(shù)學(xué)看待問題、分析問題、解決問題的過程中形成數(shù)學(xué)意識和積極的情感、態(tài)度、價值觀。

二、在課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的實踐

（一）試題呈現(xiàn)

2021年無錫高三數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測卷第15題是一道以中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化為背景的填空題。試題如下：

我國南北朝時期的祖暅提出“冪勢既同，則積不容異”，即祖啦原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總是相等，那么這兩個幾何體的體積相等（如圖1）。在xOy平面上，將雙曲線的一支x²/4-y²=1（x>0）及其漸近線y=1/2x和直線V=0，y=2圍成的封閉圖形記為D，如圖2中陰影部分。記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為Ω，利用祖啦原理試求Ω的體積為_______。

該題文化氣息濃郁，耐人尋味，對考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)有著積極的意義。但從閱卷情況來看，該題的市均分非常低，不到1分。通過對學(xué)生的調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生解答該題時面臨的困難主要在于：雖然高一時了解過祖暅原理，題目中也有祖咂原理的描述，但是在解題時不知道該如何運用。

（二）追根溯源

（三）課堂探究

既然教材留下了探究的空間，而學(xué)生又往往缺少自主探究的積極性，那么教師則應(yīng)該做好引路人和合作者。筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的一個主要作用就是要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會探究。

1.提出問題

在課堂教學(xué)時，教師要先明確探究的問題。以新版蘇教版教材為例，“倒沙實驗”表面上是讓學(xué)生驗證球體積公式，其實質(zhì)到底是什么？在“倒沙實驗”中，為什么要檢驗半徑為R的半球體積等于底面半徑和高都為R的圓柱，挖去一個以上底面為底面、下底面圓心為頂點的圓錐后的體積？這個想法到底是怎么出來的？怎樣用祖暅原理證明這兩個幾何體的體積相同？

2.分析問題

師：祖咂原理的適用前提是什么？

生：是兩個等高的幾何體，并且這兩個幾何體在所有等高處的水平截面的面積相等。

師：我們想象這樣一個場景，遙遠(yuǎn)的古代，數(shù)學(xué)家正在冥思苦想球體積的計算方法，正是因為古人不知道球體積公式，所以只能探索新的計算思路。這一計算思路應(yīng)該建立在充分運用祖咂原理的基礎(chǔ)上。

生：會不會想到構(gòu)造一個與半球這個幾何體等高并且任意水平截面積相等的一個幾何體？

師：你的想象力太豐富了！大家繼續(xù)想一想這是怎樣的一個幾何體呢？

生：這個幾何體應(yīng)該越往下，水平截面面積越大，越往上水平截面面積越小，直至0。

生：那這個幾何體是不是就是那個幾何體！那個底面半徑和高都為R的圓柱，再挖去一個以上底面為底面、下底面圓心為頂點的圓錐后的幾何體呢？

師：怎樣可以嚴(yán)格地證明這兩個幾何體的體積相同呢？我們來試試吧。用一個水平截面去截這兩個幾何體，假設(shè)水平截面到底面的高為h，0≤h≤R，我們先來看這個水平截面半徑為R的半球所得的截面是什么圖形？

生：應(yīng)該是一個圓面。

師：它的半徑是多少呢？

師：太棒了！那么水平截面去截一個底面半徑和高都為R的圓柱再挖去一個以上底面為底面、下底面圓心為頂點的圓錐后的幾何體，所得的截面是什么呢？

生：還是圓面。

三、教學(xué)啟示與反思

為什么一道本不難的題目得分如此之低？筆者嘗試從心理學(xué)視角加以分析。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)角度分析，APOS的四個學(xué)習(xí)層次是合理的（如圖3所示）。

“活動”階段是學(xué)生理解概念的一個必要條件，豐富的數(shù)學(xué)文化背景是實施數(shù)學(xué)活動的良好載體。如祖咂原理中，學(xué)生通過取一摞書堆放在桌面上，輕推一下，發(fā)現(xiàn)這個幾何體的形狀發(fā)生改變，高度沒有發(fā)生改變，所以能直觀感受到體積也沒有發(fā)生改變。在“倒沙實驗”中，學(xué)生至少知道了半徑為R的半球體積等于底面半徑和高都為R的圓柱，挖去一個以上底面為底面、下底面圓心為頂點的圓錐后的體積。但是活動所得的經(jīng)驗很多基于直觀，并不深刻。“程序”階段是學(xué)生對活動的思考，例如為什么這摞書的體積沒有改變？在教材的“倒沙實驗”中，為什么會構(gòu)造這樣一個特殊的幾何體，來證明它的體積和半球的體積相等？這些都是學(xué)生對活動進(jìn)行反思后，經(jīng)歷思維的內(nèi)化后才能抽象出來的問題。“對象”階段指通過前面的抽象認(rèn)識到了概念的本質(zhì)，如祖咂原理的探究中，學(xué)生終于認(rèn)識到因為兩個幾何體在任意一個水平面的截面積相等，再加上它們的高相同，所以它們的體積才相同，這時祖咂原理在腦海里轉(zhuǎn)化為一個具體的對象。所有經(jīng)歷的這些學(xué)習(xí)活動、程序、對象，最終和其他概念、規(guī)則、經(jīng)驗等在頭腦中形成“圖式”。心理學(xué)認(rèn)為，以上過程一般不能逾越。這也從心理學(xué)上解釋了為什么要重視數(shù)學(xué)探究？因為學(xué)生經(jīng)過自己真正探究、理解過后的原理、概念、定理才能真正形成“圖式”且被靈活運用。

因此，教師應(yīng)在課堂中真正融入數(shù)學(xué)文化，通過數(shù)學(xué)探究活動，有意識地挖掘教材中的數(shù)學(xué)文化。對于學(xué)生在自主研究時有困難的部分內(nèi)容，師生可以引導(dǎo)學(xué)生共同探究、積極思考、厘清脈絡(luò)，這既有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，也有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)知識，提升學(xué)生的科學(xué)精神。對于教學(xué)重難點，尤其是重要的數(shù)學(xué)概念、定理、方法，教師要通過數(shù)學(xué)探究等活動，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)的思維活動，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，幫助學(xué)生在生成概念、發(fā)現(xiàn)定理、探求證明上有所收獲。在探究過程中，教師要以數(shù)學(xué)問題為核心，以分析問題為主線，以問題的解決為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。

責(zé)任編輯：劉源