借助“形感”加深對幾何圖形的認(rèn)識和理解

蒙裕勁

【摘要】本文闡明數(shù)學(xué)空間形式中的“形感”概念，闡述“從簡單到復(fù)雜”“從特殊到一般，再從一般到特殊”的圖形的兩條變化規(guī)律，講解“完整形”和“殘缺形”及其發(fā)展關(guān)系，即從圖形發(fā)生和發(fā)展的兩條主線以及“完整形”和“殘缺形”兩個形來展開論述，揭示圖形之間的變化規(guī)律，加深對幾何圖形的認(rèn)識，并以例助講將“殘缺形”補(bǔ)成“完整形”的方法。

【關(guān)鍵詞】幾何 圖形規(guī)律 形感

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）21-0136-02

《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對數(shù)學(xué)的定義是：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！睌?shù)量關(guān)系和空間形式，就是我們常常簡稱為“數(shù)”與“形”的兩個對象。幾何的研究對象是“形”，即常說的圖形。本文從圖形發(fā)生和發(fā)展的兩條主線以及“完整形”和“殘缺形”兩個形來展開論述，以揭示圖形之間的變化規(guī)律，加深對幾何圖形的認(rèn)識。

一、關(guān)于圖形的一個基本概念“形感”

數(shù)量關(guān)系和空間形式我們常常以“數(shù)”和“形”簡稱之。對于“數(shù)”，課標(biāo)里有與之相應(yīng)的“數(shù)感”，認(rèn)為“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估算等方面的感悟，建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系”。對于“形”呢？為什么沒有“形感”一詞呢？筆者認(rèn)為，“形感”在初中幾何里，是至關(guān)重要的一種能力，也可以說是對形的一種感覺。什么是“形感”呢？筆者模仿“數(shù)感”給它下一個定義：“形感，主要是指關(guān)于圖形、圖形關(guān)系以及圖形中的數(shù)量關(guān)系等方面的感悟，建立形感有助于學(xué)生理解圖形，理解和表述圖形中的數(shù)量關(guān)系”。舉例如下：

1.數(shù)量關(guān)系

正確的形感：線段a大于線段b? ? ?角1大于角2

2.位置關(guān)系

正確的形感：兩線垂直? 兩線不垂直? 兩線平行? 兩線不平行

在圖形的研究過程中，我們常常遇見兩種情況。一是看起來不像，但事實上它就是;二是看起來很像，但事實上它卻不是。這兩種情況往往都跟“形感”有緊密的聯(lián)系。在解題過程中，我們也往往有這樣的解題經(jīng)驗，看著題目提供的圖，實在是沒有解題的思路，怎么看都不像，于是，自己根據(jù)題目的已知條件重新畫一個圖，一下子就找到思路了，這也跟“形感”有緊密聯(lián)系。

我們知道，數(shù)學(xué)活動的過程常有這樣幾個環(huán)節(jié)：觀察、猜想、論證、下結(jié)論。在從觀察得出猜想的過程中，“形感”往往起到關(guān)鍵的作用。

綜合以上觀點，正確“形感”的建立至關(guān)重要。那么怎么建立呢？

二、幫助學(xué)生建立“形感”

明白了“形感”的概念，那么如何幫助學(xué)生建立正確的“形感”呢？結(jié)合筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗，從下面兩點來談一談。

（一）利用圖形網(wǎng)絡(luò)深刻揭示關(guān)于圖形的兩條變化規(guī)律

1.“從簡單到復(fù)雜”規(guī)律

圖形的發(fā)生和發(fā)展，有其自己特有的規(guī)律，其中的一條就是“從簡單到復(fù)雜”。我們不妨回顧幾個基本圖形的學(xué)習(xí)過程，舉例如下：

直線系列：從一條線，到兩條線再到三條線。知識從一條線中的直線有兩個延伸方向，到相交線的對頂角和鄰補(bǔ)角，再到“三線八角”。

射線系列：從一條射線，到有公共頂點的兩條射線（角），再到有公共頂點的三條射線（角的大小比較）。

“從簡單到復(fù)雜”的規(guī)律，我們亦可以認(rèn)為是基本圖形的疊加，生成新的基本圖形，新的基本圖形再疊加，從而生成新的復(fù)雜的圖形。因此，筆者認(rèn)為，所有的復(fù)雜圖形都是由簡單的基本圖形組成?；谶@樣的認(rèn)識，我們在突破與圖形相關(guān)的難題的時候，首要的思路就是將復(fù)雜的圖形進(jìn)行基本圖形的拆解。

2.“從特殊到一般，再從一般到特殊”規(guī)律

我們還是可以以直線和射線這兩個基本圖形舉例展開說明如下：

直線系列：兩直線相交的一般情形生成對頂角和鄰補(bǔ)角，特殊情形為相交的四個角中，有一個是直角的情形。此時，生成垂直的概念，進(jìn)而生成點到直線的距離的概念。三條直線相交的一般情形，特殊化后得到兩平行線被第三線所截的特殊圖形，進(jìn)而生成了平行線的判定和性質(zhì)等知識。

射線系列：三條有公共頂點的射線組成一般狀態(tài)的三個角，把中間的射線特殊化后可以得到角的平分線，把一般的角特殊化后得到平角，再加上平分線就得到兩直線垂直。

“從特殊到一般，再從一般到特殊”的規(guī)律，我們可以認(rèn)為是一個圖形發(fā)生變化的兩個方向，捋順一般性和特殊性有利于加深我們對圖形的認(rèn)識。

上述兩條發(fā)生、發(fā)展的圖形規(guī)律隨處可見，每一個圖形都不是單一的，有來處，當(dāng)然也有去處。在平時授課的過程中，利用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，將圖形的上述兩條變化規(guī)律呈現(xiàn)清楚，明白知識的發(fā)生、發(fā)展方向?qū)⒂兄趯W(xué)生“形感”的建立和提升。

以三角形中的三條重要線段為例，建立圖形網(wǎng)絡(luò)如下：

三角形的高：

三角形的中線：

三角形的角平分線：

（二）關(guān)于“完整形”和“殘缺形”的理解

1.“完整形”

從字面上來看，它就是指一個完整的圖形。我們在課本的學(xué)習(xí)過程中，每一個定義或者定理都有相應(yīng)的圖形，這些圖形通常都可以認(rèn)為是完整形。

2.“殘缺形”

數(shù)學(xué)源于生活，在生活中，有完整的物體，也有不完整的物體。圖形也一樣，有完整的圖形，也有不完整的圖形。筆者把那些不完整的圖形稱之為“殘缺形”。在生活中，每當(dāng)我們看到缺胳膊少腿的殘疾人，善良的人都會想，如果我們能夠幫把他缺失的補(bǔ)全，該有多好。對于圖形也一樣，每當(dāng)筆者看到一個“殘缺形”的圖出現(xiàn)在面前時，就想把它補(bǔ)全。筆者認(rèn)為，這是幾何圖形添加輔助線的一個核心思想。當(dāng)然，能看出這是一個“殘缺形”就需要有比較好的“形感”。

為了更清楚地說明這個問題，打個比方如下：

角平分線的“殘缺形”和“完整形” 中垂線的“殘缺形”和“完整形”

如果有一道題，題目中明確告訴你，有角平分線，角平分線上有點，這個點到角的一邊的距離明確了，到另一邊的距離卻沒有明確，那么要想用到其結(jié)論，就要標(biāo)示這個點到另一邊的距離，因此就要畫出這個點到另一邊的距離。這就是關(guān)于角平分線添加輔助線解題的一條思路，將殘缺形補(bǔ)成了完整形。圖形完整，結(jié)論跟著才完整。中垂線也一樣，不再贅述。

但是，將“殘缺形”補(bǔ)成“完整形”有多種補(bǔ)法，關(guān)鍵是看你發(fā)揮怎樣的想象力。比如：

三角形中點殘缺形 完整形1? 完整形2? ?完整形3? 完整形4

補(bǔ)成圖1，得到面積相等;補(bǔ)成圖2和圖3得到中位線和相似三角形;補(bǔ)成圖4，得到平行四邊形，角和線段發(fā)生轉(zhuǎn)移;等等。

3.將“殘缺形”補(bǔ)成“完整形”一題多解舉例

〖例〗如圖1所示，已知AB∥CD，點E在兩平行線的內(nèi)部，∠ABE=40°，∠CDE=50°，求∠E。

〖解題思路〗題目的圖中有兩線平行，聯(lián)想到平行線的性質(zhì)，接著聯(lián)想到兩線平行的完整形如圖2，兩平行線必須有截線才完整，才有同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角這三種角。對比題目中的圖形，兩平行線間沒有完整的截線，屬于平行線的殘缺形，于是將殘缺形補(bǔ)成完整形即可。至少有以下八種補(bǔ)全圖形的解法，但結(jié)果都是∠E=90°。

上述八種解法的共性都是將平行線的殘缺形補(bǔ)成完整形?？梢?，有一定的形感才能很快地聯(lián)想到一條直線和兩條平行線相交的“完整”圖形，聯(lián)想到用平行線的同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的關(guān)系，即平行線的性質(zhì)定理，利用平行線的性質(zhì)定理解題。

總而言之，關(guān)注圖形發(fā)生、發(fā)展的兩條主線有助于完善我們認(rèn)圖和識圖的系統(tǒng)性，關(guān)注“殘缺形”有助于完善我們認(rèn)圖和識圖的完整性。建立正確的“形感”，有助于我們加深對圖形的認(rèn)識和理解。

（責(zé)編 盧建龍）