“植樹問題”數(shù)學(xué)模型的廣泛應(yīng)用研究

李織蘭 李春蓮 徐娟

【摘要】本文針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教師常把“植樹問題”教成普通的“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”的現(xiàn)狀，論述引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建“植樹問題”數(shù)學(xué)模型并廣泛應(yīng)用該模型的途徑，認(rèn)為教師可以根據(jù)課本中的問題創(chuàng)設(shè)情境，滲透對(duì)應(yīng)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建“植樹問題”數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)際情境—畫點(diǎn)線圖—觀察圖形—?dú)w納規(guī)律”的過程，運(yùn)用不同層次的練習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的抽象性和廣泛應(yīng)用性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)致善精神。

【關(guān)鍵詞】植樹問題 致善精神 數(shù)學(xué)建模 小學(xué)數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）21-0032-03

“植樹問題”因其具有較高教育價(jià)值和魅力而被編入幾乎所有版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材。但是，很多小學(xué)數(shù)學(xué)教師把這樣一個(gè)魅力無(wú)窮的問題教成了一道普通的“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”，單純引導(dǎo)學(xué)生解決“植樹問題”、得到答案，不能將“植樹問題”延伸和演繹，不能把“植樹問題”的解決方法類推到其他問題解決中，未能挖掘“植樹問題”蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)精神。

一、“植樹問題”的教學(xué)分析

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通常把“植樹問題”設(shè)計(jì)為等距離植樹，教學(xué)流程是把“小路”抽象成一條線段，把“樹”抽象成點(diǎn)，點(diǎn)把線段平均分成若干段（間隔），“探究”后發(fā)現(xiàn)“間隔數(shù)=路的總長(zhǎng)÷間距”;三種不同植樹要求，分成三種情形找間隔數(shù)和點(diǎn)數(shù)（棵數(shù)）之間的數(shù)量關(guān)系——“點(diǎn)數(shù)=間隔數(shù)+1”（兩端都種）、“點(diǎn)數(shù)=間隔數(shù)-1”（兩端不種）、“點(diǎn)數(shù)=間隔數(shù)”（只種一端），并要求學(xué)生熟背這一規(guī)律，然后變化問題情境訓(xùn)練解題技能，使學(xué)生面對(duì)類似的新情境時(shí)能不假思索地機(jī)械應(yīng)用。實(shí)際教學(xué)效果不盡如人意，學(xué)生在解決“樓梯問題”“鋸木頭問題”等過程中屢屢出錯(cuò)。學(xué)生分不清具體問題中的“樹”和“間隔”，不能把“植樹問題”的解決方法與生活中相似的現(xiàn)象進(jìn)行知識(shí)鏈接，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤百出，同時(shí)也束縛了學(xué)生思維的發(fā)展，沒能更廣泛地將“植樹問題”應(yīng)用在生活中。

經(jīng)過對(duì)原有課堂教學(xué)的反思和對(duì)教學(xué)文獻(xiàn)的分析，解讀課標(biāo)和小學(xué)數(shù)學(xué)教材，我們達(dá)成了以下幾點(diǎn)共識(shí)。

第一，重視“模式化”，讓學(xué)生弄清楚“樓梯問題”“鋸木頭問題”等都與“植樹問題”有相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：“植樹問題”數(shù)學(xué)模型。以“植樹問題”的現(xiàn)實(shí)原型為背景，根據(jù)“樹”與“間隔”所呈現(xiàn)出來(lái)的內(nèi)在規(guī)律，通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段幫助學(xué)生建立“點(diǎn)段關(guān)系模型”，這是本節(jié)課的關(guān)鍵。

第二，“植樹問題”的實(shí)質(zhì)就是“點(diǎn)段關(guān)系模型”中的點(diǎn)與段的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在教學(xué)實(shí)踐中，強(qiáng)調(diào)并要求記憶“兩端都種”“只有一端種”“兩端不種”三種情況相應(yīng)的計(jì)算法則。面對(duì)新的類似問題時(shí)，多數(shù)學(xué)生只會(huì)機(jī)械應(yīng)用，不能完整無(wú)誤地寫出“植樹問題”三種類型的數(shù)量關(guān)系，部分學(xué)生弄反了數(shù)量關(guān)系中的棵數(shù)和段數(shù)。就“植樹問題”而言，是否真的就只有“兩端都種”“只種一端”“兩端都不種”這樣三種情況？也許還會(huì)存在“由于道路中間有一段是我們學(xué)校的大門，在學(xué)校大門前（某一段的若干個(gè)間隔）不需要種樹”等特殊情況。其實(shí)，所謂的三種情形相應(yīng)的計(jì)算規(guī)律只是針對(duì)具體情況進(jìn)行的適當(dāng)變化，學(xué)生需要感悟“一一對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想，并依據(jù)基本模式，通過適當(dāng)變化以適應(yīng)各種情況。因此，比有規(guī)律地機(jī)械應(yīng)用更重要的是思維的靈活性。

第三，“100米的小路，每5米作為一小段，共有多少段”是小學(xué)階段常見的“平均分”模型的常見問題，我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，這種簡(jiǎn)單的計(jì)算對(duì)高年級(jí)的學(xué)生來(lái)說，通過一番“探究”得到“間隔數(shù)=路的總長(zhǎng)÷間距”顯得多余，因此，我們沒有把它作為知識(shí)目標(biāo)之一?！半p基”不應(yīng)求全，而應(yīng)求變。

第四，“植樹問題”不一定都是植樹的問題，建好的“植樹問題”模型要回歸到現(xiàn)實(shí)情境，“植樹問題”模型同樣適合于設(shè)置公交車站、大路兩旁安裝路燈、樓層與臺(tái)階、鐘樓大鐘敲鐘報(bào)時(shí)、鋸木頭、男女生間隔排列等問題，學(xué)生運(yùn)用模型解決這類問題時(shí)，真正的困難是對(duì)同模結(jié)構(gòu)的識(shí)別——把哪些對(duì)象看成“點(diǎn)”，哪些對(duì)象看成“段”。

基于此，我們的教學(xué)設(shè)計(jì)分兩個(gè)階段：第一階段是從尋找規(guī)律走向建構(gòu)模型，第二階段是從應(yīng)用模型走向培養(yǎng)致善精神。

二、從尋找規(guī)律走向建構(gòu)模型

建立數(shù)學(xué)模型的過程可以描述為：根據(jù)建模的目的和掌握的信息（如數(shù)據(jù)、現(xiàn)象等），將實(shí)際問題翻譯成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確地表述出來(lái)。（如圖1）將現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息加以翻譯、歸納，用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述對(duì)象的內(nèi)在特征，建立數(shù)學(xué)模型;再經(jīng)過求解、演繹，得到數(shù)學(xué)上的解答;然后經(jīng)過翻譯再回到現(xiàn)實(shí)對(duì)象，給出分析、預(yù)報(bào)、決策、控制的結(jié)果;最后，這些結(jié)果必須經(jīng)受實(shí)際的檢驗(yàn)，完成“實(shí)踐—理論—實(shí)踐”這一循環(huán)。

學(xué)生在小學(xué)一年級(jí)學(xué)習(xí)過比多少，假設(shè)在桌面上有一些杯子和蓋子，如果想知道是杯子多還是蓋子多，常用的方法有兩種：一種是分別數(shù)出杯子和蓋子的數(shù)量，比較哪個(gè)數(shù)大就行了;另一種是將每個(gè)蓋子蓋在杯子上，然后看看是否有杯子缺蓋子，或者是否有蓋子剩余，或者剛好既沒有杯子缺蓋，也沒有蓋子剩余。由于第一種方法要數(shù)出元素的數(shù)目，這對(duì)很多情況來(lái)說是辦不到的，而第二種方法不計(jì)元素的數(shù)目也能進(jìn)行比較，因此第二種方法更具普適性。在數(shù)學(xué)中，我們選擇第二種方法作為比較“多與少”的標(biāo)準(zhǔn)方法，這種方法蘊(yùn)含“一一對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想。只有讓學(xué)生理解了一一對(duì)應(yīng)，他們才能真正明白“植樹問題”數(shù)量關(guān)系中的“+1”“-1”和“一樣多”的含義。

教師在教學(xué)“植樹問題”時(shí)，可以根據(jù)課本中的具體的問題（如圖2）創(chuàng)設(shè)情境，滲透對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)建“植樹問題”模型，讓學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)際情境—畫點(diǎn)線圖—觀察圖形—?dú)w納規(guī)律（點(diǎn)數(shù)與段數(shù)的數(shù)量關(guān)系）”，以及逐步加深認(rèn)識(shí)的過程，進(jìn)而使他們獲得一個(gè)清晰的“植樹問題”數(shù)學(xué)模型：點(diǎn)的個(gè)數(shù)與小段的段數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。

形式上的抽象性和應(yīng)用上的廣泛性與是數(shù)學(xué)所具有的顯著特點(diǎn)，數(shù)學(xué)的抽象程度越高，數(shù)學(xué)的應(yīng)用就越廣泛。正是追求更廣泛的應(yīng)用，促成了數(shù)學(xué)的進(jìn)一步抽象化。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中將“線段”更一般化為“線”（不一定是線段，如圖3所示），線上的“點(diǎn)”也不一定是等分點(diǎn)。

三、從應(yīng)用模型走向培養(yǎng)致善精神

教學(xué)中，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖，抽象出實(shí)際問題對(duì)應(yīng)的植樹問題模型中的“點(diǎn)”和“段”，再利用具體的“點(diǎn)”“段”的對(duì)應(yīng)關(guān)系解決問題;變式練習(xí)的設(shè)計(jì)，要從“近”到“遠(yuǎn)”、從低級(jí)到高級(jí)，不同層次的練習(xí)層層推進(jìn)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)同模結(jié)構(gòu)的識(shí)別能力，發(fā)展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的致善精神，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)模型的抽象性及其應(yīng)用的廣泛性。

第一題組，教師可以安排一個(gè)完全同類的題組（如圖4所示）。第一題的情境不變，“樹”是真樹，只是改變了數(shù)量。第二題將“樹”變式成“公車站”。兩題與課本原型完全同模，旨在增強(qiáng)學(xué)生用“植樹問題”模型解決問題的熟練度。

第二個(gè)題組，充滿生活氣息。如圖5所示，第一題屬于可逆性變式，袋鼠每跳一下的距離是間隔的長(zhǎng)度，腳印是“樹”，小路的全長(zhǎng)是原型的條件，在這里成了問題。第二題屬于條件性擴(kuò)展變式，道路的兩側(cè)常常被學(xué)生忽略。

第三個(gè)題組，主要目的是讓學(xué)生在“植樹問題”數(shù)學(xué)模型的廣泛應(yīng)用中受到激勵(lì)。第一題是“敲鐘”問題（如圖6所示），我們把看不見卻能聽得見的鐘聲當(dāng)成了“樹”，相鄰兩次敲響的鐘聲之間的時(shí)間成了“間隔”。

第二題是“鋸木頭問題”（如圖7所示）：“樹”是鋸口處，這是不容易看見的“樹”;因?yàn)轭}目沒有要求把木頭分成一樣長(zhǎng)的小段，所以“樹”不一定是等距離排列，間隔也不一定是相等的。題目還可以改編成：“我交代工人把一根木頭鋸成10段。我走出車間，聽到電鋸響了10次。雖然我沒有親眼看到，但是我已經(jīng)知道這位工人鋸的木頭不符合我的要求，這是為什么？”以增強(qiáng)趣味性。

第三題的原題是：“一節(jié)課有40分鐘，老師擔(dān)心來(lái)不及講完所有內(nèi)容，所以設(shè)置了手機(jī)提醒。上課鈴聲響后，老師的手機(jī)每隔5分鐘就振動(dòng)一次，提醒老師要把握時(shí)間。一節(jié)課下來(lái)，手機(jī)要提醒老師幾次呢？”雖然它與課本上的原型類似，但是由于各教學(xué)環(huán)節(jié)所用的時(shí)間并不相等，所以這樣的提醒設(shè)置對(duì)老師沒什么用處。我們進(jìn)行了如圖8的改編，“線”上的“點(diǎn)”不一定是等分點(diǎn)，也許會(huì)有更廣泛的應(yīng)用。

第四題（如圖9所示）中，梧桐樹是“樹”，相鄰兩棵梧桐樹中間的銀杏樹就不是“樹”了，而是“植樹問題”模型中的“間隔”。因此，“間隔”未必就是“一段”，只是我們可以把它們“畫”成段。教師向?qū)W生明確，“植樹問題”不一定是要植樹的，“樹”不僅僅是樹，有時(shí)候不是樹卻可以看成“樹”，而有的時(shí)候真樹又可以看成“間隔”，這就是“植樹問題”的奇妙。

我們通過改變問題中的已知條件，體現(xiàn)一題多練，通過對(duì)比讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決“植樹問題”不是簡(jiǎn)單地“+1”或“-1”，而是要看清已知條件和所求的問題。

教師要讓學(xué)生感受“植樹問題”的無(wú)窮魅力，超越具體的感性的解題方法，上升到抽象的思想方法與策略，引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)解決這類問題的數(shù)學(xué)模型，探究出解決此類問題的“通則”“通法”，激勵(lì)學(xué)生在日常生活和生產(chǎn)中更廣泛地運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)致善精神。

【作者簡(jiǎn)介】李織蘭（1967— ），女，廣西百色人，在職碩士，副高職稱，現(xiàn)就職于桂林師范高等?？茖W(xué)校，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教育;李春蓮（1977— ），女，大學(xué)本科學(xué)歷，一級(jí)教師，現(xiàn)就職于桂林市臨桂區(qū)第三小學(xué)，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教育;徐娟（1978— ），女，廣西靈川人，大學(xué)本科學(xué)歷，一級(jí)教師，現(xiàn)就職于桂林市靈川縣第三小學(xué)，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 秦越霞）