圍繞話題，聚焦主題

周榮偉

摘要：“一題一課”型復(fù)習(xí)課就是以某道題目（最好是中、高考試題）為背景，聚焦某個(gè)主題并細(xì)分為幾個(gè)話題展開教學(xué)的復(fù)習(xí)課?；陬}為“關(guān)于x的方程（x-1）（x+2）=ρ2”的復(fù)習(xí)課實(shí)踐案例，闡述對(duì)初中數(shù)學(xué)“一題一課”型復(fù)習(xí)課的思考感悟：精選試題、分解話題是首要任務(wù);精準(zhǔn)主線、串聯(lián)話題是關(guān)鍵環(huán)節(jié);精當(dāng)評(píng)價(jià)、延伸話題是價(jià)值追求。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);“一題一課”;復(fù)習(xí)課;一元二次方程

在數(shù)學(xué)考試命題核心素養(yǎng)立意的背景下，“一題一課”型復(fù)習(xí)課受到了不少教師的青睞。顧名思義，“一題一課”型復(fù)習(xí)課就是以某道題目（最好是中、高考試題）為背景，聚焦某個(gè)主題并細(xì)分為幾個(gè)話題展開教學(xué)的復(fù)習(xí)課。從本質(zhì)上看，這樣的復(fù)習(xí)教學(xué)也是一種利用“大概念”串聯(lián)“多內(nèi)容”的單元或主題教學(xué)，其因能彰顯內(nèi)容的整體性、聯(lián)系性以及學(xué)習(xí)的深度，克服當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍存在的知識(shí)碎片化、方法單一化以及認(rèn)識(shí)表層化問題而備受關(guān)注。最近，筆者在一次教研活動(dòng)中，開設(shè)了一節(jié)題為“關(guān)于x的方程（x-1）（x+2）=ρ2”的“一題一課”型復(fù)習(xí)課。教學(xué)流程及思考如下：

一、圍繞話題展開教學(xué)的實(shí)踐案例

（一）話題1：ρ表示什么？

交流得出：在初中物理中，單位體積某種物質(zhì)的質(zhì)量叫作這種物質(zhì)的密度，通常用ρ表示。若用m表示質(zhì)量，V表示體積，則密度的計(jì)算公式為ρ=mV。一般地，某種物質(zhì)的密度是固定的，因此，質(zhì)量和體積成正比例函數(shù)關(guān)系。在高中數(shù)學(xué)中，用方位角、距離描述物體的位置可以建立極坐標(biāo)系。（出示圖1）通常用 ρ表示距離，θ表示角度，那么有序數(shù)對(duì)（ρ，θ）就叫作點(diǎn)的極坐標(biāo)，而ρ2=x2+y2和tanθ=yx表示的就是極坐標(biāo)與平面直角

坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。但是，在本題中，ρ只是表示某個(gè)常數(shù)。

（二）話題2：方程是一元二次方程嗎？

交流得出：化簡(jiǎn)得x2+x-2-ρ2=0，根據(jù)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），它是一元二次方程。

出示變式：

直線y=x+a不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（）

A. 0B. 1C. 2D. 1或2

交流得出：由直線y=x+a不經(jīng)過第二象限，得a≤0。當(dāng)a<0時(shí)，該方程是一元二次方程，由根的判別式Δ=4-4a>0，知有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)a=0時(shí)，該方程是一元一次方程，有1個(gè)根。故選D。

（三）話題3：方程根的情況

交流得出：由根的判別式Δ=1-4（-2-ρ2）=9+4ρ2>0，故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

出示試題：

（2020年江蘇省南京市中考數(shù)學(xué)卷第5題）關(guān)于x的方程（x-1）（x+2）=ρ2根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）

A. 兩個(gè)正根B. 兩個(gè)負(fù)根

C. 一正一負(fù)D. 無實(shí)數(shù)根

交流得出：本題大致有六種解法。（1）求根公式法。x1=-1+9+4ρ22>0，x2=-1-9+4ρ22<0，故選C。（2）根與系數(shù)關(guān)系法。x1x2=-2-ρ2<0，x1與x2異號(hào)，故選C。（3）構(gòu)造函數(shù)法。令y=x2+x-2-ρ2，圖像對(duì)稱軸為直線x=-12，開口向上且與y軸交于負(fù)半軸，可得與x軸的交點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)，因此方程兩根異號(hào)，故選C。（4）構(gòu)造函數(shù)法。令y1=（x-1）（x+2），y2=ρ2，y1圖像開口向上且與x軸交于點(diǎn)（1，0）和（-2，0），y2圖像是在x軸上方且平行于x軸的一條直線（或者就是x軸），可得它們有兩個(gè)交點(diǎn)，分別在第一、第二象限（或者在x軸正、負(fù)半軸上），因此方程兩根異號(hào)，故選C。（5）解不等式法。由ρ2≥0，得（x-1）（x+2）≥0，可得x-1≥0，x+2≥0或x-1≤0，x+2≤0，即x≥1或x≤-2，故選C。（6）特殊值法。令ρ=0，則（x-1）（x+2）=0，解得x1=1，x2=-2，故選C。

（四）話題4：方程的解法

交流得出：前面用求根公式已求得方程的根。

出示變式：

已知關(guān)于x的方程（x-m）（x+n）=ρ2的兩根為2、-3，則方程12x-m12x+n=ρ2的兩根為。

交流得出：設(shè)12x=t，可得方程（t-m）（t+n）=ρ2的兩根為2、-3，因此12x=2、-3，即x=4、-6。這里運(yùn)用了整體換元的方法。其實(shí)，各類方程的解法不盡相同，但是，它們有一個(gè)共同的數(shù)學(xué)基本思想——轉(zhuǎn)化（化歸），就是把未知轉(zhuǎn)化為已知。

由此，讓學(xué)生閱讀課本（蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)）第31頁的“各類方程的解法”。

拓展練習(xí)：

解方程x-1+x=7。

交流得出：本題有兩種解法。（1）設(shè)x-1=t，則x=t2+1，原方程化為t2+t-6=0，解得t=2或-3（舍去），求得x=5。（2）移項(xiàng)可得x-1=7-x，兩邊平方化為x-1=x2-14x+49，解得x=5或10，經(jīng)檢驗(yàn)，10不是方程的根，而是增根。

（五）話題5：方程的實(shí)際意義

出示任務(wù)：

一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一個(gè)重要數(shù)學(xué)模型，請(qǐng)選定一個(gè)合適的常數(shù)ρ的值，編擬一個(gè)用方程（x-1）（x+2）= ρ2解決的問題，并解答。

交流得出：選定ρ的值為2，可以編出多類問題。（1）面積問題：將正方形的一邊長減少1，另一邊長增加2，所得矩形的面積等于4，求該正方形的邊長？（2）相似問題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（0，2），點(diǎn)A從（1，0）出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B從（2，0）出發(fā)以相同的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多長時(shí)間以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)P？（此題解法較多，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用Rt△AOP∽R(shí)t△POB，得到AO·BO=PO2，即可用到上述方程）等等。

（六）話題6：課堂學(xué)習(xí)小結(jié)

出示任務(wù)：

通過對(duì)關(guān)于x的方程（x-1）（x+2）=ρ2的深聊，談?wù)勀愕氖斋@與困惑吧。

交流后展示圖2。

二、教學(xué)感悟

（一）精選試題、分解話題是首要任務(wù)

設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)“一題一課”型復(fù)習(xí)課，應(yīng)淡化一輪、二輪、三輪的限制，而以知識(shí)單元為主題，以核心素養(yǎng)為主旨，從茫茫題海中精選試題，并在深度解讀試題的基礎(chǔ)上，圍繞教學(xué)主題（目標(biāo)）進(jìn)行拆分和取舍，以取得較為精準(zhǔn)的教學(xué)話題（內(nèi)容）。 一般來說，分解話題應(yīng)注意以下三點(diǎn)：一是心中有“森林”，凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性;二是心中有“樹木”，凸顯重要知識(shí)的針對(duì)性;三是心中有“過程”，凸顯難點(diǎn)知識(shí)的層次性。

例如，上述課例的主題指向由九年級(jí)上冊(cè)的“一元二次方程”延伸到九年級(jí)下冊(cè)的“二次函數(shù)與一元二次方程”，甚至延伸到高一的“一元二次不等式”，從而建構(gòu)較為完整的“方程、函數(shù)、不等式”知識(shí)體系。為此，所選取的背景試題（2020年江蘇省南京市中考數(shù)學(xué)卷第5題）可以通過變式發(fā)散，從一元二次方程模型出發(fā)，勾連這一知識(shí)體系中的諸多重要內(nèi)容。而分解出的話題則充分體現(xiàn)了方程模型的研究過程與方法，以及方程與函數(shù)、不等式的關(guān)系。

（二）精準(zhǔn)主線、串聯(lián)話題是關(guān)鍵環(huán)節(jié)

有了具體的話題，接下來就要用一條主線把它們串起來。通常情況下，新授課可以知識(shí)聯(lián)系為主線，而復(fù)習(xí)課應(yīng)以思想方法為主線。 “一題一課”型復(fù)習(xí)課應(yīng)充分挖掘知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程中的思想方法，把相對(duì)零散的話題串聯(lián)起來。

例如，上述課例在“方程、函數(shù)、不等式”知識(shí)體系的主題下有一條主線：模型思想。話題探究圍繞這條主線展開。話題1滲透正比例函數(shù)模型以及“極坐標(biāo)”模型，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)外部應(yīng)用和內(nèi)部知識(shí)的探究熱情;話題2體現(xiàn)方程、函數(shù)、不等式模型的初步聯(lián)合;話題3是本節(jié)課的核心，通過對(duì)背景試題的多解探究，促進(jìn)對(duì)方程、函數(shù)、不等式模型的深度融合，讓學(xué)生對(duì)一元二次方程的周邊知識(shí)進(jìn)行全面而系統(tǒng)的整合;話題4引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)方程模型中的轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)而達(dá)到“授之以漁”的境界;話題5是對(duì)方程模型的現(xiàn)實(shí)解釋，由新授課的“從問題到方程”到復(fù)習(xí)課的“由方程到問題”，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模和提出問題的能力;話題6則是模型思想主線的明晰以及話題的延伸，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容真正做到“點(diǎn)全、線聯(lián)、面融”，并且形成“課已盡，意未盡”的意境。

（三）精當(dāng)評(píng)價(jià)、延伸話題是價(jià)值追求

崔允漷教授認(rèn)為，教師不僅要教學(xué)生學(xué)會(huì)讀書（知識(shí)），而且要教學(xué)生學(xué)會(huì)做事（能力），更加要教學(xué)生學(xué)會(huì)做人（素養(yǎng)）。為了將能力、素養(yǎng)落地的“最后一公里”做細(xì)、做實(shí)，教師尤其要通過教學(xué)評(píng)價(jià)，延伸教學(xué)話題，提升教學(xué)內(nèi)涵。

例如，上述課例的教學(xué)評(píng)價(jià)特別注意引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“模型美”，從而積極追求更高的教學(xué)價(jià)值。第一層境界是感受模型美：設(shè)計(jì)的所有話題（包括問題的答案與求解）均具有開放性，可通過分層評(píng)價(jià)體現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的新課標(biāo)理念。第二層境界是感悟模型美：在每一個(gè)話題的交流中及時(shí)啟發(fā)、歸納、強(qiáng)化模型思想。第三層境界是創(chuàng)造模型美：話題5的聯(lián)想發(fā)散以及話題6的課堂小結(jié)，都是通過延伸話題引導(dǎo)學(xué)生由“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”。