廣義仿拓撲群的若干性質(zhì)研究*

1 引言

2014年，文[1]引進了廣義拓撲群的概念并且研究了廣義拓撲群的一些性質(zhì).2020年，文[2]推廣了廣義拓撲群的概念，引進了廣義仿拓撲群的概念，并且對其性質(zhì)做了研究，得到了每一個廣義仿拓撲群是廣義齊性空間，廣義仿拓撲群的子群是廣義仿拓撲群，廣義仿拓撲群中的τ開子群是τ閉子群，廣義仿拓撲群的商群是廣義仿拓撲群，廣義仿拓撲群到它的商群的自然映射是廣義連續(xù)的廣義開映射等結(jié)果.

本文繼續(xù)研究廣義仿拓撲群的性質(zhì)，主要討論了其廣義鄰域基、閉包運算、廣義分離性質(zhì)、同構(gòu)、同態(tài)映射的廣義連續(xù)性、廣義乘積性、廣義緊性等問題，獲得了任意一個抽象群上的廣義仿拓撲群化定理和廣義仿拓撲群的一個廣義拓撲同構(gòu)定理，證明了每一廣義仿拓撲群中單位元的廣義開鄰域生成的子群是廣義開子群以及一族強廣義仿拓撲群的廣義乘積仍是廣義仿拓撲群,并提出了一些問題.

2 預備知識

定義2.1([3])設X是非空集,X的冪集P(X)的子集族τ如果滿足

(1)?∈τ;

(2)對任意i∈I，若Gi∈τ有∪i∈IGi∈τ,

則稱τ是X上的廣義拓撲，(X,τ)是廣義拓撲空間，τ中的元為廣義開集，每一廣義開集的補集為廣義閉集.X中所有廣義開集組成的集族記為τ(X).

一個子集族B?τ稱為廣義拓撲空間(X,τ)的基([4])，如果τ中的每一元能表示成B中某些元素的并.

設(X,τ)是廣義拓撲空間，x∈X.記τ(X,x)={U∈τ(X)∶x∈U}.

定義2.2([5])設(X,τ)是廣義拓撲空間.稱廣義拓撲τ是強的，如果X∈τ.

定義2.3([3])設X和Y是廣義拓撲空間，f∶X→Y是映射，則

(1)f稱為廣義連續(xù)的，如果對任意V∈τ(Y)有f-1(V)∈τ(X)；

(2)f稱為在x∈X處是廣義連續(xù)的，如果對任意V∈τ(Y,f(x))，存在U∈τ(X,x)使得f(U)?V；

(3)f稱為廣義開(閉)的，如果X中每一廣義開集(廣義閉集)的像是Y的廣義開集(廣義閉集)；

(4)f稱為廣義同胚，如果f是雙射且f,f-1是廣義連續(xù)的.

引理2.4([6])設(X1,τ1)，(X2,τ2)，…，(Xn,τn)是廣義拓撲空間，X=X1×X2×…×Xn是乘積廣義拓撲空間，則B={U1×U2×…×Un∶U1∈τ1,U2∈τ2,…,Un∈τn}是X的一個基.

定義2.5([3])設X是廣義拓撲空間，B?X，x∈X.如果存在U∈τ(X)使得x∈U?B，則稱B是x的廣義鄰域.

定義2.6([3])設X是廣義拓撲空間，x∈X，B中的每一元是x的廣義鄰域.如果對任意U∈τ(X,x)，存在B∈B使得B?U，則稱B是x在X中的廣義鄰域基.

定義2.7([1，定義3.2])設(X,·)是群，(X,τ)是廣義拓撲空間，定義映射

op2:X×X→X滿足op2(x,y)=xy，?x,y∈X;

Inv:X→X滿足Inv(x)=x-1，?x∈X.

如果op2和Inv是廣義連續(xù)的，則稱(X,·,τ)是廣義拓撲群.

定義2.8([2，定義3.8])設(X,·)是群，(X,τ)是廣義拓撲空間，定義映射

op2:X×X→X滿足op2(x,y)=xy，?x,y∈X.

如果op2是廣義連續(xù)的，則稱(X,·,τ)是廣義仿拓撲群.

3 廣義仿拓撲群的廣義鄰域基和閉包運算

首先，討論廣義仿拓撲群乘積的廣義連續(xù)性問題：

定理3.1設X是廣義仿拓撲群，定義映射opn:Xn→X滿足opn(x1,x2,…，xn)=x1x2…xn，?xi∈X,i=1,2,…,n，則opn是廣義連續(xù)的.

證明由引理2.4，只需證：對任意xi∈X,i=1,2,…,n，若U∈τ(X,x1…xn)，則存在U1∈τ(X,x1)，U2∈τ(X,x2)，…，Un∈τ(X,xn)使得U1U2…Un?U.

當n=1時，命題顯然成立.

假設當n=k時命題成立.

設xi∈X，i=1,2，…，k+1,U∈τ(X,x1…xk+1).容易看到

x1…xk+1=op2((x1…xk,xk+1)).

由于X是廣義仿拓撲群，op2是廣義連續(xù)的且U∈τ(X,x1…xk+1)，所以存在O∈τ(X×X,(x1…xk,xk+1))使得op2(O)?U.由引理2.4知，存在V∈τ(X,x1…xk)，W∈τ(X,xk+1)使得(x1…xk,xk+1)∈V×W?O.從而

op2(V×W)?op2(O)?U,VW?U.

而V∈τ(X,x1…xk)，所以由假設，存在U1∈τ(X,x1)，U2∈τ(X,x2)，…，Uk∈τ(X,xk)使得U1U2…Uk?V.

再令Uk+1=W，則

U1U2…Uk+1=(U1…Uk)W?VW?U.

故命題成立.

下面討論廣義仿拓撲群的廣義鄰域基.

引理3.2([2，定理3.13] )設X是廣義仿拓撲群，a∈X，定義映射

ra:X→X滿足ra(x)=xa，

la:X→X滿足la(x)=ax，

則ra和la都是廣義同胚.

定理3.3設X是廣義仿拓撲群，U是X的子集族，x∈X，則以下條件等價：

(1) U是e的廣義鄰域基,

(2) {xU∶U∈U}是x的廣義鄰域基,

(3) {Ux∶U∈U}是x的廣義鄰域基.

證明設h∶X→Y是廣義同胚，對任意x∈X，B是x的廣義鄰域基，則h(B)是h(x)的廣義鄰域基.

(1)→(2) 由于X是廣義仿拓撲群，所以由引理3.2知映射lx∶X→X是廣義同胚.若U是e的廣義鄰域基，則lx(U)={xU∶U∈U}是lx(e)=x的廣義鄰域基.

(2)→(1) 由于X是廣義仿拓撲群，所以由引理3.2知映射lx-1∶X→X是廣義同胚.若xU={xU∶U∈U}是x的廣義鄰域基，則lx-1(xU)=U是lx-1(x)=e的廣義鄰域基.

(1)→(3) 由于X是廣義仿拓撲群，所以由引理3.2知映射rx∶X→X是廣義同胚.若U是e的廣義鄰域基，則rx(U)={Ux∶U∈U}是rx(e)=x的廣義鄰域基.

(3)→(1) 由于X是廣義仿拓撲群，所以由引理3.2知映射rx-1∶X→X是廣義同胚.若{Ux∶U∈U}是x的廣義鄰域基，則U是e的廣義鄰域基.

引理3.4([2，推論3.18])設X是廣義仿拓撲群，A,B?X，x∈X，則

(1) 如果A∈τ(X)，則Ax,xA∈τ(X)；

(2) 如果A∈τ(X)，則AB,BA∈τ(X).

引理3.5設X是廣義仿拓撲群，g,h∈X.定義映射

φ∶X→X滿足φ(x)=gxh,?x∈X，

則φ是廣義同胚.

證明顯然φ是雙射.

設U∈τ(X)，則φ-1(U)=g-1Uh-1.因為X是廣義仿拓撲群，所以由引理3.4知φ-1(U)=g-1Uh-1∈τ(X)，從而φ是廣義連續(xù)的.

設V∈τ(X)，則(φ-1)-1(V)=φ(V)=gVh.再由引理3.4，有(φ-1)-1(V)=gVh∈τ(X)，從而φ-1是廣義連續(xù)的.

故φ是廣義同胚.

定理3.6設X是廣義仿拓撲群，U是X中單位元e的廣義鄰域基，則有

(1) 對任意U∈U，存在V1,V2∈U使得V1V2?U；

(2) 對任意U∈U,g∈X，存在V∈U使得gVg-1?U.

證明(1) 設U∈U.由于X是廣義仿拓撲群且op2(e,e)=e，所以存在Z∈τ(X×X,(e,e))使得op2(Z)?U，從而由引理2.4知存在O，W∈τ(X,e)使得(e,e)∈O×W?Z,于是

op2(O×W)?op2(Z)?U，即OW?U.

由于U是e的廣義鄰域基，所以取V1∈U使得V1?O，取V2∈U使得V2?W，則

V1V2?OW?U.

(2) 設U∈U，g∈X，定義映射

f∶X→X滿足f(x)=gxg-1.

由引理3.5知f是廣義同胚.因為U∈U，所以存在W∈τ(X,e)使得e∈W?U.取V∈U使得V?f-1(W)，則由e∈f-1(W)且f-1(W)廣義開于X有，

f(V)={gxg-1∶x∈V}=gVg-1?W?U.

定義3.7 ([7])設(X,τ)是廣義拓撲空間，A?X.所有包含于A的廣義開集的并稱為A的廣義內(nèi)部，記作IntXA；所有包含A的廣義閉集的交稱為A的廣義閉包，記作clXA.

定理3.8設(X,·)是群，U是X的子集族，單位元e∈∩U，滿足：

(a) 對任意U∈U，存在V1,V2∈U使得V1V2?U；

(b) 對任意U∈U，g∈X，存在V∈U使得gVg-1?U,

則存在唯一的廣義仿拓撲群(X,·,τ)使得U是(X,τ)中單位元e的廣義鄰域基.

證明分5步證明.(1)令τ={O?X∶對?x∈O,?U∈U使得xU?O}，那么τ是X的廣義拓撲.事實上，

(i) 顯然，?∈τ；

(ii) 記τ={Oi}i∈∧.若z∈∪i∈∧′Oi，其中∧′?∧，則存在i0∈∧′使得z∈Oi0且存在U∈U使得zU?Oi0?∪i∈∧′Oi，從而∪i∈∧′Oi∈τ，故τ是X上的廣義拓撲.

(2) 證明廣義拓撲τ滿足性質(zhì)(*)：若O∈τ且x∈X，則xO∈τ.

設g∈xO，則x-1g∈O.因為O∈τ，所以存在U∈U使得x-1gU?O,從而gU?xO，于是xO∈τ.

(3) 證明U是(X,τ)中e的廣義鄰域基.

(i) 證明單位元e的任意廣義鄰域包含U中某個元U.

設E是e的廣義鄰域，則e∈IntXE∈τ.由τ的定義知，存在U∈U使得

U=eU?IntXE?E.

(ii) 證明U中的每一元是e的廣義鄰域.

設U∈U.令W={x∈X∶?V∈U使得xV?U}，則e∈W?U.設x∈W，則存在V∈U使得xV?U.由(a)知，存在P1，P2∈U使得P1P2?V.因為對任意y∈xP1有

yP2?xP1P2?xV?U,

所以y∈W，從而xP1?W,因此W∈τ，故U是e的廣義鄰域.

這樣，U是e廣義鄰域基.

(4) 證明(X，·，τ)是廣義仿拓撲群.

設W*∈τ,x,y∈X滿足xy∈W*.由τ的定義知，存在A∈U使得xyA?W*.由(a)知，存在U1,U2∈U使得U1U2?A,從而xyU1U2?xyA?W*.由(b)知，存在V?U使得y-1Vy?U1，從而V?yU1y-1，于是xVyU2?xyU1y-1yU2=xyU1U2?W*.因為V,U2是e的廣義鄰域，故由性質(zhì)(*)知xV是x的廣義鄰域，yU2是y的廣義鄰域，從而映射op2∶X×X→X是廣義連續(xù)的.

(5) 證明唯一性.

設(X，·，σ)是廣義仿拓撲群使得U是e在(X,σ)上的廣義鄰域基.下證τ=σ.

設U∈τ，則對任意x∈U，由引理3.4，有e∈Ux-1∈τ，于是存在A∈U使得e∈A?Ux-1.取O∈σ使得e∈O?A，則x∈Ox?Ax?U.再由引理3.4可知，Ox∈σ.所以U∈σ.于是τ?σ.

同理σ?τ.故τ=σ.

下面討論廣義仿拓撲群的閉包和內(nèi)部運算.

引理3.9設X,Y是廣義拓撲空間，f∶X→Y是廣義同胚映射，A?X，則

(1) clY(f(A))=f(clXA)，

(2) IntY(f(A))=f(IntXA).

證明(1) 因為f是廣義同胚，所以f(clXA)=clY(f(clXA))，從而

clY(f(A))?clY(f(clXA))=f(clXA).

反之，由于f(A)?clY(f(A))，所以A?f-1(clY(f(A))).因為clY(f(A))是Y中的廣義閉集，f是廣義同胚，所以f-1(clY(f(A)))是X中廣義閉集，從而clXA?f-1(clY(f(A)))，因此f(clXA)?clY(f(A)).

故clY(f(A))=f(clXA).

(2) 設y∈IntY(f(A))，則f(A)是y的廣義鄰域，所以存在Y的廣義開集U使得y∈U?f(A)，從而存在x∈f-1(y)?f-1(U)?A.由于f是廣義同胚，所以A是x的廣義鄰域，從而x∈IntXA，于是y=f(x)∈f(IntXA)，因此IntY(f(A))?f(IntXA).

反之，由于f是廣義同胚，所以f(IntXA)=IntY(f(IntXA))，從而

f(IntXA)=IntYf(IntXA)?IntY(f(A)).

故IntY(f(A))=f(IntXA).

定理3.10設X是廣義仿拓撲群，A?X，g,h∈X，則

clX(gAh)=g(clXA)h,g(IntXA)h=IntX(gAh).

證明定義映射

f∶X→X滿足f(x)=gxh，?x∈X.

由引理3.5知f是廣義同胚，所以由引理3.9知

clX(gAh)=clX(f(A))=f(clXA)=g(clXA)h,

IntX(gAh)=IntX(f(A))=f(IntXA)=g(IntXA)h.

引理3.11設X是廣義拓撲空間，A?X，則x∈clXA當且僅當對x的任意廣義鄰域U有U∩A≠?.

定理3.12設X是廣義拓撲群，A?X，U是X中單位元e的廣義鄰域基，則

clXA=∩U∈UUA=∩U∈UAU.

證明先證clXA?∩U∈UUA和clXA?∩U∈UAU.

設x∈clXA，U∈U.由定理3.3知{xU∶U∈U}和{Ux∶U∈U}是x的廣義鄰域基.又X是廣義拓撲群，存在V∈U使得V-1?U.由引理3.11，有

(xV)∩A≠?且(Vx)∩A≠?，

于是存在v,w∈V使得xv∈A且wx∈A，所以

x=(xv)v-1∈AV-1?AU且x=w-1(wx)∈V-1A?UA，

因此clXA?UA且clXA?AU，從而

clXA?∩U∈UUA和clXA?∩U∈UAU.

再證∩U∈UUA?clXA.

若上式不成立，則存在x∈∩U∈UUAclXA.由定理3.3及引理3.11知，存在U∈U使得Ux∩A=?.取V∈U使得V-1?U，則由假設知x∈VA，所以存在v∈V，a∈A使得x=va，從而a=v-1x∈V-1x?Ux，矛盾.故∩U∈UUA?clXA.

下證∩U∈UAU?clXA.

若上式不成立，則存在x∈∩U∈UAUclXA.由定理3.3及引理3.11知，存在U∈U使得xU∩A=?.取W∈U使得W-1?U，則由假設知x∈AW，所以存在w∈W，a∈A使得x=aw，從而a=xw-1∈xW-1?xU，矛盾.故∩U∈UAU?clXA.

問題3.13定理3.12對廣義仿拓撲群成立嗎？

4 廣義仿拓撲群的廣義分離性質(zhì)

定義4.1([8，定義2.1])設(X,τ)是一個廣義拓撲空間，(X,τ)稱為廣義T1空間，如果對任意x,y∈X，x≠y，存在x的廣義開鄰域U使得y?U且存在y的廣義開鄰域V使得x?V.

引理4.2([8，定理3.2])設(X,τ)是一個廣義拓撲空間，則以下條件等價：

(1)X是一個廣義T1空間，

(2)X中每個單點集都是廣義閉集，

(3)X的每個有限子集都是廣義閉集.

定理4.3設X是廣義仿拓撲群，e是X的單位元，則X是廣義T1空間當且僅當{e}廣義閉于X.

clX({x})=clX(x{e})=xclX({e})=x{e}={x},

于是所有單點集{x}是廣義閉集，因此由引理4.2知X是廣義T1空間.

定理4.4設X是廣義拓撲群，U是單位元e的廣義鄰域基，U∈U，則clXU?U2.

證明由定理3.12知，對任意A?X有

clXA?∩V∈UVA?UA.

取A=U，則clXU?U2.

問題4.5定理4.4對廣義仿拓撲群成立嗎？

定義4.6([8，定義2.2])設(X,τ)是一個廣義拓撲空間.(X,τ)稱為廣義正則空間，如果對任意x∈X，F(xiàn)廣義閉于X且x?F，存在x的廣義開鄰域U，F(xiàn)的廣義開鄰域V使得U∩V=?.

定義4.7([8，定義2.1])設(X,τ)是一個廣義拓撲空間，(X,τ)稱為廣義T2空間，如果對任意x,y∈X，x≠y，存在x的廣義開鄰域U，y的廣義開鄰域V使得U∩V=?.

引理4.8([8，定理2.3])廣義正則的廣義T1空間是廣義T2空間.

引理4.9設X是一個廣義拓撲空間，則X是一個廣義正則空間當且僅當對任意x∈X，x的任意廣義開鄰域U，存在x的廣義開鄰域V使得clXV?U.

定理4.10 每個廣義拓撲群是廣義正則的.

證明設X是廣義拓撲群，e是X中的單位元，U是e的廣義鄰域基.現(xiàn)設O是x的廣義開鄰域，則x-1O是e的廣義開鄰域.由定理3.6知存在V1,V2∈U使得V1V2?x-1O，而由定理3.12知clXV2?V1V2?x-1O，從而x∈xV2?clX(xV2)=x(clXV2)?O.最后，由引理4.9知X是廣義正則的.

由引理4.8和定理4.10可直接得到

定理4.11每個廣義T1的廣義拓撲群是廣義T2的.

問題4.12定理4.10對廣義仿拓撲群成立嗎？

5 廣義仿拓撲群的子群

引理5.1設X是一個廣義拓撲空間，A,B?X，則clXA×clXB=clX×X(A×B).

證明設(x,y)∈clXA×clXB，R是(x,y)的任意廣義鄰域.由引理2.4知存在廣義開集O,W使得(x,y)∈O×W?R.由引理3.11，得O∩A≠?且W∩B≠?，從而

R∩(A×B)?(O×W)∩(A×B)=(O∩A)×(W∩B)≠?.

故，clXA×clXB?clX×X(A×B).

反之，設(x,y)∈clX×X(A×B).令U是x的任意廣義鄰域，V是y的任意廣義鄰域.由引理2.4知U×V是(x,y)的廣義鄰域.所以由引理3.11，得

(U∩A)×(V∩B)=(U×V)∩(A×B)≠?，

因此，x∈clXA，y∈clXB,clXA×clXB?clX×X(A×B).

故clXA×clXB=clX×X(A×B).

引理5.2設X,Y是廣義拓撲空間，f∶X→Y是廣義連續(xù)的，A?X，則

f(clXA)?clY(f(A)).

證明設A?X.因為f是廣義連續(xù)的，所以f-1(clY(f(A)))是廣義閉集且

f-1(f(A))?f-1(clY(f(A))).

由廣義閉包的概念知

clX(f-1(f(A)))?f-1(clY(f(A)))，

從而

clXA?clX(f-1(f(A)))?f-1(clY(f(A))).

因此

f(clXA)?clY(f(A)).

定理5.3設X是廣義拓撲群.若H是X的子群，則clXH是X的子群.

證明先證：對任意A,B?X有(clXA)(clXB)?clX(AB).

由于op2是廣義連續(xù)的，所以由引理5.2知

op2(clX×X(A×B))?clX(op2(A×B))=clX(AB)，

從而由引理5.1，有

(clXA)(clXB)=op2(clXA×clXB)=op2(clX×X(A×B))?clX(AB).

注意到HH=H且H-1=H，所以由上面所得知

(clXH)(clXH)?clX(HH)=clXH.

由引理3.9有(clXH)-1=clX(H-1)=clXH.故clXH是X的子群.

例5.4([9，例子1.4.17])存在仿拓撲群X(進而是廣義仿拓撲群)的子群H使得clXH不是X的子群.

定理5.5設X是廣義仿拓撲群，H是X的子群.若IntXH≠?，則H廣義開于X.

證明設O=IntXH.由引理3.4知HO廣義開于X.因為O?H，所以HO?HH=H.取k∈O，則

H={(hk-1)k∶h∈H}?HO，

所以H=HO，從而H廣義開于X.

定義5.7設X是一個廣義仿拓撲群，H是X的子群，稱H在X中廣義局部閉，如果存在h∈H及存在h在X中的某一廣義鄰域U使得U∩H在子空間U中廣義閉.

問題5.8設X是一個廣義仿拓撲群，H是X的子群.如果H在X中廣義局部閉，那么H是否在X中廣義閉？

6 廣義仿拓撲群的商群

本節(jié)將在文[2]的基礎上繼續(xù)探討廣義仿拓撲群的商群.

引理6.1([2，定理3.26])設X是廣義仿拓撲群，H≤X.如果X/H為X的關(guān)于H的廣義陪集空間，則自然廣義商映射η∶X→X/H是廣義連續(xù)的廣義開映射.

定理6.2設X是廣義仿拓撲群，H是X的正規(guī)子群，則X/H是廣義T1的當且僅當H是廣義閉的.

設X,Y是群，f∶X→Y是群同態(tài)，定義映射

φKerf∶X→X/Kerf，滿足φKerf(x)=xKerf，x∈X，

定理6.3設X,Y是廣義仿拓撲群，f∶X→Y是群同態(tài)，則有

定義6.4設(X,·,τ)和(Y,°,π)是廣義仿拓撲群.稱映射f∶X→Y是(X,·,τ)和(Y,°,π)之間的廣義拓撲同構(gòu)，如果f既是廣義拓撲空間(X,τ)和(Y,π)之間的廣義同胚，也是群(X,·)和(Y,°)之間的同構(gòu).

廣義仿拓撲群(X,·,τ)和(Y,°,π)是廣義拓撲同構(gòu)的，如果它們之中存在一個廣義拓撲同構(gòu).

由定理6.3可以直接得到

定理6.5設X,Y是廣義仿拓撲群，f∶X→Y是滿的廣義連續(xù)的廣義開同態(tài)，則Y和X/Kerf廣義拓撲同構(gòu).

7 廣義仿拓撲群的同態(tài)映射

下面的引理是顯然的.

引理7.1設X,Y是廣義拓撲空間，f∶X→Y是雙射，則f是廣義開的當且僅當f是廣義閉的.

定理7.2廣義仿拓撲群之間的廣義閉的滿同態(tài)是廣義開的.

定理7.3設X,Y是廣義仿拓撲群，f∶X→Y是同態(tài)，則f在X中某一點是廣義連續(xù)的當且僅當f是廣義連續(xù)的.

設p∈X，V是f(p)在Y中的廣義鄰域，則存在廣義開集W廣義開于Y，使得f(p)∈W?V.從而

f(x0)=f(x0)f(p)-1f(p)∈f(x0)f(p)-1W?f(x0)f(p)-1V.

由引理3.4知f(x0)f(p)-1V是f(x0)在Y中的廣義鄰域.因為f在x0∈X上是廣義連續(xù)的，所以f-1(f(x0)f(p)-1V)是x0在X中的廣義鄰域，從而px0-1f-1(f(x0)f(p)-1V)是p在X中的廣義鄰域.又f是同態(tài)，所以

x∈f-1(f(x0)f(p)-1V)?f(x)∈f(x0)f(p)-1V?f(p)f(x0)-1f(x)∈V?

f(p)f(x0-1)f(x)∈V?f(px0-1x)∈V?px0-1x∈f-1(V)?x∈x0p-1f-1(V).

從而f-1(f(x0)f(p)-1V)=x0p-1f-1(V).進而f-1(V)是p在X中的廣義鄰域，于是f是廣義連續(xù)的.

定義7.4設X,Y是廣義拓撲空間，f∶X→Y，x∈X.如果對x的每一廣義鄰域U，f(U)是f(x)在Y中的廣義鄰域，則稱f在點x上是廣義開的.

引理7.5設X,Y是廣義拓撲空間，則f∶X→Y是廣義開映射當且僅當f在X中每一點上是廣義開映射.

定理7.6設X,Y是廣義仿拓撲群，f∶X→Y是同態(tài).如果f在X中某一點上是廣義開的，則f是廣義開的.

證明設f在x0∈X上是廣義開的，下證f在X中每一點上都是廣義開的.

設p∈X，W是p在X中的廣義鄰域，則存在廣義開集O廣義開于X，使得p∈O?W，所以x0=x0p-1p∈x0p-1O?x0p-1W.由引理3.4知x0p-1W是x0在X中的廣義鄰域，所以f(x0p-1W)是f(x0)在Y中的廣義鄰域，從而存在廣義開集Q廣義開于Y，使得f(x0)∈Q?f(x0p-1W)=f(x0)f(p-1)f(W).于是

f(p)∈f(p)f(x0)-1Q?f(W).

再由引理3.4知f(W)是f(p)在Y中的廣義鄰域，從而由引理7.5，f是廣義開的.

8 廣義仿拓撲群的廣義乘積

定義8.1([10])設(Xα,·)是群，α∈A，定義集合∏α∈AXα上的運算·，滿足(xα)α∈A·(yα)α∈A=(xα·yα)α∈A，則稱(∏α∈AXα,·)是群(Xα,·)的乘積群.

定義8.2([6])設(Xα,τα)是廣義拓撲空間，α∈A，記

B={∏α∈AMα∶Mα∈τα,且除有限個α外Mα=∪τα}.

稱B是X=∏α∈AXα上某一廣義拓撲τ的基，τ是廣義拓撲τα的乘積.

定理8.3設{(Xα,·,τα)∶α∈A}是廣義仿拓撲群構(gòu)成的集族，且子集Yα=∪τα(?Xα)上的二元運算封閉，即?x,y∈Yα，有x·y∈Yα，α∈A,則乘積X=∏α∈AXα是廣義仿拓撲群.特別地，一族強廣義仿拓撲群的廣義乘積仍是廣義仿拓撲群.

證明設x,y∈X，令z=xy.記x=(xα)α∈A，y=(yα)α∈A，z=(zα)α∈A，其中對任意α∈A有zα=xαyα.

設O是z在X中的廣義鄰域，則存在Wα廣義開于Xα使得z∈W=∏α∈AWα?O，其中除了有限個α1,…，αm，其余Wα=∪τα.因為Xαk(1≤k≤m)是廣義仿拓撲群且xαkyαk=zαk，所以存在(xαk,yαk)的廣義鄰域zαk使得op2(Zαk)?Wαk.由引理2.4知，存在xαk的廣義開鄰域Uαk，yαk的廣義開鄰域Vαk使得Uαk×Vαk?Zαk，從而

UαkVαk=op2(Uαk×Vαk)?op2(Zαk)?Wαk.

對任意α∈A{α1,…，αm}，令Uα=Vα=∪τα，則U=∏α∈AUα是x在X中的廣義開鄰域，V=∏α∈AVα是y在X中的廣義開鄰域.再由子集∪τα(?Xα)上的二元運算封閉，即有UV?W?O.因此X是廣義仿拓撲群.

問題8.4無窮多個廣義仿拓撲群的廣義乘積是否仍是廣義仿拓撲群？

推論8.5設對任意α∈A，Xα是強的廣義仿拓撲群，Hα是Xα的正規(guī)子群，則∏α∈A(Xα/Hα)和∏α∈AXα/∏α∈AHα廣義拓撲同構(gòu).

證明對任意α∈A，定義映射

φα∶Xα→Xα/Hα，滿足φα(xα)=Hαxα，

f∶∏α∈AXα→∏α∈A(Xα/Hα)，滿足f((xα)α∈A)=(φα(xα))α∈A.

因為φα是滿同態(tài)，所以f是滿同態(tài).

斷言1：f是廣義開的.

事實上，對任意α∈A，設Eα?Xα，則f(∏α∈AEα)=∏α∈Aφα(Eα).由引理6.1知φα是廣義開的，所以f是廣義開的.

斷言2：f是廣義連續(xù)的.

事實上，對任意α∈A，設Lα?Xα/Hα，則f-1(∏α∈ALα)=∏α∈Aφα-1(Lα).由引理6.1，φα是廣義連續(xù)的，所以f是廣義連續(xù)的.

斷言3：Kerf=∏α∈AHα.

事實上，因為對任意(xα)α∈A∈∏α∈AXα有

(xα)α∈A∈Kerf?φα(xα)=Hα,?α∈A?xα∈Hα,?α∈A?(xα)α∈A∈∏α∈AHα,

所以Kerf=∏α∈AHα.

因為f是廣義開的廣義連續(xù)的滿同態(tài)，所以由定理6.5知∏α∈A(Xα/Hα)和∏α∈AXα/∏α∈AHα廣義拓撲同構(gòu).

9 廣義仿拓撲群的廣義緊性

定義9.1設X是廣義拓撲空間.X稱為廣義緊空間，如果X的每一廣義開覆蓋有有限子覆蓋.

引理9.2廣義緊空間在廣義連續(xù)映射下的像是廣義緊空間.

證明設X,Y是廣義拓撲空間，其中X是廣義緊空間，f∶X→Y是廣義連續(xù)的滿映射.設{Uγ}γ∈Γ是Y的廣義開覆蓋，則{f-1(Uγ)}γ∈Γ是X的廣義開覆蓋.因為X是廣義緊空間，所以存在有限子族{f-1(Uγi)}i=1,…,k覆蓋X，從而{Uγi}i=1,…,k是{Uγ}γ∈Γ的有限子族且覆蓋Y.故Y是廣義緊空間.

定理9.3設X是廣義仿拓撲群，g,h∈X.若K是X的廣義緊子集，則gKh是廣義緊子集.

證明因為X是廣義仿拓撲群，定義映射

φ∶X→X，滿足φ(x)=gxh,?x∈X.

由引理3.5知φ是廣義連續(xù)的，從而由定理9.2知gKh=φ(K)是廣義緊空間.