培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)，設(shè)計(jì)“有思維的教學(xué)”

過曉偉

【摘要】數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)特性之一，它可以讓學(xué)生積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更好地理解數(shù)學(xué)概念、方法、體系，養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣，能主動(dòng)地用數(shù)學(xué)抽象的思維方式去解決問題.小學(xué)階段則更多通過抽象概括、符號(hào)應(yīng)用和模型思想來培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為今后數(shù)學(xué)抽象打下基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)抽象;數(shù)學(xué)思維

抽象是數(shù)學(xué)的特性之一，是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過程.可以講，沒有抽象就沒有數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，數(shù)學(xué)的推理和應(yīng)用都離不開抽象.小學(xué)階段的數(shù)學(xué)抽象，更多表現(xiàn)為概括、推理、符號(hào)應(yīng)用和模型建立.如果我們能把握住學(xué)生學(xué)習(xí)的規(guī)律和數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)特點(diǎn)，加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，就能讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的層次性和結(jié)構(gòu)規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.以下以蘇教版小學(xué)三年級(jí)上冊“長方形面積計(jì)算”為例，談一談數(shù)學(xué)抽象在小學(xué)階段的滲透與應(yīng)用.

一、經(jīng)歷過程，由繁至簡，發(fā)揮表象作用

經(jīng)歷是數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程性目標(biāo)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)、技能形成過程，能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).幾何形體在生活中比較常見，但是對(duì)于幾何形體的內(nèi)在認(rèn)識(shí)，學(xué)生由于思維特點(diǎn)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的不足，不能對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行清晰全面的了解.因此，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中參與觀察、操作、比較、概括等形象的實(shí)踐活動(dòng)，特別是經(jīng)歷知識(shí)概念的抽象過程，就能厘清知識(shí)的內(nèi)在的聯(lián)系，為進(jìn)一步抽象提供基礎(chǔ)，同時(shí)能架起由具體感知到抽象思維的橋梁.

【片段1】

用“面積單位”直接度量長方形的面積

談話：給你一些1平方厘米的小正方形，你能想辦法量出長方形的面積嗎？看誰想的辦法最巧妙.

學(xué)生操作，教師巡視.

交流：你量得的面積是多少？你是怎么看出來的？

預(yù)設(shè)：（1）滿鋪量.（2）半鋪量.（3）簡鋪量.

小結(jié)：像這樣量一量，我們就能知道每排擺4個(gè)，擺了這樣的3排.一共有12個(gè)1平方厘米的小正方形，面積就是12平方厘米.

（4）一個(gè)面積單位度量.

引導(dǎo)：如果只用1個(gè)小正方形，你還能量出它的面積嗎？（見圖1、圖2）

指出：用1個(gè)小正方形量也能知道每排能擺幾個(gè)1平方厘米，能擺幾排，就能知道一共有多少個(gè)1平方厘米，也就知道了長方形的面積.

教師讓學(xué)生在豐富的實(shí)例中經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，便于幫助學(xué)生獲得充分的感知，為抽象提供幫助.以上的實(shí)踐操作中，學(xué)生經(jīng)歷了用多個(gè)面積單位到用1個(gè)面積單位度量的過程，在腦中建立了12個(gè)面積單位滿鋪的表象，獲得了“數(shù)—算”的經(jīng)驗(yàn).學(xué)生在經(jīng)歷多個(gè)小正方形的鋪設(shè)的過程中，通過觀察逐漸獲得小正方形數(shù)量總數(shù)就等于長方形的面積，腦中也建立了“求長方形的面積就是求出小正方形的個(gè)數(shù)即可”的想法.接著又經(jīng)歷了只用1個(gè)面積單位度量的過程，又對(duì)度量的數(shù)量計(jì)算方法進(jìn)行由繁到簡的自我優(yōu)化，經(jīng)歷了過程，發(fā)展了思維，為接下來的實(shí)物抽取過程打下基礎(chǔ).幾何概念的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷有思維的學(xué)習(xí)過程十分重要，只有讓學(xué)生在觀察、分析、思考中留下深刻的印象，問題才會(huì)在進(jìn)一步抽取共性知識(shí)的過程中迎刃而解.

二、把握時(shí)機(jī)，由表及里，適時(shí)抽象概括

學(xué)生經(jīng)歷了豐富的實(shí)踐活動(dòng)，已經(jīng)獲得了一定的感性認(rèn)識(shí)，但他們只是通過原有經(jīng)驗(yàn)與表面觀察獲得的感性認(rèn)識(shí)，還是比較粗糙和膚淺的.教師可以適時(shí)進(jìn)行理性思維引導(dǎo)，由表及里，去粗存精，引導(dǎo)學(xué)生從中選取某種本質(zhì)屬性，加工、提煉，這種過程就是抽象概括的過程.抽象概括的過程，實(shí)際上就是把感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的過程.

【片段2】

用“尺”間接計(jì)量長方形的面積

引導(dǎo)：如果一個(gè)小正方形都沒有，你還能知道每排擺幾個(gè)，擺幾排嗎？

（1）出示長方形，追問：你怎么知道一共擺了多少個(gè)1平方厘米的小正方形呢？

（2）長方形變化：現(xiàn)在長方形的面積是多少呢？說出思考過程.

（3）長方形繼續(xù)變化：現(xiàn)在，長方形的面積是多少？

（4）再變：長方形的面積是多少？

（5）談話：接著變，還能再變嗎？長方形的面積要怎樣求？（板書：長×寬）（見圖3、圖4）

史寧中教授認(rèn)為，抽象可以在感性具體與理性具體之間搭建思維的橋梁.以上教師首先通過“如果一個(gè)小正方形都沒有，你還能知道每排擺幾個(gè)，擺幾排嗎？”這個(gè)核心問題及連續(xù)幾個(gè)變化的問題，讓學(xué)生反思先前的操作過程，特別是計(jì)算小正方形的方法，引發(fā)“每排幾個(gè)，擺幾排”與長方形的長與寬之間的關(guān)系，通過討論，學(xué)生能概括出“每排幾個(gè)”等同于“長”的長度，“擺幾排”等同于“寬”的長度，由此螺旋上升為計(jì)算長方形的面積不再需要擺和數(shù)小正方形了，只要丈量長與寬的長度，計(jì)算便知.在這充滿思維的情境中，適時(shí)進(jìn)行概括，不僅讓學(xué)生經(jīng)歷了長方形的大小變化與尺子刻度之間存在的內(nèi)在關(guān)系，而且能讓學(xué)生在對(duì)具體圖形中充分感知，形成表象后，及時(shí)地進(jìn)行概括，學(xué)生很快便能抽取出長方形面積計(jì)算的方法和條件.充分感知，把握時(shí)機(jī)，及時(shí)抽象，能使學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的思維能力.

三、感悟?qū)哟?，由淺入深，建立數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)抽象能力不僅能使學(xué)生厘清各數(shù)學(xué)因素之間的相互聯(lián)系、核心和本質(zhì)，還能培養(yǎng)學(xué)生把具體問題抽象成數(shù)學(xué)模型的能力.對(duì)于深度思維的培養(yǎng)，學(xué)生需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的層次性和結(jié)構(gòu)規(guī)律，教師還需要讓學(xué)生找到數(shù)學(xué)概念的原型，感受到數(shù)學(xué)知識(shí)本身的形式化、模式化的特點(diǎn)，逐步建立初步的“模型思想”.

【片段3】

概括提煉，生發(fā)計(jì)算公式

小結(jié)：看來，不管長方形怎么變，知道了長，就知道每排能擺幾個(gè)面積單位，知道了寬，就知道了能擺幾排，用長乘寬就能算出長方形中包含了多少個(gè)面積單位，長方形的面積就是多少.這就是長方形的面積計(jì)算公式.（板書：長方形的面積=長×寬）.

如果用a表示它的長，用b表示它的寬，S表示長方形的面積，這個(gè)公式還能寫成S=ab.（板書：S=ab）

皮亞諾指出：“數(shù)學(xué)中的一切進(jìn)步都是引入符號(hào)后的反響.”數(shù)學(xué)其實(shí)就是一個(gè)符號(hào)化、形式化的系統(tǒng).以上豐富的操作活動(dòng)與具有思維性的數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生對(duì)長方形的面積計(jì)算方法逐步清晰起來，他們已能用語言描述面積的計(jì)算方法.教師相機(jī)引入字母，學(xué)生便順理成章地獲得了長方形面積字母計(jì)算公式其實(shí)是一個(gè)能描述長方形面積與長、寬之間內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式.這個(gè)用符號(hào)建立的表達(dá)式不僅能表達(dá)數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，而且它將現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)問題簡化、抽象為形式化的符號(hào)表達(dá)，簡明易記.教師通過此公式的得出過程進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力.

四、應(yīng)時(shí)變式，由此及彼，提升數(shù)學(xué)思維

豐富的抽象過程能提高學(xué)生的抽象能力，而形式多樣的變化習(xí)題更能培養(yǎng)學(xué)生去偽存真、捕捉共同特征的抽象素養(yǎng).利用抽象方法做的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生在初步了解概念、計(jì)算公式后，還需要由此及彼、由表及里地深化，適時(shí)運(yùn)用變式練習(xí)從不同的角度或以不同的方式去進(jìn)一步認(rèn)識(shí)新學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性.在這一過程中，學(xué)生通過探索、交流、發(fā)現(xiàn)，在與新知識(shí)的比較、分析中，逐步形成了新的知識(shí)結(jié)構(gòu)與體系.

【片段4】

選一選

圖中每個(gè)小正方形表示1 cm2，圖形的面積是（ ?）.

辨一辨

出示題目：有一塊長方形草坪，長50米，寬20米.

（1）這塊草坪的面積是多少平方米？

（2）小明沿著草坪的四周走了一圈，他走了多少米？

變一變

（1）設(shè)計(jì)一個(gè)面積是18平方厘米的長方形.

（2）如果把長方形的長和寬同時(shí)乘2，長方形的面積會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？

以上教師設(shè)計(jì)了三組（條件變化、面積與周長、等積異形）變式題組，學(xué)生抽象思考與討論探究，教師引導(dǎo)、點(diǎn)撥，學(xué)生從而梳理例子中的異同，提取概念的本質(zhì)屬性，不僅掌握了解決這一類問題的方法，獲得整體認(rèn)識(shí)，而且透過了現(xiàn)象弄清了這類問題的本質(zhì)，對(duì)所學(xué)內(nèi)容得到更深層次的理解和認(rèn)識(shí).

數(shù)學(xué)抽象既是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，又是基本的數(shù)學(xué)思想.教師在教學(xué)時(shí)，要精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)知識(shí)逐步抽象概括的過程，使學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，又從抽象到具體，由直觀現(xiàn)實(shí)化抽象到概括化的發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步構(gòu)建抽象思維，形成抽象思維系統(tǒng)，最終實(shí)現(xiàn)抽象思維與具象層次的轉(zhuǎn)化.

【參考文獻(xiàn)】

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