教育信息化背景下線性代數(shù)內(nèi)容體系構(gòu)架的探索與實(shí)踐

方文波 李書剛 程婷 代晉軍 李正幫

【摘要】本文在總結(jié)國內(nèi)外線性代數(shù)教材的基礎(chǔ)上，介紹了以線性方程組為明線，以線性變換為暗線構(gòu)架線性代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容體系的一些具體做法以及該體系的特點(diǎn).《線性代數(shù)及其應(yīng)用》教材（根據(jù)該構(gòu)架體系編寫）入選國家“十二五”規(guī)劃教材，2018年獲得國家教學(xué)成果二等獎(jiǎng).

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)，內(nèi)容體系、線性方程組、線性變換、明線、暗線

【基金項(xiàng)目】“互聯(lián)網(wǎng)+”背景下線性代數(shù)新形態(tài)教材建設(shè)及教學(xué)模式探索（華中師范大學(xué)教研項(xiàng)目，2016）

一、背 景

我們的研究團(tuán)隊(duì)十多年來致力于線性代數(shù)課程數(shù)字化教學(xué)資源的研發(fā).目前已研發(fā)出的線性代數(shù)教學(xué)軟件有演算系統(tǒng)、測試系統(tǒng)、線實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)、求解模型等，在高等教育出版社出版了5套線性代數(shù)電子教案.在研發(fā)這些數(shù)字化教學(xué)資源過程中，我們參閱了大量國內(nèi)外優(yōu)秀的線性代數(shù)教材，并對它們進(jìn)行了研究.國內(nèi)外線性代數(shù)教材的主要內(nèi)容基本相同：行列式、矩陣代數(shù)、線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、特征值與特征向量、二次型、向量空間和線性變換等.不同之處在于：國外教材內(nèi)容相對較全面，難點(diǎn)分散，著重強(qiáng)調(diào)線性代數(shù)方法和應(yīng)用，在內(nèi)容編排上略顯松散;國內(nèi)教材在內(nèi)容上有所刪減，在編排上知識體系的邏輯性較好、較緊湊，強(qiáng)調(diào)理論和方法，對應(yīng)用重視不夠，幾乎不涉及數(shù)值計(jì)算.

在內(nèi)容組織上，國內(nèi)線性代數(shù)教材的內(nèi)容組織可分成兩種：無主線型和有主線型.無主線型是按知識點(diǎn)的前后邏輯順序進(jìn)行編排;有主線型是以某一個(gè)問題或知識點(diǎn)為主線將各內(nèi)容串聯(lián)起來形成一個(gè)整體，有主線型的主線一般為方程組、矩陣、初等變換、向量等.以方程組為主線編排的指導(dǎo)思想是希望以方程組的研究來引入其他內(nèi)容，或用方程組來解釋某些內(nèi)容.

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，線性代數(shù)已不僅僅是其他學(xué)科的基礎(chǔ)和工具，它已成為可以直接創(chuàng)造價(jià)值的數(shù)學(xué)技術(shù).基于此，我們產(chǎn)生了編寫一本吸收國內(nèi)外優(yōu)秀線性代數(shù)教材優(yōu)點(diǎn)的且符合我國國情的線性代數(shù)教材的想法.

二、內(nèi)容確定

在確定內(nèi)容時(shí)，我們考慮到我國高校工科專業(yè)線性代數(shù)課程的學(xué)時(shí)數(shù)較少（一般為32～52學(xué)時(shí)），以及教學(xué)大綱和考研的要求，最后確定的內(nèi)容有：行列式、矩陣代數(shù)、線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、特征值與特征向量、二次型.將線性空間濃縮成一節(jié)放在向量組的線性相關(guān)性中;將線性變換簡化成矩陣變換，分散在不同的知識點(diǎn)中，形成內(nèi)容體系的暗線.同時(shí)考慮到大部分同學(xué)學(xué)習(xí)線性代數(shù)的目的是應(yīng)用，我們精選并設(shè)計(jì)了14個(gè)應(yīng)用案例：平行四邊形的面積、平行六面體的體積、平面圖形變換、齊次坐標(biāo)、希爾密碼、劍橋減肥食譜、電路網(wǎng)絡(luò)、配平化學(xué)方程式、網(wǎng)絡(luò)流、向量在差分方程中的應(yīng)用、馬爾可夫鏈、二次曲線的研究、條件優(yōu)化、離散動(dòng)力系統(tǒng).

三、內(nèi)容構(gòu)架

使用了雙主線：以方程組的研究為明線，以線性變換為暗線.

1.明線的設(shè)計(jì)

我們知道，線性代數(shù)這門學(xué)科是在研究線性方程組的過程中發(fā)展起來的，因此，以方程組為明線的設(shè)計(jì)思路符合這門學(xué)科的發(fā)展規(guī)律.為了突出明線的作用，我們增加了線性方程組的研究這一章，在這章里通過幾個(gè)具體的例子來引入線性方程組解的三種情形以及在研究線性方程組時(shí)需解決的三個(gè)問題.除了特征值特征向量及二次型外，其他內(nèi)容都是為了解決這三個(gè)問題而展開的.

行列式是在研究線性方程組的過程中最早產(chǎn)生的一個(gè)重要概念.為了記憶二元和三元線性方程組唯一解的求解公式，引入了二階和三階行列式.研究了行列式的定義和性質(zhì)后，克拉默法則解決了有n 個(gè)未知量n 個(gè)方程的線性方程組有唯一解的條件以及唯一解的求解公式.

為了研究一般線性方程組，需要引入新的概念、新的工具，建立新的理論.由于線性方程組與未知量的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的矩形數(shù)表一一對應(yīng)，所以線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化成對這個(gè)矩形數(shù)表的研究，這樣很自然地引入了矩陣這個(gè)概念，矩陣為線性方程組的研究提供了有力工具.

如何利用矩陣來研究線性方程組？還需要引入哪些概念和方法呢？為了解決這些問題，我們增加了消元法.消元法是先用初等變換將方程組化為階梯形方程組，然后通過階梯形方程組來討論原方程組的解.利用消元法可以對具體線性方程組解的情形進(jìn)行判別，但對一般的線性方程組，由于得不到階梯形方程組，因而此時(shí)消元法的結(jié)論好看不好用.為了使消元法的結(jié)論變得好用，可利用矩陣這一有力工具.為此先將消元法中方程組的初等變換、階梯形方程組、同解方程組、階梯形方程組中有效方程的個(gè)數(shù)等概念移植到矩陣中去，這樣便得到了矩陣的初等行變換、行階梯形矩陣、矩陣等價(jià)、矩陣的秩等概念.這樣處理使得矩陣的相關(guān)概念的引入變得非常自然，學(xué)生更容易接受.有了這些準(zhǔn)備后，就可以用矩陣語言將消元法的結(jié)論進(jìn)行描述，得到了在理論和具體應(yīng)用中都非常有用的線性方程組解的判別定理.由此，使學(xué)生既可以看到矩陣?yán)碚撝械暮芏嘀匾拍詈头椒ǖ囊氩皇菙?shù)學(xué)家憑空想出來的，而是有的放矢，又可從中學(xué)到分析問題和解決問題的方法.

雖然利用矩陣的秩可以判別方程組解的情形，利用矩陣的初等行變換可以求出方程組的全部解即通解，但方程組的研究還沒有結(jié)束，因?yàn)樵谕ń庵惺怯糜邢迋€(gè)解來表示全部的解，也就是說通解是有結(jié)構(gòu)的.為了研究通解的結(jié)構(gòu)，需要用到線性代數(shù)中的另一重要工具——向量.另外，線性方程組中的每個(gè)方程可以唯一確定一個(gè)向量，故線性方程組與向量組構(gòu)成一一對應(yīng)的關(guān)系，因而線性方程組理論中的很多概念，如線性表示、線性相關(guān)、同解方程組、保留方程組、保留方程組中方程的個(gè)數(shù)等移植到向量組中去就產(chǎn)生了線性表示、線性相關(guān)、向量組等價(jià)、極大無關(guān)組、向量組的秩等概念.同時(shí)，在建立向量組理論的過程中還會(huì)反復(fù)地用到線性方程組的理論.向量組的理論形成后，就可以用它來解釋線性方程組通解的結(jié)構(gòu).

矩陣的特征值特征向量理論、二次型理論可以看成是線性方程組理論和前面已形成的矩陣?yán)碚?、向量組理論的應(yīng)用.

綜上所述，用線性方程組將線性代數(shù)中的其他經(jīng)典內(nèi)容串聯(lián)起來有以下優(yōu)點(diǎn)：一是可使得原本相互獨(dú)立的知識模塊構(gòu)成一個(gè)有機(jī)整體，使整個(gè)內(nèi)容體系脈絡(luò)清晰;二是可使學(xué)生掌握線性代數(shù)處理問題的思維和方法，掌握線性代數(shù)中的兩種重要語言——矩陣語言和向量語言;三是有利于進(jìn)行問題式、研究式教學(xué).

2.暗線設(shè)計(jì)

將線性變換作為內(nèi)容體系的暗線是基于以下考慮：一是因?yàn)榫€性變換是線性代數(shù)這門學(xué)科的核心內(nèi)容之一;二是線性變換的矩陣形式在工程技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用;三是為了增加趣味性和直觀性.

在本內(nèi)容體系中，線性變換首次出現(xiàn)在用于引出矩陣概念的引例中，說明線性變換與矩陣形成一一對應(yīng)的關(guān)系，線性變換的研究可轉(zhuǎn)化為矩陣的研究.

利用線性變換引出逆矩陣的概念，驗(yàn)證一個(gè)矩陣是另一個(gè)矩陣的逆矩陣，求逆矩陣.例如，利用線性變換求矩陣A=1-111的逆矩陣.矩陣A所確定的線性變換設(shè)為 y=Ax，則求逆矩陣即為求逆變換.在高等數(shù)學(xué)圖形系統(tǒng)MathGS中可以直觀地發(fā)現(xiàn)，線性變換y=Ax是先把原像x逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度然后放大一個(gè)倍數(shù)即得像y，因此只要能求出旋轉(zhuǎn)角和放大的倍數(shù)值即可求出逆變換.這兩個(gè)數(shù)經(jīng)過矩陣的簡單運(yùn)算不難得到.因?yàn)锳=1-111= 2 22- 22 22 22= 200 2 22- 22 22 22= 200 2cos π4-sin π4sin π4cos π4，

所以，旋轉(zhuǎn)角為π4，放大倍數(shù)為 2，于是逆變換的矩陣即所求逆矩陣為

A-1=1 2001 2cos - π4-sin - π4sin - π4cos - π4=1212- 1212.

利用初等矩陣的理論來解釋計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的圖形變換只有對稱、伸縮和錯(cuò)切等三種基本變換，而其他任何可逆線性變換均可由這三種基本變換復(fù)合而成.

利用線性變換可直觀地引出矩陣特征值與特征向量的概念.事實(shí)上，矩陣特征值與特征向量正是數(shù)學(xué)家在研究線性變換時(shí)發(fā)現(xiàn)的.一般情況下，向量x在線性變換y=Ax下的像y的長度和方向都會(huì)改變，而有些線性變換則存在一些特殊的向量，這些特殊向量在該線性變換下的像與原像共線，這兩條特殊的向量就是特征向量.

所以，利用線性變換引出特征值與特征向量的概念，既符合特征值理論的形成過程，也能使學(xué)生感覺是自己在發(fā)現(xiàn)知識，而不僅僅是在學(xué)習(xí)知識.

二次型的研究本身就離不開線性變換.為了說明特征值特征向量的幾何意義，我們還增加了利用正交變換研究二次曲線和二次曲面兩個(gè)案例.

內(nèi)容體系暗線的設(shè)計(jì)有以下優(yōu)點(diǎn)：一是使內(nèi)容體系本身更加豐滿，二是使抽象的內(nèi)容直觀化，從而降低理解的難度，三是使理論和應(yīng)用有機(jī)結(jié)合，增加了趣味性，四是使部分知識點(diǎn)更適合進(jìn)行翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué).

基于以上思路，我們已編寫了《線性代數(shù)及其應(yīng)用》教材，該教材已在高等教育出版社出版，并已成功入選國家“十二五”規(guī)劃教材.教材出版后得到了國內(nèi)相關(guān)專家的肯定，也得到了廣大師生的好評，包含該教材的教研成果2018年獲得國家教學(xué)成果二等獎(jiǎng).正是由于該教材得到了廣泛肯定，我們才有信心將我們的編寫思路拿出來供大家參考，希望能起到拋磚引玉的作用，特別是希望能對廣大青年教師的線性代數(shù)課程教學(xué)有所幫助.

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