集合論公理的選擇：兩種路徑

寇 亮

一、引言

自上個(gè)世紀(jì)公理化集合論發(fā)展起來(lái)后，集合論的ZFC系統(tǒng)已經(jīng)得到了普遍認(rèn)可。與此同時(shí)，關(guān)于集合論新公理的討論也一直不曾停止①誠(chéng)然，一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)不需要新公理，但這個(gè)問(wèn)題不在本文討論的范圍內(nèi)。本文要討論的是，目前集合論新公理討論中的幾種選項(xiàng)與它們各自的理由。。哥德?tīng)栐谄洹妒裁词强低械倪B續(xù)統(tǒng)假設(shè)》一文中提到：“康托的猜想必然或者為真或者為假，從今日已知公理得到的不可判定性?xún)H能表明，這些公理沒(méi)有包含對(duì)這一事實(shí)（this reality）的完全描述……集合論公理絕沒(méi)有構(gòu)成一個(gè)自身封閉的系統(tǒng)……”[1]

為集合論增加新公理這個(gè)問(wèn)題在哥德?tīng)柡涂贫鞯难芯恐笞兊酶鼮榫o迫：連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（CH）就是ZFC不能判定的一個(gè)有意義的數(shù)學(xué)命題。即，我們可以構(gòu)造一個(gè)模型L，其中連續(xù)統(tǒng)假設(shè)為真；也可以構(gòu)造一個(gè)模型M[G]，其中連續(xù)統(tǒng)假設(shè)為假。因此，ZFC不能證明CH，也不能證明CH的否定。

要為ZFC 添加什么樣的公理，這是一個(gè)不容易的問(wèn)題。例如，我們是否可以直接把CH 或CH 的否定作為公理呢？如果添加CH 作為公理，理由何在？除此之外，由于哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼南拗?，任何ZFC 的擴(kuò)張都存在不可判定的命題，特別地，它們都必然不能證明自身的一致性。受此限制，我們對(duì)新公理的探索到哪一步停下？添加新公理的目的又是什么呢？

當(dāng)代集合論的兩大主要分支：大基數(shù)和力迫，它們對(duì)以上問(wèn)題的解決給出了兩種備選項(xiàng)：大基數(shù)公理和力迫公理。

二、兩組候選公理

（一）大基數(shù)公理

將大基數(shù)公理作為候選新公理是一個(gè)較為自然的選擇，因?yàn)樽钤绫话l(fā)現(xiàn)的大基數(shù)——不可達(dá)基數(shù)——實(shí)際上是對(duì)第一個(gè)無(wú)窮ω的模仿。

我們已知所有的大于?0的后繼基數(shù)都是正則的①序數(shù)α的共尾cf(α)是最小的滿(mǎn)足存在f:β→α使得sup(f[β])=α的序數(shù)β。一個(gè)基數(shù)κ是正則的當(dāng)且僅當(dāng)cf(κ)=κ。，因此奇異基數(shù)②一個(gè)基數(shù)是奇異的當(dāng)且僅當(dāng)其不是正則的。都是極限基數(shù)。反過(guò)來(lái)，是否存在正則的極限基數(shù)呢？豪斯道夫最早注意到，這樣的基數(shù)κ必須滿(mǎn)足κ=?κ，并且κ中極限點(diǎn)的極限就是κ。這樣的基數(shù)被稱(chēng)為“弱不可達(dá)基數(shù)”。

觀察ω和每一個(gè)自然數(shù)的關(guān)系，從自然數(shù)到達(dá)“更大”的集合無(wú)非通過(guò)兩種方式。第一種是進(jìn)行“后繼運(yùn)算”：κ→κ+；第二種是進(jìn)行“冪集運(yùn)算”κ→2κ。并且，任何自然數(shù)都不能通過(guò)先取一組基數(shù)較小的集合后取并集“堆起來(lái)”③即共尾運(yùn)算：κ→cf(κ)。達(dá)到ω。容易發(fā)現(xiàn)，通過(guò)自然數(shù)的后繼運(yùn)算、取冪運(yùn)算都無(wú)法達(dá)到ω，且ω的共尾就是ω，因此“從下面堆積”無(wú)法到達(dá)ω。一個(gè)自然的問(wèn)題是，是否有其他的集合也滿(mǎn)足這樣的條件？塔斯基將?0之上的這樣的基數(shù)稱(chēng)為“不可達(dá)基數(shù)”。

假設(shè)廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立，則“弱不可達(dá)基數(shù)”與“不可達(dá)基數(shù)”等價(jià)。它們是已知的最小大基數(shù)④這里的“小”，指一致性強(qiáng)度。若T+φ 的一致性蘊(yùn)涵T 的一致性，則我們稱(chēng)T+φ 的一致性強(qiáng)度不弱于（≥）T。假設(shè)ZFC+存在κ 是不可達(dá)基數(shù)一致，那么Vκ?ZFC，因此ZFC一致。，在ZFC之中我們不能證明存在這樣的基數(shù)。

由以上可以總結(jié)不可達(dá)基數(shù)的幾個(gè)特點(diǎn)：

a）不可達(dá)基數(shù)的定義是對(duì)第一個(gè)無(wú)窮ω的模仿；

b）不可達(dá)基數(shù)的一致性強(qiáng)度比ZFC更強(qiáng)；

c）ZFC+“存在不可達(dá)基數(shù)”是對(duì)ZFC的擴(kuò)張⑤即ZFC中不能證明存在不可達(dá)基數(shù)。。

正是因?yàn)槿绱?，哥德?tīng)栒J(rèn)為不可達(dá)基數(shù)這樣的大基數(shù)公理是擴(kuò)充ZFC 的良好選項(xiàng)：“……集合論公理所基于的集合概念暗示了公理系統(tǒng)的擴(kuò)張，這些擴(kuò)張的新公理斷言存在‘……的集合’這一運(yùn)算的更遠(yuǎn)迭代……這些強(qiáng)‘無(wú)窮公理’中最簡(jiǎn)單的就是斷言存在＞?0的不可達(dá)基數(shù)?！盵1]520

回到引言中最末段的問(wèn)題，我們加入新公理的目標(biāo)是什么？斯蒂爾在其《哥德?tīng)柧V領(lǐng)》一文中將哥德?tīng)栐凇妒裁词强低械倪B續(xù)統(tǒng)假設(shè)》中所提出的目標(biāo)總結(jié)為：“哥德?tīng)柧V領(lǐng)在ZFC 獲得良好辯護(hù)的（well-justified）擴(kuò)張中決定那些獨(dú)立于ZFC的數(shù)學(xué)上有趣的問(wèn)題”[2]。

因此對(duì)于實(shí)現(xiàn)哥德?tīng)柧V領(lǐng)而言，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)有兩個(gè)要點(diǎn)，一是解決獨(dú)立性，二是獲得良好辯護(hù)。獲得良好辯護(hù)在哥德?tīng)柕恼Z(yǔ)境下包含了內(nèi)在辯護(hù)與外在辯護(hù)[1]519-521⑥對(duì)內(nèi)在辯護(hù)與外在辯護(hù)的分析，還可參考寇亮《反映原理作為大基數(shù)內(nèi)在辯護(hù)的不可行性》（《邏輯學(xué)研究》2020 年第4 期）。。不論是就解決獨(dú)立性的目標(biāo)，還是就獲得良好辯護(hù)而言，大基數(shù)公理同時(shí)代的備選項(xiàng)還有哥德?tīng)柕目蓸?gòu)成性公理V=L，因?yàn)閂=L有如下一些優(yōu)勢(shì)：

a）L中可以獲得一個(gè)可定義的良序，能知道CH是對(duì)的，能知道存在蘇斯林樹(shù)，進(jìn)而蘇斯林假設(shè)不成立，即可以解決大量獨(dú)立性問(wèn)題；

b）L是一個(gè)有秩序的、結(jié)構(gòu)十分清晰的模型；

c）V=L使得我們對(duì)一些具體的數(shù)學(xué)概念有了更深的理解。例如假設(shè)V=L，可知κ是弱緊基數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)不存在κ蘇斯林樹(shù)。

哥德?tīng)査幍臅r(shí)代人們所能認(rèn)識(shí)到的大基數(shù)公理與V=L都是相容的。從下面的定理可知，如果存在這樣的大基數(shù)，那么這些大基數(shù)在L之中也存在：

定理1[3]

a）若κ是基數(shù)，則（κ是基數(shù)）L；

b）若κ是極限基數(shù)，則（κ是極限基數(shù)）L；

c）若κ是正則基數(shù)，則（κ是正則基數(shù)）L；

d）若κ是不可達(dá)基數(shù)，則（κ是不可達(dá)基數(shù)）L；

e）若κ是馬洛基數(shù)，則（κ是馬洛基數(shù)）L。

如果L與大基數(shù)相容，那么或許L的確就是那個(gè)獨(dú)特的集合宇宙，或許在新公理下，所有有意義的數(shù)學(xué)命題都可以得到判定。但是，斯科特的結(jié)果表明，這是不能做到的：

定理2（Scott）[4]如果存在可測(cè)基數(shù)，則V≠L。

可測(cè)基數(shù)是從測(cè)度自然引入的一種大基數(shù)，它等價(jià)于存在某種形式的初等嵌入。可測(cè)基數(shù)是比不可達(dá)基數(shù)強(qiáng)得多的一種大基數(shù)。因此，大基數(shù)公理與V=L只能二選一。

事實(shí)上，不僅只有可測(cè)基數(shù)與V=L不相容，0#這樣的大基數(shù)①0#的原始定義與一種不可辨元序列有關(guān)。如果0#存在，事實(shí)上0#=Σ={φ:L?ω[?1,…,?n]}，編碼后是一個(gè)實(shí)數(shù)。也與V=L不相容。因?yàn)樗葍r(jià)于存在L到L的非平凡初等嵌入：

定理3（Kunen）[5]323

下列等價(jià)：

a）0#存在；

b）不存在j:L→L是非平凡初等嵌入。

而同時(shí)，不存在V到V的非平凡初等嵌入：

定理4（Kunen）[5]290若存在j:M→V的非平凡初等嵌入，則M≠V。

大基數(shù)公理與V=L不相容，但集合論學(xué)家、特別是柏拉圖主義傾向的集合論學(xué)家不傾向于將L作為真實(shí)的集合宇宙②事實(shí)上，邏輯學(xué)家在這個(gè)問(wèn)題上莫衷一是。遞歸論學(xué)家會(huì)認(rèn)為V=L 是非常好的公理，柏拉圖主義的集合論學(xué)家，如H.Woodin 絕不認(rèn)為L(zhǎng)是真實(shí)的集合宇宙，形式主義的邏輯學(xué)家則只考慮相對(duì)一致性結(jié)果和它的后承。。這基于多種理由。第一，0#之下的那些較小的大基數(shù)可以獲得較為可靠的內(nèi)在辯護(hù)；第二，大基數(shù)公理也蘊(yùn)含著許多漂亮的結(jié)果，例如Woodin基數(shù)與PD 的等一致性；第三，有一些大基數(shù)公理成立的“證據(jù)”，例如HOD 猜想、終極L猜想等[6]。目前，數(shù)學(xué)哲學(xué)仍在探索大基數(shù)公理更受集合論學(xué)家青睞的理由。

除了上述這些大基數(shù)公理之外，還有更多比可測(cè)基數(shù)更強(qiáng)的大基數(shù)公理。這些大基數(shù)公理有著與可測(cè)基數(shù)定義相類(lèi)似的形式，即都斷言存在著某種形式的初等嵌入，例如超緊基數(shù)、Woodin 基數(shù)等等。在哥德?tīng)柧V領(lǐng)下，人們?cè)噲D尋找容納大基數(shù)公理和V=L兩種優(yōu)勢(shì)的新集合宇宙，這是我們后文將會(huì)介紹的內(nèi)模型計(jì)劃。如前所述，大基數(shù)公理是哥德?tīng)柧V領(lǐng)下的候選新公理。

（二）力迫公理

哥德?tīng)栐凇妒裁词强低械倪B續(xù)統(tǒng)假設(shè)》一文發(fā)表時(shí)，尚不知道（或剛剛知道）Cohen 的力迫法結(jié)果。Cohen 的力迫法證明CH 的獨(dú)立性后，哥德?tīng)柼剿骷细拍畹哪繕?biāo)立刻受到了挑戰(zhàn)。對(duì)哥德?tīng)柖裕细拍钍仟?dú)一無(wú)二的實(shí)在。換言之，集合宇宙是唯一的，我們發(fā)現(xiàn)新公理的目標(biāo)，只是幫助我們理解這個(gè)唯一的集合宇宙。

但以Cohen為代表的形式主義者不這么認(rèn)為。對(duì)于形式主義者而言，獨(dú)立性不過(guò)意味著，在ZFC這個(gè)公理系統(tǒng)下，CH 既不能被證明，也不能被證否，僅此而已。我們可以借助力迫法構(gòu)造不同的模型，以此證明一個(gè)命題在不同的模型下可以有不同的真值。利用力迫法得出的相對(duì)一致性無(wú)非意味著，某個(gè)公理系統(tǒng)下一些命題是獨(dú)立的。這種形式主義推而廣之，則形成了集合多宇宙觀，即沒(méi)有一個(gè)獨(dú)特的集合宇宙，而是有著諸多地位平等的集合宇宙①可見(jiàn)Shelah S.,“Logical Dreams”, Preprint Math, 2002, 此文中Shelah 并不認(rèn)為所有的集合論模型都是完全平等的，但他沒(méi)有給出“合法”集合宇宙的具體標(biāo)準(zhǔn)。持有多宇宙觀這種觀點(diǎn)的邏輯學(xué)家還包括J.D.Hamkins。。

構(gòu)造不同的集合宇宙，并且獲得諸多獨(dú)立性命題的唯一方法是力迫法。通過(guò)力迫法，我們可以從一個(gè)給定的力迫偏序之中獲得一些信息，利用與可數(shù)稠子集族的每一個(gè)稠子集都相交的脫殊濾（generic filter）G，我們可以構(gòu)造一個(gè)外模型M[G]，這個(gè)模型之中的每一個(gè)元素都有由基底模型（ground model）M得到的“名字”。通過(guò)控制力迫偏序，我們可以獲得有著不同事實(shí)的M[G]。

從力迫法之中獲得信息的關(guān)鍵在于，存在一個(gè)濾G與可數(shù)稠子集族的每一個(gè)稠子集都相交[7]：

定義1

MA：?κ＜2ω(MA(κ))。

由于能和更多的稠子集相交，因此馬丁公理可以給我們更多信息。馬丁公理可以幫助我們確定ω1和2ω上的很多信息，因此可以構(gòu)造一個(gè)能幫助我們更好地理解實(shí)數(shù)理論②即可以確定很多實(shí)數(shù)子集相關(guān)的獨(dú)立性命題。的集合論模型。例如，馬丁公理蘊(yùn)涵一般化的貝爾綱定理等[5]276-279。但這些都建立在連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不成立的前提下，否則馬丁公理并不能給我們帶來(lái)更多信息。如果連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定與馬丁公理一致，那么我們就有理由將其作為一條公理。

使用迭代力迫，我們可以構(gòu)造一個(gè)模型，其中MA成立而CH不成立，因此MA+?CH一致：

定理6（索羅韋與特納鮑姆[5]273）

設(shè)GCH在V中成立，令κ是大于?1的正則基數(shù)。那么存在一個(gè)c.c.c力迫使得脫殊擴(kuò)張V[G]滿(mǎn)足馬丁公理和2?0=κ。

因此，我們的確有理由將馬丁公理作為一條公理。這里將它作為公理的意思是，我們能從馬丁公理得到一些有秩序的數(shù)學(xué)結(jié)論，同時(shí)我們能夠構(gòu)造出一些馬丁公理成立的、有意思的集合論模型。因此，將馬丁公理作為公理，并不蘊(yùn)涵著一個(gè)獨(dú)特的集合論宇宙。

注意到，馬丁公理有兩個(gè)要求，一是c.c.c 的力迫類(lèi)，二是對(duì)||＜2?0的稠子集族都有脫殊濾。在力迫法證明獨(dú)立性的步驟中，c.c.c的要求主要用于保持基數(shù)不變[7]213，特別是保持ω1不變。因此，要加強(qiáng)馬丁公理，我們可以直接考慮將c.c.c換成保持ω1。

我們使用記號(hào)FA（κΓ）表示一般的力迫公理，其中Γ 表示具有某種性質(zhì)的力迫類(lèi)，κ表示任意稠子集族||＜κ，則存在脫殊濾。可知MA 即FA2?（0c.c.c）?，F(xiàn)在我們同時(shí)加強(qiáng)κ和Γ。若將Γ加強(qiáng)為保持ω1的力迫，且κ=ω2，那么這個(gè)力迫公理毫無(wú)意義，因?yàn)樗愠闪ⅰ?/p>

另一種保持ω1的方式是要求ω1封閉（ω1-closed）。若將Γ 替換為ω1封閉的力迫，且κ=ω2，則會(huì)不一致。因?yàn)榭梢允褂玫ζ葮?gòu)造一個(gè)破壞ω1封閉的力迫。

因此，我們希望能夠選擇合適的力迫作為Γ。這就是謝拉赫提出的真力迫[7]602：

定義3

根據(jù)T.Jech經(jīng)典集合論教材的敘述[7]601，“真”是對(duì)c.c.c和ω1封閉的同時(shí)加強(qiáng)：

引理1

a）力迫是c.c.c的蘊(yùn)涵力迫是合適的；

b）力迫是ω1封閉的蘊(yùn)涵力迫是合適的；

c）力迫是合適的蘊(yùn)涵力迫是ω1保持的。

定理7

若存在超緊基數(shù)，那么存在一個(gè)脫殊模型滿(mǎn)足PFA。即Con（ZFC+超緊基數(shù)）蘊(yùn)涵Con（ZFC+PFA）。

如果繼續(xù)加強(qiáng)PFA，則可得到馬丁極大（MM）。這里引入的是“半真”（semiproper）概念①可見(jiàn)Jech T.,Set Theory,Berlin:Springer Science&Business Media,2013,p.649.定義34.3，這里使用等價(jià)定義。：

定義4

同樣，超緊基數(shù)蘊(yùn)涵MM的一致性[5]684：

定理8

若存在超緊基數(shù)，那么存在一個(gè)脫殊模型滿(mǎn)足MM。

以上的力迫公理也是新公理的一種候選項(xiàng)。

三、大基數(shù)公理與力迫公理的矛盾

大基數(shù)公理與力迫公理看起來(lái)都是ZFC 較為自然的擴(kuò)張。大基數(shù)公理可以擴(kuò)展我們對(duì)無(wú)窮的認(rèn)識(shí)，而利用合適力迫可以得到大量無(wú)窮組合上的結(jié)果②可見(jiàn)Kunen K.,Vaughan J.Handbook of Set Theoretic Topology, Holland:Elsevier,2014.第21章合適力迫部分。，利用PFA可以獲得一些整齊的結(jié)論[8]。不同力迫公理的一致性強(qiáng)度，還總是與大基數(shù)公理相關(guān)，二者似乎有著緊密的聯(lián)系。那么我們是否可以同時(shí)接納大基數(shù)公理和力迫公理呢？

正如前文介紹的那樣，大基數(shù)公理背后的哲學(xué)是存在唯一的集合宇宙，因此與可以構(gòu)造諸多集合論模型的力迫，在哲學(xué)上是有矛盾的。盡管力迫公理并不直接斷言存在諸多地位平等的集合論模型，但它在整體上與大基數(shù)公理有著矛盾。

（一）大基數(shù)公理與內(nèi)模型計(jì)劃

前面我們提到大基數(shù)公理是哥德?tīng)柧V領(lǐng)下的新公理備選項(xiàng)。由于0#之上的那些大基數(shù)與V=L不相容，因此集合論學(xué)家不傾向于認(rèn)為L(zhǎng)是真實(shí)的集合宇宙。因此，基于大基數(shù)公理，一些集合論學(xué)家提出了內(nèi)模型計(jì)劃：尋找一個(gè)類(lèi)似L的、與大基數(shù)相容的集合論模型。

假設(shè)存在可測(cè)基數(shù)，則我們可以構(gòu)造一個(gè)模型L[U]，使得它是僅包含一個(gè)可測(cè)基數(shù)的集合論模型。按照類(lèi)似的方法，我們可以繼續(xù)往模型中加入大基數(shù)。米切爾Steel擴(kuò)張模型能夠在迭代假設(shè)（iteration hypothesis）下證明存在超強(qiáng)基數(shù)。這種方法下已知的最好結(jié)果來(lái)自尼曼，他證明存在一個(gè)內(nèi)模型，其中存在一個(gè)Woodin 基數(shù)，它是一系列武丁基數(shù)的極限[9]。H.Woodin 在他的研究中[10]觀察到，假設(shè)N是ZFC的內(nèi)模型，δ是其中的超緊基數(shù)，若“δ是N中的超緊基數(shù)”被限制到N的一些擴(kuò)張?jiān)赩中見(jiàn)證（即：對(duì)任意γ＞δ，存在一個(gè)Pδ（λ）上的正則精細(xì)超濾U使得Pδ（λ）∩N∈U且U∩N∈N），則這樣的模型（被稱(chēng)為弱擴(kuò)張模型）滿(mǎn)足一些很好的性質(zhì)。

首先，N中的“基數(shù)”的確是V中的基數(shù)，V中的奇異基數(shù)也是N中的“奇異基數(shù)”；對(duì)這些“奇異基數(shù)”，N中算出來(lái)的“后繼”就是這些奇異基數(shù)的后繼。其次，與L[U]和向L[U]逐步添加基數(shù)不同，N中有許許多多可測(cè)基數(shù)。最重要的是，N中包含所有目前已知的大基數(shù)。

如何構(gòu)造這樣的弱擴(kuò)張子模型，目前還沒(méi)有讓人滿(mǎn)意的結(jié)論。但Woodin發(fā)現(xiàn)，HOD①遺傳序數(shù)可定義集的類(lèi)。有類(lèi)似L的二歧性，即它或者很接近V，或者離V很遠(yuǎn)。若前者成立，則HOD 就是當(dāng)κ是超緊基數(shù)時(shí)的弱擴(kuò)張子模型。基于此，Woodin提出了終極L猜想：假設(shè)κ是可擴(kuò)張基數(shù)，則存在模型N滿(mǎn)足：

a）N是κ是超緊基數(shù)的模型；

b）N?HOD；

c）N?存在Woodin基數(shù)的真類(lèi)。

內(nèi)模型計(jì)劃中，GCH總是成立。例如，L[U]中GCH成立，終極L猜想也蘊(yùn)涵GCH成立。

（二）力迫公理的推論

在大基數(shù)公理中，MA 最早并不是被嚴(yán)肅地作為公理提出的。根據(jù)D.Martin 和R.Solovay 最早論文[11]140的報(bào)道，MA 只是用于討論CH 替換項(xiàng)的產(chǎn)物：“我們迫切需要一個(gè)CH 的替換項(xiàng)。本文的目標(biāo)即是考慮這樣的備選項(xiàng)。我們引入一個(gè)‘公理’……”[11]

對(duì)Shelah 而言，引入合適力迫并非是作為MA 的一般化。他通過(guò)引入合適力迫得到了與Martin 和Solovay對(duì)c.c.c力迫平行的結(jié)論[12]334-393，借助合適力迫得到一些關(guān)于無(wú)窮組合的一致性結(jié)論。

真正引入合適力迫公理的是鮑姆加特納[12]，他發(fā)現(xiàn)PFA 比MA 蘊(yùn)涵一些強(qiáng)得多的結(jié)論。最典型的就是，MA 的一致性?xún)H需ZFC 的一致性，但目前所知，PFA 的一致性需要超緊基數(shù)。盡管得到了諸多比MA 更強(qiáng)的結(jié)論，但正如MA 一樣，集合論學(xué)家那時(shí)（1984 年）并不真正把PFA 作為一條公理來(lái)看待，只是出于技術(shù)性便利而稱(chēng)其為“公理”。

據(jù)J. Schatz 在其博士論文中的報(bào)道，這個(gè)情況在托爾多切維奇之后發(fā)生了重大轉(zhuǎn)變[13]33。Todorc?vi? 研究了開(kāi)染色公理（OCA），發(fā)現(xiàn)在OCA 下，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不成立，且2?0=?2[5]609。而PFA 蘊(yùn)涵OCA，因此PFA蘊(yùn)涵連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不成立。除連續(xù)統(tǒng)假設(shè)之外，PFA的很多結(jié)論都與內(nèi)模型計(jì)劃中的結(jié)論相反。由此可見(jiàn)，力迫公理和大基數(shù)公理之間存在著矛盾。

四、如何選擇？

既然力迫公理與大基數(shù)公理之間有矛盾，那么要如何在兩者之間做出選擇呢？

有一些集合論學(xué)家，例如M.Magidor 和Todorc?vi? 認(rèn)為，PFA 應(yīng)該被視為ZFC 的補(bǔ)充公理；另一些集合論學(xué)家則認(rèn)為，大基數(shù)公理是更理想的ZFC 的補(bǔ)充公理。當(dāng)然，也有很多集合論學(xué)家，包括一些研究力迫公理的學(xué)者——Baumgartner、Shelah 和Foreman 等，只關(guān)注力迫公理帶來(lái)的獨(dú)立性結(jié)果，只將它作為一種集合論研究中的技術(shù)手段。

本文在此不打算討論他們各自的理由，也不打算對(duì)比哪一方的理由更有道理。仔細(xì)觀察大基數(shù)公理與力迫公理，我們能在它們的不同之處中尋找到它們的一些相同之處。

大基數(shù)公理與力迫公理的不同之處主要在于二者追求的目標(biāo)不同。同為新公理候選，大基數(shù)公理基于內(nèi)模型計(jì)劃，追求的是一個(gè)獨(dú)特的集合宇宙；與此相反，力迫公理更追求一些相對(duì)一致性的結(jié)果，我們不僅可以借助相對(duì)一致性將力迫公理作為獲得更多強(qiáng)數(shù)學(xué)結(jié)論的技術(shù)保障，還可以借助不同的力迫得到許多不同的集合宇宙。大基數(shù)公理和力迫公理常蘊(yùn)涵一些相互矛盾的結(jié)果，甚至有時(shí)的一些結(jié)論從根本上排斥另一組公理。例如，如果存在Woodin 基數(shù)的真類(lèi)，那么Th(L(?))對(duì)力迫免疫。即力迫無(wú)法改變L(?)中命題的真值。它們背后的哲學(xué)基礎(chǔ)是截然不同的，前者是數(shù)學(xué)實(shí)在論，而后者是形式主義。

盡管大基數(shù)公理與力迫公理有諸多不同，我們?nèi)钥梢园l(fā)現(xiàn)兩者的一些相同之處。限于篇幅，筆者在這里僅做一些簡(jiǎn)單的總結(jié)。

第一個(gè)相同之處是對(duì)極大的追求。大基數(shù)公理追求的是集合宇宙“高度”上的極大，即任何類(lèi)似ω那樣的無(wú)窮都可以被集合宇宙涵蓋。力迫公理追求的極大是通過(guò)稠子集獲得盡可能多的信息，在保證一致性的前提下，盡可能將力迫類(lèi)和稠子集的條件放寬。正如哥德?tīng)査裕骸拔倚闹械哪切┰獢?shù)學(xué)結(jié)論都集中于一點(diǎn)，或者可以說(shuō)僅僅只是一個(gè)基礎(chǔ)事實(shí)的不同方面，或許可以被稱(chēng)為：數(shù)學(xué)的非完成性（incompletability）或無(wú)止境（inexhaustibility）”[14]

第二個(gè)相同之處是，二者都蘊(yùn)含著某種帶有“絕對(duì)性”意味的結(jié)論。這些絕對(duì)性表明，集合宇宙可能是唯一的，也可能是有多個(gè)的，但絕不是可以被主觀隨意改變的。內(nèi)模型計(jì)劃的終極L猜想毫無(wú)疑問(wèn)蘊(yùn)含著這樣的結(jié)論。在力迫公理中，阿斯佩羅與辛德勒近來(lái)發(fā)現(xiàn)了如下定理：

定理9

MM++蘊(yùn)涵Woodin的公理（*）[15]。

后者蘊(yùn)涵存在一個(gè)(Hω2,∈,NSω1)的力迫不變的Π2理論。已知力迫可以容易地處理Π2命題，而Π2以上的命題很難使用Π2處理。因此，力迫公理實(shí)際上也蘊(yùn)含著存在某種獨(dú)特的實(shí)數(shù)子集的理論。困難之處僅在于，這樣的Π2不變理論蘊(yùn)涵CH 的否定，而內(nèi)模型計(jì)劃得出的結(jié)論CH 成立與此處矛盾。盡管如此，大基數(shù)公理與力迫公理都蘊(yùn)涵某種具有獨(dú)特性的絕對(duì)理論。

第三個(gè)相同之處在于，在某些強(qiáng)度的大基數(shù)公理和力迫公理處，大基數(shù)與力迫公理沒(méi)有那么絕對(duì)對(duì)立。最典型的即是超緊基數(shù)的一致性蘊(yùn)涵了PFA和MM的一致性。此外，我們還知道：

定理10（斯莫林）[5]611

若PFA成立，那么存在一個(gè)內(nèi)模型，滿(mǎn)足存在一個(gè)Woodin基數(shù)。

因此，如果出于相對(duì)一致性接受力迫公理，那么就必然接受一些大基數(shù)；如果接受大基數(shù)，除非我們有足夠的理由接受一個(gè)獨(dú)特的集合宇宙，那我們也要接受力迫公理的合法性。

從以上幾個(gè)角度看，盡管大基數(shù)公理和力迫公理在最前沿的發(fā)展上有一些相互矛盾的結(jié)論，但它們之間哲學(xué)上的矛盾和分歧并非完全無(wú)法調(diào)和?？偨Y(jié)這些哲學(xué)上的共同點(diǎn)，促進(jìn)對(duì)集合論基礎(chǔ)的討論，獲得更多的證據(jù)來(lái)探索集合宇宙，或許是未來(lái)做出集合論新公理選擇的可能途徑。