強化幾何直觀，拓展知識結(jié)構(gòu)

花奎

摘要：依據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》修訂編寫的蘇教版高中數(shù)學教材中，“基本不等式”（第1課時）編寫的變化比較大，主要體現(xiàn)在兩個方面：強化幾何直觀，拓展知識結(jié)構(gòu)。其教學價值（立意）有：挖掘知識源頭，凸顯數(shù)學文化;揭示知識演化，促進分支融合。

關(guān)鍵詞：幾何直觀;知識結(jié)構(gòu);高中數(shù)學新教材;基本不等式

2020年秋學期，江蘇省大部分地區(qū)開始在高一年級使用依據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“新課標”）修訂編寫的蘇教版高中數(shù)學教材（以下簡稱“新教材”）。剛開始使用新教材時，教師尤其要注意將其與修訂之前的舊教材做比較，找出不同之處，理解修訂意圖，這樣才能更好地設(shè)計和實施教學。在新舊教材的對比中，筆者發(fā)現(xiàn)“基本不等式”（第1課時）的編排變化比較大。本文重點分析新教材“基本不等式”（第1課時）編排的變化及其價值（立意），由此設(shè)計相應(yīng)的教學。

一、新教材的變化

新舊教材都從不等臂天平稱量物體質(zhì)量的情境出發(fā)，引出算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念;在引導(dǎo)學生猜想它們的大小關(guān)系后，利用作差法、分析法、綜合法等方法證明;然后通過例題和練習，引導(dǎo)學生應(yīng)用基本不等式解決一些比較簡單的數(shù)學問題。除了根據(jù)新課標的要求調(diào)整了這一內(nèi)容在高中數(shù)學知識體系中的位置，以及因為調(diào)整順序刪除了與指數(shù)有關(guān)的練習之外，新教材相對于舊教材的編排變化主要體現(xiàn)在兩個方面：

（一）強化幾何直觀

舊教材在證明基本不等式前，給出了“取一些數(shù)作試驗，計算結(jié)果表明ab≤a+b2（a、b≥0）”的活動陳述;在證明基本不等式后，提出了“根據(jù)下頁圖1，你能給出基本不等式ab≤a+b2的幾何解釋嗎”的思考問題。而新教材刪除了取值試驗的活動陳述，同時在證明基本不等式前，給出了幾何解釋的結(jié)果闡述，還增加了“利用‘弦圖（如下頁圖2），給出基本不等式的另一種幾何解釋”的練習。由此，突出了基本不等式的幾何意義，強化了幾何直觀。

（二）拓展知識結(jié)構(gòu)

新教材在證明基本不等式后，增加了ab≤a2+b22（a、b∈R）和ab≤a+b22（a、b∈R）這兩個簡單的推論，同時說明“這兩個不等式通?？梢灾苯邮褂谩?。還增加了“利用直角三角形三邊關(guān)系，證明1

二、教材變化的價值（立意）

（一）挖掘知識源頭，凸顯數(shù)學文化

數(shù)學史上，人們對代數(shù)關(guān)系的認識往往源于幾何圖形，因為“很多事情單憑抽象思維不易明白，加上直觀形象便清晰得多了”。比如，完全平方公式、平方差公式、解一元二次方程的配方法、三角函數(shù)公式等代數(shù)關(guān)系都是通過幾何圖形中的長度或面積關(guān)系發(fā)現(xiàn)的——尤其是三角函數(shù)，最初就是幾何量，后來才逐漸代數(shù)化的?；静坏仁揭膊焕?，新教材突出的幾何意義便來自歷史材料：

古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》卷六命題13中給出了兩條已知線段的幾何中項的作法：如圖3，以AB為直徑作半圓ADB，作CD⊥AB，則CD 即為AC和CB的幾何中項。3世紀末，古希臘數(shù)學家帕普斯在《數(shù)學匯編》卷三第2部分給出了兩條已知線段更多中項的作法：如圖4，以AB為直徑作半圓ADB，作CD⊥AB，連接OD，作CE⊥OD于E，則OD、CD、DE分別為AC和CB的算術(shù)中項、幾何中項和調(diào)和中項。根據(jù)這樣的中項作圖顯然可以得到基本不等式的幾何解釋。

3世紀，我國數(shù)學家趙爽在給《周髀算經(jīng)》“勾股圓方圖”作注時給出了“弦圖”。 “弦圖”不僅可以證明勾股定理，而且可以解釋基本不等式。

（二）揭示知識演化，促進分支融合

數(shù)學知識具有聯(lián)系性和整體性。把握這種聯(lián)系性和整體性，才能實現(xiàn)深度學習，發(fā)展核心素養(yǎng)。這要求教師在數(shù)學教學中，關(guān)注不同模塊（領(lǐng)域）知識的融合以及同一模塊（領(lǐng)域）知識的演化，適當融入相關(guān)內(nèi)容，把知識點變成知識鏈、知識網(wǎng)，從而幫助學生完善認知結(jié)構(gòu)，全面把握知識。

新教材突出基本不等式的幾何意義，可以幫助學生打通代數(shù)與幾何的聯(lián)系，感悟數(shù)與形的融合;增加基本不等式的推論，可以引導(dǎo)學生發(fā)展知識點，形成知識鏈;而增加證明三角不等式的練習，則可以引導(dǎo)學生進一步發(fā)展知識鏈，并打通與三角函數(shù)的聯(lián)系。

三、教學過程

基于上述對新教材修訂的分析，“基本不等式”（第1課時）的教學要突出這兩大變化。具體教學過程及設(shè)計意圖如下：

（一）現(xiàn)實情境引入

利用新教材中不等臂天平稱量物體質(zhì)量的情境，引出合情推理估計值a+b2和演繹推理精確值ab，從而自然提出“比較a+b2與ab的大小”這一本節(jié)課的核心問題。

[設(shè)計意圖：教材所給的情境體現(xiàn)了數(shù)學的應(yīng)用價值，能讓學生體會到數(shù)學來源于現(xiàn)實的需要，也能很好地幫助學生積累運用數(shù)學知識解決實際問題的經(jīng)驗。]

（二）直觀猜想結(jié)論

教師引導(dǎo)：“a+b2和ab叫作兩個正數(shù)a、b的算術(shù)中項和幾何中項。3世紀末，古希臘數(shù)學家帕普斯給出了中項的幾何作圖方法。如圖5，AB是⊙O的直徑，C為AB上異于端點的一點，若AC=a，CB=b，你能在圖中找到或作出長度分別為a+b2和ab的線段嗎？由此，你能發(fā)現(xiàn)它們的大小關(guān)系嗎？”學生合作討論，得出作圖方法以及大小關(guān)系。

[設(shè)計意圖：融入數(shù)學史料設(shè)計問題，引領(lǐng)學生重走數(shù)學家的探究發(fā)現(xiàn)之路，再現(xiàn)基本不等式的源頭，揭示基本不等式的幾何意義。]

（三）代數(shù)證明結(jié)論

教師引導(dǎo)學生嘗試用不同的方法證明基本不等式。學生首先想到“化無理為有理”，得到“把a+b2和ab平方，再作差比較”的方法。在此基礎(chǔ)上，教師歸納出“作差比較法”，引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)平方、作差后的關(guān)鍵步驟——配方，從而得到“直接作差，再配方”的方法，即新教材中的證法1。然后，教師引導(dǎo)學生“執(zhí)果索因”嘗試用“分析法”證明，得到新教材中的證法2。對此，教師讓學生聯(lián)系之前學習的充要條件知識，明確“要證A，只要證B”的本質(zhì)是“BA”，即B是A的充分條件。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學生確認每一步都是上一步的充分條件，從而反過來“由因?qū)Ч保玫叫陆滩闹械淖C法3。

最后，教師引導(dǎo)學生回顧討論幾種證法的特點：比較大小常用的方法是作差，將差值與0比較;分析法的特點是盯住結(jié)論，尋找使之成立的條件，綜合法則剛好與分析法相反。

[設(shè)計意圖：直觀猜想不能代替代數(shù)證明。代數(shù)證明可以訓(xùn)練學生的推理能力和計算能力，培養(yǎng)學生的理性精神。]

（四）拓展不等式鏈

教師改編新教材中證明三角不等式的練習，提出問題：“我們知道，根據(jù)勾股定理，直角三角形的三邊可設(shè)為a、b、a2+b2。根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，有a+b>a2+b2。這個不等式和基本不等式a+b2≥ab有不少相似的地方，比如，a、b都是正數(shù)，兩邊都是關(guān)于a、b的一次對稱式。但是也有不同的地方——前者取不到等號，而后者在a=b時取等號。你能想辦法調(diào)整一下，讓前者也能在a=b時取等號嗎？要求兩者原來相似的地方不變。”學生合作討論，得出“給a2+b2加上系數(shù)2”的方法。教師順勢提問：“這時，不等關(guān)系還是a+b≥2a2+b2嗎？”學生取值試驗后猜想：可能是a+b≤2a2+b2。

接著，教師提問：“那你能像之前那樣，用幾何作圖來驗證這個不等式嗎？”學生討論無果。教師提示：“如何作圖表示a2+b2？”學生想到作直角三角形，找斜邊。教師再提示：“如何作圖表示2a2+b2？”學生想到以斜邊為邊作正方形，找對角線。教師追問：“你發(fā)現(xiàn)a+b和2a2+b2的大小關(guān)系了嗎？”學生作圖后，發(fā)現(xiàn)還是無法比較。教師展開引導(dǎo)：“3世紀，我國數(shù)學家趙爽用‘弦圖證明了勾股定理。‘弦圖有直角三角形在內(nèi)和在外兩種作法。在外的作法如圖6所示。你能用它發(fā)現(xiàn)a+b和2a2+b2的大小關(guān)系嗎？”學生恍然大悟：圖中四個直角三角形的兩條直角邊長均分別為a、b，則大正方形邊長為a+b，小正方形的對角線長為2a2+b2，根據(jù)“平行線之間垂線段最短”，有a+b≤2a2+b2。

然后，教師提問：“那你能像之前那樣，用代數(shù)計算來證明這個不等式嗎？”學生回顧之前證明基本不等式的幾種方法，發(fā)現(xiàn)這里的a2+b2是一個整體，必須通過平方才能拆開，從而得到“把a+b和2a2+b2平方，再作差比較”的方法。

這時，教師出示教材中的練習：“設(shè)0°<α<90°，利用直角三角形三邊關(guān)系，證明1

自然地，教師引導(dǎo)學生綜合這一不等式和基本不等式，得到不等式鏈a+b2ab≤2a2+b22，即2ab≤a+b≤2a2+b2。

[設(shè)計意圖：改編教材練習融入教學，引導(dǎo)學生關(guān)注基本不等式的本質(zhì)特征（關(guān)于正數(shù)a、b的一次對稱式），從而構(gòu)造新的關(guān)于正數(shù)a、b的一次對稱式，拓展得到不等式鏈。]

（五）升級不等式鏈

教師提出問題：“回顧兩個不等式‘平方，再作差比較的證明過程，你還能發(fā)現(xiàn)什么不等式？”學生有點茫然。教師提示：“也就是說，這兩個不等式平方后能得到什么？”學生恍然大悟，得到升級的不等式鏈ab≤a+b22≤a2+b22，即2ab≤（a+b）22≤a2+b2，即4ab≤（a+b）2≤2（a2+b2）。

然后，教師提問：“那你還能像之前那樣，用幾何作圖來驗證這個不等式嗎？”并提示：“之前是一次式，用圖形的長度來表示，現(xiàn)在是二次式，用圖形的什么來表示呢？”學生想到圖形的面積，合作討論作出內(nèi)外都有直角三角形的“弦圖”（如圖7），將ab、a2+b2、（a+b）2分別用圖中兩個直角三角形的面積和、小正方形的面積、大正方形的面積表示，從而用圖中面積的不等關(guān)系驗證上述“升級”的不等式鏈。

這時，教師引導(dǎo)學生進一步發(fā)現(xiàn)“平方升級”前的不等式鏈要求a、b是非負數(shù)，而“平方升級”后的不等式鏈只要求a、b是實數(shù)。

[設(shè)計意圖：改編教材推論的編寫融入教學，繼續(xù)引導(dǎo)學生關(guān)注基本不等式的本質(zhì)特征（關(guān)于正數(shù)a、b的一次對稱式），從而構(gòu)造關(guān)于正數(shù)a、b的二次對稱式，“升級”得到不等式鏈。]

（六）嘗試應(yīng)用結(jié)論

教師引導(dǎo)學生完成新教材中的兩道例題。例1讓學生初步體驗運用基本不等式證明不等式，體會“積為定值，和有最小值”這一基本事實。例2讓學生了解應(yīng)用基本不等式求最值，有時要對所給的表達式做變形或轉(zhuǎn)化，以滿足“一正，二定，三相等”三個條件。

最后，在課堂小結(jié)中，教師特別讓學生體會兩個不等式鏈中ab、a+b、a2+b2，ab、（a+b）2、a2+b2等式子的結(jié)構(gòu)特征。在課后作業(yè)中，引導(dǎo)學生思考如何利用已有一次、二次式構(gòu)造新的一次、二次乃至三次式如構(gòu)造一次式aba+b并比較同次式的大小，發(fā)現(xiàn)更多不等式。這進一步培養(yǎng)了學生的代數(shù)“結(jié)構(gòu)感”，豐富了學生的知識結(jié)構(gòu)。

參考文獻：

[1] 徐彥輝.例析代數(shù)問題解答中“結(jié)構(gòu)感”的培養(yǎng)[J].教育研究與評論（中學教育教學），2019（10）.