重構(gòu)學(xué)習(xí) 深度理解
——HPM視角下“圓的面積”教學(xué)實踐與思考

□ 陳愛君

一、引言

“圓的面積”是人教版教材六年級上冊的內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)直邊圖形面積計算走向曲邊圖形面積計算的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折。站在學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的重要轉(zhuǎn)折點，如何把握好該內(nèi)容承載的獨特價值和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵生長點，值得教師深入研究和思考。

查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課已有教學(xué)流程的差異不大，大致可歸結(jié)為“提出主題情境問題—啟發(fā)學(xué)生動手操作（小組合作，將圓轉(zhuǎn)化為已學(xué)直邊圖形）—反饋交流中感悟無限分割的極限思想—達(dá)成共識運(yùn)用公式解決問題”四個環(huán)節(jié)。其中操作環(huán)節(jié)一般是學(xué)生在教師的啟發(fā)下，進(jìn)行剪切拼組，邊討論邊理解，教師主導(dǎo)探究過程，學(xué)生的探究空間有限。也有教師引入數(shù)學(xué)史輔助教學(xué)，但因課堂時間有限，數(shù)學(xué)史相關(guān)內(nèi)容往往以附加式介紹為主。實際上，分割重組等操作環(huán)節(jié)不是本節(jié)課的關(guān)鍵。因為學(xué)生已有多邊形面積計算的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，能想到將圓分割轉(zhuǎn)化為直邊圖形，但他們總是認(rèn)為推導(dǎo)得到的面積公式是一個近似公式，難以理解為什么曲邊可以等同于直邊，這才是本節(jié)課的核心問題。只有解決這一問題，滿足學(xué)生對何以畫圓為方及圓面積的其他推導(dǎo)方法的好奇心，學(xué)生才能實現(xiàn)由曲到直的思維跨越，深度學(xué)習(xí)才能真實發(fā)生。

為此，需要基于學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，構(gòu)建新的學(xué)習(xí)方式，設(shè)計能獲得深度理解的學(xué)習(xí)體驗。那么，該如何重構(gòu)學(xué)習(xí)，實現(xiàn)深度理解？回到數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，才能更好地把握符合歷史的主流方向。換言之，歷史的選擇更應(yīng)該成為教師的教學(xué)選擇。

二、以史為航，錨定知識價值核心

在數(shù)學(xué)史上，人們對圓面積的思考和探索前后跨越數(shù)千年，表1呈現(xiàn)了相關(guān)史料。置身歷史的坐標(biāo)，可以看到幾千年來數(shù)學(xué)家對圓面積計算原理的探尋軌跡。當(dāng)年，劉徽或阿基米德等前輩，無論怎樣割圓或細(xì)分，始終無法逾越直邊與曲邊之間留有的那道縫隙；開普勒試圖采用無限分割變形法跨越曲與直的界限，也遭到諸多質(zhì)疑；卡瓦列里從棉線帶來的靈感中獲得了不可分量原理，但曲與直的鴻溝依然存在。這些探索本質(zhì)上都是對直與曲、有限與無限關(guān)系的挑戰(zhàn)，雖沒有最終解決問題，但它們都為微積分的誕生奠定了基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)發(fā)展史中寶貴的財富。

表1 歷史上圓面積的推導(dǎo)

歷史上圓面積的推導(dǎo)方法多元，每種方法都曾經(jīng)在一定的時期得到推崇，但方法背后的“無限分割、化曲為直”才是對后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言最具價值的，也是教學(xué)圓面積中最應(yīng)該孕伏的。因此，本節(jié)課試圖將歷史上圓面積計算的典型方法融入教學(xué)，重構(gòu)以數(shù)學(xué)史料為探究載體的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生在對方法的選擇和理解中感悟極限思想在解決問題過程中的獨到價值。

三、以史為跡，重構(gòu)學(xué)習(xí)方式

維果茨基在最近發(fā)展區(qū)理論中提到：兒童實現(xiàn)發(fā)展水平由解決問題的能力決定，通過在成人指導(dǎo)下或是與更多有能力的同齡人協(xié)同解決問題，兒童的潛在發(fā)展水平將得到提升。想實現(xiàn)這一點，就需要教師深入了解兒童對知識理解發(fā)展的起點，捕捉學(xué)生在這一過程中遇到的最迫切困難，做出精確的判斷后再給予有效的學(xué)習(xí)支持?；谶@樣的思考，筆者決定運(yùn)用以提供學(xué)習(xí)支持為導(dǎo)向的學(xué)習(xí)建構(gòu)模型展開本節(jié)課的教學(xué)（如圖1，其中ZPD是最近發(fā)展區(qū)）。

圖1

（一）課前兩次任務(wù)導(dǎo)學(xué)，對話歷史，發(fā)現(xiàn)并嘗試解決問題

為了解學(xué)生在學(xué)習(xí)圓面積之前會通過什么樣的方法自主嘗試推導(dǎo)圓的面積公式，筆者在課前設(shè)計了第一次導(dǎo)學(xué)任務(wù)。通過對全班43 位學(xué)生的導(dǎo)學(xué)單的梳理發(fā)現(xiàn)：97.8%的學(xué)生知道圓面積公式，近40%的學(xué)生能用教材呈現(xiàn)的方法進(jìn)行推導(dǎo)，其中還有1 名學(xué)生使用了開普勒的方法。在導(dǎo)學(xué)單中可以看到，在嘗試探索圓面積公式的過程中，學(xué)生提出的疑惑、問題和數(shù)學(xué)史上關(guān)于這個問題的探索驚人相似。他們感到困難的地方有這樣兩個：一是如何把圓轉(zhuǎn)化成直邊圖形，二是通過轉(zhuǎn)化得到的計算公式是一個近似公式，直邊怎么會代替曲邊（如圖2）。第一次導(dǎo)學(xué)任務(wù)的反饋為更準(zhǔn)確地提供學(xué)習(xí)支持找到了依據(jù)。

圖2

之后教師為學(xué)生提供了幾種典型面積推導(dǎo)方法的史料，并設(shè)計了第二次導(dǎo)學(xué)任務(wù)：（1）對比第一次導(dǎo)學(xué)任務(wù)中自己的嘗試，看看更接近哪種方法；（2）選擇史料中自己感興趣的方法操作驗證。隨后，按照學(xué)生選擇的方法進(jìn)行分組，每組3~6人，組內(nèi)交流嘗試解決問題過程中的所得、所惑。

為了能向同伴清楚地解釋對圓面積公式推導(dǎo)的理解，在驗證過程中，學(xué)生采用了多種直觀、生動的方法。有的學(xué)生模擬史料中的方法，用紙張進(jìn)行剪、拼；也有的學(xué)生做了進(jìn)一步拓展，嘗試通過編程的方式再現(xiàn)史料中的方法，做出了電腦上動態(tài)的呈現(xiàn)效果。學(xué)生在課前充分思考、深度實踐、同伴互助、共同解決問題的過程中，又生發(fā)出新問題，并再次嘗試解決。如此往復(fù)，深刻地理解了圓面積公式推導(dǎo)的方法，積累了豐富的活動經(jīng)驗，深度學(xué)習(xí)得以發(fā)生。

（二）課上多輪交流、討論，剖析本質(zhì)，理解并解釋問題

經(jīng)歷深度理解的學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷思維的激烈碰撞，教師的任務(wù)就是不斷引起和維持這種碰撞，因此，課堂上要抓住核心問題，開展有效、深入的交流討論。

課堂上，教師展示學(xué)生完成導(dǎo)學(xué)單過程中提出的問題：（1）轉(zhuǎn)化前后，曲邊圖形變?yōu)榱酥边厛D形，面積沒有發(fā)生改變嗎？（2）圓面積是如何計算的？并試圖通過思維碰撞促進(jìn)問題的解決。

在小組交流匯報時提出要求：（1）說清研究過程和公式推導(dǎo)過程；（2）一個小組匯報結(jié)束后，其他同學(xué)可以提問，相互交流想法；（3）邊聽邊思考，這些方法和自己的方法有無相通之處？截取交流片段如下。

【片段1】轉(zhuǎn)化為平行四邊形（結(jié)合PPT演示）求面積

生1：首先我們把這個圓4等分后進(jìn)行拼組，發(fā)現(xiàn)有這樣的弧線，怎么辦呢？那再分得多一點，8等分，弧線仍然比較明顯，繼續(xù)分成16 等分、32 等分，這時弧線已經(jīng)接近于直的了，此時平行四邊形的高就是圓的半徑，底就是圓的周長除以2。這種方法和開普勒的方法比較接近，開普勒的方法是拼成三角形，也就是將上面這一行拼到下面來，這樣底就要乘2，就是圓的周長，再通過等積變形，變成一個大三角形。平行四邊形中底是πr，高是r，面積就是πr2。

生2：難道多一部分不會影響它的高嗎？

生1：你是指弧線部分嗎？不會的。我們將它分成了32等分，假如我們分成3200等分，那這里的弧線差不多就是一個點了，這個點就可以忽略不計，不會影響高的長度。

生3：如果拼成三角形的話，會不會有誤差？

生1：誤差不會有的，三角形的底邊是平行四邊形的2 倍。我們等一下可以關(guān)注介紹這種方法的小組的解釋。

這一小組所做的是對教材方法的介紹，在原有近40%學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)之上，面向全班學(xué)生系統(tǒng)地進(jìn)行介紹，并回應(yīng)其他同學(xué)的困惑，這是學(xué)生對極限思想理解的初步嘗試，后續(xù)不同方法的演繹將推動極限思想的深度理解。

【片段2】仿照劉徽的割圓術(shù)（拍攝微課輔助講解）求面積

在這一小組的分享中，學(xué)生再次將問題聚焦于轉(zhuǎn)化前后圖形面積的變化上。

（小組代表生1 呈現(xiàn)微課視頻，展示割圓拼補(bǔ)的過程）

生2：分割多余出來的弧形怎么計算？

生3：利用圓的面積的十二分之一與拼組長方形的面積求差就是弧形面積，推導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)得到差為0，這可以驗證我們的結(jié)論。

生4：（補(bǔ)充解釋）所以說隨著分割的份數(shù)越來越多，弧形面積可以忽略不計。

生5：我認(rèn)為不管怎么分割，弧形部分仍然存在。

學(xué)生在對劉徽割圓術(shù)的探討中，自然而然地將問題聚焦到了以直代曲的疑問上。顯然，數(shù)學(xué)史上困擾數(shù)學(xué)家們千年的問題也橫亙在當(dāng)下學(xué)生的面前，依舊難以跨越。在學(xué)生第二次試圖解開謎團(tuán)時，割圓操作讓問題暴露得更加明顯，激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步解答的強(qiáng)烈欲望，該組學(xué)生嘗試用公式推導(dǎo)的方法解決這個問題，事實上，這個方法并不奏效。但前一小組的討論已奏效，該組學(xué)生馬上用第一組的方法進(jìn)行補(bǔ)充。

后續(xù)幾個小組的匯報中，學(xué)生不斷地用各種辦法解釋“以直代曲”。如第三個小組，利用Scratch編程，動態(tài)演示當(dāng)切割的份數(shù)越多時，曲邊越來越貼近直線（如圖3）。

圖3

【片段3】利用開普勒的方法（制作了教具）求面積

小組匯報結(jié)束后進(jìn)行了如下討論。

生1：為什么要將等分后的小扇形拼成三角形？也可以拼成菱形。

生2：你這個想法就是前面第一組同學(xué)說的，把圓分成上下兩半，然后他們拼成的是平行四邊形，這里拼成了三角形，你說的菱形也是平行四邊形。

生1 無法表述清楚，生2請他在黑板上演示出來（如圖4）。

圖4

生2：這樣做弧線中間的空余部分怎么處理？

生1：可以通過多次切割轉(zhuǎn)化成箭頭右邊的圖形。

生3：我們可以把分割后的圓拼組成很多圖形，可以拼成平行四邊形，可以拼成三角形，拼成菱形也可以，沒有對錯之分，只是選擇不同。

生4：那這樣轉(zhuǎn)化后怎么推導(dǎo)公式？

生3：把這個圖形再變形轉(zhuǎn)化為平行四邊形。

生4：那你為什么要轉(zhuǎn)化2次呢？

……

在這樣的思維碰撞中，學(xué)生再次解決公式推導(dǎo)中碰到的問題。像這樣激烈的交流、碰撞充滿整個課堂。正因為學(xué)生課前有了對問題的充分思考和實踐，有了數(shù)學(xué)史料以及同伴、教師給予的有效的學(xué)習(xí)支持，學(xué)生才會對課堂上的關(guān)鍵問題產(chǎn)生深度理解。

（三）課后拓展，再借史料，拓寬學(xué)習(xí)路徑

師生在基于數(shù)學(xué)史重構(gòu)的教學(xué)中受益良多。一方面，教師切實感受到數(shù)學(xué)史為知識的形成邏輯提供了參照，為學(xué)生提供了深度探究的機(jī)會；另一方面，學(xué)生的學(xué)習(xí)因為有了“歷史大家”的參與更加“較真”。因此，教師要為數(shù)學(xué)史融入后續(xù)內(nèi)容教學(xué)創(chuàng)造機(jī)會。

數(shù)學(xué)史與圓面積相關(guān)的資源豐富，教師在課后的鞏固拓展中加入了《九章算術(shù)》中的圓田問題“今有圓田，徑十步，問圓田幾何”。后續(xù)圓內(nèi)不規(guī)則圖形面積的教學(xué)中，再次提供了豐富的數(shù)學(xué)史閱讀資料，并設(shè)計了適合學(xué)生挑戰(zhàn)的任務(wù)，學(xué)生在內(nèi)部動機(jī)的驅(qū)動下主動學(xué)習(xí)，高投入、高產(chǎn)出，從而發(fā)展高認(rèn)知。

四、結(jié)語

課前導(dǎo)學(xué)、課上交流碰撞、課后拓展，在圍繞“圓的面積”展開的基于數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)方式的重構(gòu)探索中，教師是發(fā)起、維持、促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的支持者，學(xué)生在內(nèi)部動機(jī)的驅(qū)動下，通過個人探索、小組合作、思維的交流與碰撞，體會了以直代曲的轉(zhuǎn)化思想和極限思想，觸摸到了數(shù)學(xué)的本真面目，真切感受到圓面積公式及其背后思想產(chǎn)生、發(fā)展的過程，認(rèn)識到了數(shù)學(xué)文化的多元性，體會到歷代數(shù)學(xué)家們求真、創(chuàng)新、執(zhí)著的科學(xué)精神，由此洞見人類文明進(jìn)步的歷史。這樣的數(shù)學(xué)課堂才能承載文化傳播、智慧傳承的功能。實際上，這也是核心素養(yǎng)指引下，通過學(xué)教結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的一次嘗試。相信基于數(shù)學(xué)史的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的變革，會讓我們的數(shù)學(xué)課煥發(fā)出新的活力！