價值、內(nèi)容、方法：讓數(shù)學(xué)史更好地走進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂*

□ 蘇龍霞

數(shù)學(xué)史可以看作是人類的一部奮斗史，是數(shù)學(xué)發(fā)展的結(jié)晶。正因為有前人不斷的探索與研究，才有如今簡約的數(shù)學(xué)概念、公式、定理。因此，從“依據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的過程學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”的角度看，數(shù)學(xué)史也可以看作是數(shù)學(xué)教學(xué)的指南。將數(shù)學(xué)史融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅能夠還原數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展歷程，還能還原數(shù)學(xué)背后的人文價值?！把疽灾文?，由近以及遠(yuǎn)”，更好地定位價值，更好地選取素材，在教學(xué)中有機(jī)融入數(shù)學(xué)史，能幫助學(xué)生獲得更為豐厚的數(shù)學(xué)知識，實現(xiàn)真正意義上的深度學(xué)習(xí)，促使素養(yǎng)的提升。

一、價值取向：教與學(xué)的統(tǒng)一

（一）教師的教——觸及本質(zhì)

每一個數(shù)學(xué)知識都是一部濃縮的歷史，教師了解數(shù)學(xué)史，能夠更好地了解知識點的由來，明了知識的本質(zhì)，體會每一個發(fā)現(xiàn)所經(jīng)歷的曲折歷程。熟悉數(shù)學(xué)史的教師在教學(xué)中不僅會關(guān)注到知識本身的邏輯，還能關(guān)注到數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的邏輯；不僅能看到教材上所呈現(xiàn)的教學(xué)體系，還能透過教材看到歷史上的知識原型。比如數(shù)的產(chǎn)生，起源于計數(shù)把數(shù)數(shù)出來，發(fā)展于記數(shù)把數(shù)表示出來。最早的計數(shù)方式，無論是利用身體部位、自然物件，還是使用人工制品，其背后的原理就是“一一對應(yīng)”。當(dāng)各個文明的記數(shù)符號出現(xiàn)后，盡管還有一一對應(yīng)的痕跡，但已開始實現(xiàn)從半抽象到抽象的過渡。當(dāng)面對較大數(shù)量物品的計數(shù)問題時，人類又創(chuàng)造了各種進(jìn)制，再在十進(jìn)制的基礎(chǔ)上引入了數(shù)級。不過此時數(shù)的各種進(jìn)制表示運(yùn)用的是疊加法，直到十進(jìn)位值制的出現(xiàn)，數(shù)的表示才趨于完善。由此可見，數(shù)基、十進(jìn)制、數(shù)級、其他進(jìn)制是認(rèn)識自然數(shù)的核心內(nèi)容，從一一對應(yīng)走向抽象數(shù)碼、從抽象數(shù)碼走向十進(jìn)位值制才能體現(xiàn)知識的本質(zhì)。教師走進(jìn)數(shù)學(xué)史，才有真正意義上的厚積，進(jìn)而實現(xiàn)源源不斷的“薄發(fā)”，讓教學(xué)觸及知識的本質(zhì)，走向更深處。

（二）學(xué)生的學(xué)——明確方向

歷史上，每一個數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展都經(jīng)歷了較長的時間，是幾代數(shù)學(xué)家共同努力的結(jié)果，而數(shù)學(xué)家在知識的發(fā)生發(fā)展過程中遭遇到的困難往往就是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點。因此，數(shù)學(xué)史為教學(xué)難點的突破提供了方向。例如在歷史上，認(rèn)識平行有四個視角：一是直觀視角。比如歐幾里得在《幾何原本》中提出，平行直線是“在同一平面內(nèi)的直線向兩個方向無限延伸，不論哪個方向都不相交”。二是方向視角。比如“在同一平面內(nèi)，與同一條直線在同側(cè)成相同角度的兩條直線互相平行”。三是角度視角。借助同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角等判定平行。四是距離視角。比如墨子的“平，同高也”。不同視角整體體現(xiàn)了從直觀幾何走向?qū)嶒瀻缀?、從實驗幾何走向演繹幾何的發(fā)展過程。因此，在“平行”的教學(xué)中，教師可以采用對視錯覺圖形的判斷讓學(xué)生感受直觀定義的弊端；進(jìn)而通過對學(xué)生所舉平行例子（長方形物體）的探究，引出距離的定義；再通過畫平行線的探究活動，引出角度的定義等方式[1]?？梢?，數(shù)學(xué)的發(fā)展不僅為學(xué)生提供了突破難點的方向，還為學(xué)生的探究提供了參照。

二、內(nèi)容取向：教育與歷史的融合

（一）走進(jìn)教材中的數(shù)學(xué)史

教材是學(xué)習(xí)的載體和支架，教材中編排的數(shù)學(xué)史料為教師將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)提供了素材與參照。教材中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式有五種：點綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式，運(yùn)用水平依次提高。前兩種方式，數(shù)學(xué)史獨立于教材正文內(nèi)容以外，后三種方式則是將數(shù)學(xué)史融入教材正文[2]。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有數(shù)學(xué)史的顯性呈現(xiàn)，也有數(shù)學(xué)史的隱性滲透。如人教版教材中的“你知道嗎”“數(shù)學(xué)閱讀”以及一些例題與練習(xí)，就是顯性呈現(xiàn)，它們對應(yīng)于數(shù)學(xué)史運(yùn)用方式中的點綴式、附加式、復(fù)制式。而像北師大版教材從形的角度研究質(zhì)數(shù)、合數(shù)，“如果給定的數(shù)只有一種長方形的表征，那這個數(shù)就是質(zhì)數(shù)，否則就是合數(shù)”使用了古希臘素數(shù)定義和研究的方法，這是數(shù)學(xué)史的隱性滲透。這些滲透與數(shù)學(xué)史運(yùn)用方式中的順應(yīng)式、重構(gòu)式相對應(yīng)。類似的隱性滲透還有很多，如各個版本教材從部分與整體、測量、除法三個角度呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)，是隱性重構(gòu)了分?jǐn)?shù)發(fā)展的三個里程碑事件。教材是運(yùn)用數(shù)學(xué)史最直接的參照，教師要走進(jìn)教材中的數(shù)學(xué)史，了解每一處數(shù)學(xué)史運(yùn)用的方式，特別是順應(yīng)式、重構(gòu)式運(yùn)用數(shù)學(xué)史的隱性滲透。

（二）走進(jìn)數(shù)學(xué)對象的發(fā)展脈絡(luò)

盡管各版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材都編入了數(shù)學(xué)史，但當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)史進(jìn)行某些主題的教學(xué)嘗試時，教師仍舊感覺無從下手。其中一個主要原因是教師掌握的與主題相關(guān)的數(shù)學(xué)史料太少。顯然，僅僅了解教材中顯性呈現(xiàn)、隱性滲透的數(shù)學(xué)史是不夠的，要使學(xué)生的深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生，還需要將設(shè)計的主題置于歷史的發(fā)展脈絡(luò)之中進(jìn)行考察。比如將數(shù)學(xué)史融入角的認(rèn)識的教學(xué)，可以將其置于角的發(fā)展脈絡(luò)之中，歷史上對角的認(rèn)識有質(zhì)（形狀與特征）、量（大?。㈥P(guān)系（兩邊）三個維度，從質(zhì)的角度認(rèn)識角，是角的認(rèn)識的基礎(chǔ)，也是從關(guān)系的角度認(rèn)識角的起點。這時，學(xué)生需要了解角“是由一個頂點和兩條直邊組成的”“從一個頂點出發(fā)的兩條射線”等概念。進(jìn)而，當(dāng)學(xué)生從質(zhì)的角度對平角、周角等特殊角進(jìn)行判斷時，會引發(fā)認(rèn)知沖突，此時再從關(guān)系的角度引入角的定義，對角“是由一條射線繞頂點旋轉(zhuǎn)而成的圖形”的理解就變得自然而然。從量的角度認(rèn)識角，一方面要引出角的分類，另一方面要回到度量的原點——單位1的確定來幫助學(xué)生理解。對數(shù)學(xué)對象發(fā)展脈絡(luò)的梳理是將數(shù)學(xué)史應(yīng)用于教學(xué)的難點所在，這不僅需要教師廣泛閱讀數(shù)學(xué)史和HPM 文獻(xiàn)，還需要教師進(jìn)行數(shù)學(xué)對象發(fā)展脈絡(luò)的梳理以及數(shù)學(xué)史與教材內(nèi)容、學(xué)生學(xué)習(xí)水平的勾連。唯有走進(jìn)數(shù)學(xué)對象的發(fā)展脈絡(luò)之中，教師才能厚積薄發(fā)。

三、方法取向：發(fā)生與重構(gòu)的交融

（一）多元融入，重構(gòu)歷史

教學(xué)中數(shù)學(xué)史在哪里用、怎樣用，取決于教學(xué)的需要。一般來說,根據(jù)小學(xué)生認(rèn)知特點和教材安排，重構(gòu)式多用于數(shù)學(xué)概念的教學(xué),復(fù)制式和順應(yīng)式多用于運(yùn)算、命題和問題解決的教學(xué),而附加式則可用于任何一類主題的教學(xué)[3]。重構(gòu)教學(xué)要遵循學(xué)生的認(rèn)知特點，與知識發(fā)生發(fā)展規(guī)律相吻合。弗賴登塔爾在《數(shù)學(xué)教育的主要問題》的報告中指出：“數(shù)學(xué)史是一個圖式化不斷演進(jìn)的系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)過程，兒童無須重蹈人類的歷史,但他們也不可能從前人止步的地方開始。從某種意義上說，兒童應(yīng)該重蹈歷史,盡管不是實際發(fā)生的歷史，而是倘若我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西，將會發(fā)生的歷史?！盵4]這就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)不能為歷史而歷史，而需要找到數(shù)學(xué)對象發(fā)展歷程中最為關(guān)鍵和本質(zhì)的步子，多元融合，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造。如某教師在教學(xué)“位置的表示方法”時，重構(gòu)了“位置的表示從一維射線到二維平面到三維空間”的發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生思考：當(dāng)蒼蠅飛到屋頂天花板邊界時，其位置如何表示？——可以用已經(jīng)學(xué)過的數(shù)線段的方式表示；當(dāng)蒼蠅飛到天花板中間位置時，該如何表示？——這是本節(jié)課的教學(xué)重點，可以用數(shù)對表示位置，引導(dǎo)學(xué)生重蹈歷史，進(jìn)行再創(chuàng)造；當(dāng)蒼蠅飛到房內(nèi)的其他位置時，該如何表示？——學(xué)生知道可以用三個數(shù)表示，這是以后要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而數(shù)對和三個數(shù)可以表示空間物體的位置就成為學(xué)生再創(chuàng)造的起點。整個教學(xué)圍繞位置表示方法的發(fā)展歷史關(guān)鍵和本質(zhì)的步子展開，重構(gòu)了知識的發(fā)生發(fā)展過程。同時，教學(xué)圍繞發(fā)明坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)家笛卡爾的一天展開，附加式地介紹了笛卡爾發(fā)現(xiàn)數(shù)對的過程和歷史上數(shù)對的表示方式，重構(gòu)式與附加式并重，顯性呈現(xiàn)和隱性融入相結(jié)合，動機(jī)引領(lǐng)、探究為重，引發(fā)了學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

（二）單元構(gòu)建，突出主線

鐘啟泉教授認(rèn)為，我們要理解主題設(shè)計、單元設(shè)計的價值和作用，它是撬動課堂轉(zhuǎn)型的一個支點。[5]以史為鑒，遵循歷史的發(fā)展，可以關(guān)聯(lián)歷史的發(fā)生探究過程，在知識的歷史脈絡(luò)中探究數(shù)學(xué)的前世今生，感悟古人的探究過程。而以單元作為數(shù)學(xué)史融入的基本單位有諸多益處，不僅有持續(xù)時間的保證，連續(xù)內(nèi)容的供給，還有多元評價數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)，這都將促使現(xiàn)時的學(xué)習(xí)與歷史脈絡(luò)相吻合，從深層次感受數(shù)學(xué)的意義與價值?；跀?shù)學(xué)史的單元構(gòu)建，可以以教材中現(xiàn)有的單元為基本單位，比如教材中“圓”這一章，以“以直代曲”的轉(zhuǎn)化思想為主線，并從數(shù)學(xué)文化的角度對其進(jìn)行考察，進(jìn)而統(tǒng)攝“圓的認(rèn)識、圓的周長、圓的面積”三部分，在“圓的認(rèn)識”中，滲透圓與方的關(guān)聯(lián)，在“圓的周長”中，從實驗幾何走向論證幾何，在“圓的面積”中凸顯論證幾何，最終指向幾何直觀、邏輯推理等核心素養(yǎng)；也可以重組單元，比如將長度測量與因數(shù)和倍數(shù)或者比結(jié)合在一起，將具有深刻歷史根源的單位1作為主線統(tǒng)攝整合后的單元。在長度單位的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要理解單位1的可變性，它可以是我們常見的1 厘米、1 米、1 分米，也可以是任意長度，它可以根據(jù)需要進(jìn)行變動。當(dāng)長度測量與因數(shù)和倍數(shù)進(jìn)行統(tǒng)整時，可以有這樣的任務(wù)：（1）給定整數(shù)長度的線段，可以被哪些整數(shù)長度的線段（單位1）量盡，這一任務(wù)指向因數(shù)的學(xué)習(xí)。（2）它（單位1）可以量盡哪些長度的線段，這一任務(wù)指向倍數(shù)的學(xué)習(xí)。而當(dāng)長度單位與比統(tǒng)整時，可以給定兩條線段，請學(xué)生思考可以用哪些長度的線段同時量盡這兩條線段，只要能量盡，給定兩條線段長度的比就等于這兩條線段被單位1度量的次數(shù)比。

每個數(shù)學(xué)知識背后都有故事，有軌跡，有文化?！皵?shù)學(xué)史在課堂中扮演的是一名額外的學(xué)生。”為了更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)史的這一角色，在教學(xué)時，教師需要從價值、內(nèi)容、方法三個維度，進(jìn)行綜合、深度的思考。唯有如此，才能更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的育人功能，更好地促進(jìn)教師的專業(yè)成長。