利用數(shù)學(xué)史料，解決復(fù)雜問題，發(fā)展綜合能力
——小學(xué)五年級開展“勾股定理”教學(xué)的嘗試與思考

□ 李建良 林永偉

“勾股定理”是一個(gè)基本的幾何定理，它的發(fā)現(xiàn)與證明都具有悠久的歷史。以往，這是初中數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容，而2013 年教育部審定的人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在五年級上冊“總復(fù)習(xí)”中安排了與此相關(guān)的內(nèi)容。筆者在對該內(nèi)容做較為深入解讀的基礎(chǔ)上嘗試開展相關(guān)教學(xué)。

一、現(xiàn)有教材內(nèi)容的分析與思考

相關(guān)內(nèi)容在教材第114頁上。該內(nèi)容分為兩部分，第一部分是出示邊長為3cm、4cm、5cm 的直角三角形（勾三股四弦五），求分別以這三條邊為邊長所作的正方形的面積，并研究它們之間的關(guān)系；第二部分是對第一部分所作的進(jìn)一步拓展，期望學(xué)生從三個(gè)實(shí)例中得出規(guī)律。

仔細(xì)分析教材提供的素材可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)會因?yàn)橐韵聝煞矫娴膯栴}遇到阻礙。

（一）問題較為綜合，學(xué)生缺乏相關(guān)經(jīng)驗(yàn)

教材中的第一個(gè)問題包含了三個(gè)步驟，分別是：①以直角三角形的三邊（3cm、4cm、5cm）為邊長畫三個(gè)正方形；②計(jì)算這三個(gè)正方形的面積；③探索這三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系。雖然步驟①由教材直接提供，但是在以往的教學(xué)中，學(xué)生沒有類似的作圖經(jīng)驗(yàn)，因此要理解三個(gè)正方形的面積與直角三角形三條邊的關(guān)系，需要投入一定的精力。步驟②難度不大。步驟③中，由于這三個(gè)正方形從空間位置上，沒有非常直接、明顯的關(guān)系，因此，學(xué)生不容易想到兩個(gè)較小正方形的面積之和等于較大正方形的面積。

（二）素材形式單一，學(xué)生無法深入體驗(yàn)

教材只提供了三邊分別為3cm、4cm、5cm的直角三角形和以這三邊為邊長所作的正方形的相關(guān)圖示，此外沒有提供更多的素材。剩余的兩組數(shù)據(jù)（6cm、8cm、10cm 和5cm、12cm、13cm）該如何處理，教材沒有做任何提示。假設(shè)對于剩下兩組數(shù)據(jù)的探索，仍然以觀察、計(jì)算的結(jié)果為依據(jù)，那么在這一過程中，教師是仍舊提供圖示，還是提供可以操作的學(xué)具？這些方法能否激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索的意愿？換一個(gè)角度思考，如果其余兩組數(shù)據(jù)三條邊長之間關(guān)系的探究，是在對3cm、4cm、5cm 這三邊關(guān)系的探究基礎(chǔ)之上的遷移，即根據(jù)第一組數(shù)據(jù)中得到的猜想，對后面兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證，那么整個(gè)學(xué)習(xí)過程就顯得過于單調(diào)，學(xué)生的體驗(yàn)也不夠全面、深入。

二、基于歷史視角選擇學(xué)習(xí)素材

為了更加科學(xué)、合理地設(shè)計(jì)教學(xué)活動，筆者對學(xué)習(xí)素材、探究活動做了重新選擇與設(shè)計(jì)。

探究活動一：以等腰直角三角形作為導(dǎo)入素材

等腰直角三角形是直角三角形中的一種特例，以其三邊為邊長，作出的三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系比較簡單、直觀，適合作為五年級學(xué)生第一次接觸該問題的素材。教師在網(wǎng)格圖上呈現(xiàn)兩腰為1的等腰直角三角形，并分別以它的三條邊為邊長各畫一個(gè)正方形。請學(xué)生通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)，以直角邊為邊長畫出的正方形面積都是1，以斜邊為邊長畫出的正方形的面積剛好是2，進(jìn)而提出猜想——以斜邊為邊長的正方形面積剛好是兩個(gè)以直角邊為邊長的正方形面積之和。據(jù)說這一特例，是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯首先發(fā)現(xiàn)的，發(fā)現(xiàn)過程非常具有故事性。把這一內(nèi)容作為學(xué)習(xí)素材的一部分，能夠很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。但是，這種特例有其自身的局限性，當(dāng)直角邊為1時(shí)，斜邊為因此，在教學(xué)中只能將這一素材用于“導(dǎo)入新課”和“初步感知”，需要避免這個(gè)無理數(shù)帶來的不必要的困擾。

探究活動二：借助“勾三股四弦五”進(jìn)行進(jìn)一步探究

可以用“勾三股四弦五”作為素材繼續(xù)開展研究，其優(yōu)勢在于它的各邊長都是整數(shù)，有利于學(xué)生從定量的角度進(jìn)一步探究直角三角形的三邊關(guān)系。這種情況與上述特例相比，難度有所增加。這使探究活動更加富有挑戰(zhàn)性，能在綜合運(yùn)用多邊形以及組合圖形面積的相關(guān)知識和技能解決問題的過程中培養(yǎng)空間觀念和推理能力。在此基礎(chǔ)上，可以用字母表示各邊長，結(jié)合上述兩類特殊的直角三角形三邊的關(guān)系，進(jìn)行初步的猜想。

探究活動三：通過“趙爽弦圖”嘗試進(jìn)行實(shí)驗(yàn)證明

關(guān)于勾股定理的證明，古今中外有許多巧妙的方法。其中有些方法，需要借助大量的計(jì)算或幾何證明，步驟較為復(fù)雜。而“趙爽弦圖”相對來說更適合小學(xué)生進(jìn)行探究，如果能將“趙爽弦圖”制作成可供操作的學(xué)具，將會使證明的過程變得簡單、直觀。因此，這一環(huán)節(jié)的教學(xué)目標(biāo)定位為：通過操作活動，引導(dǎo)學(xué)生嘗試將“趙爽弦圖”進(jìn)行等積變形，使得原本的c2變?yōu)閍2與b2之和。借助這一活動，讓學(xué)生直觀感知、體驗(yàn)勾股定理的證明方法，使證明活動有了實(shí)現(xiàn)的可能。

雖然探究或證明勾股定理的方法、途徑有很多，但從小學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)考慮，可選擇或設(shè)計(jì)以上三個(gè)活動。其中活動三可以直接取材于相關(guān)的數(shù)學(xué)史料；活動一借鑒了初中教材內(nèi)容和教學(xué)思路；活動二結(jié)合了小學(xué)生的已有水平和認(rèn)知特點(diǎn)。這些活動有機(jī)整合，循序漸進(jìn)，形成了一條由特殊到一般、由直觀到抽象的學(xué)習(xí)路徑，它既符合學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，又能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能使學(xué)生的水平在原有基礎(chǔ)上得到較大程度的提升。

三、課堂實(shí)踐與教學(xué)分析

（一）借助故事，引導(dǎo)學(xué)生初步感知

師：古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯到朋友家做客。朋友家地磚上的圖形引起了他的注意（課件出示帶有對角線的網(wǎng)格圖），他發(fā)現(xiàn)了什么圖形？

生：他發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形。

生：他發(fā)現(xiàn)了正方形，有小一點(diǎn)的，也有大一點(diǎn)的。

生：三角形也有大的和小的。

師：數(shù)學(xué)家善于把不同的事物聯(lián)系起來，你能找到和這些三角形有關(guān)的正方形嗎？

（課件出示三個(gè)等腰直角三角形）

生：這三個(gè)三角形每一條邊上都可以畫一個(gè)正方形。

（根據(jù)學(xué)生回答，課件出示相應(yīng)的圖形，如圖1）

圖1

生：我發(fā)現(xiàn)這些組合圖形雖然大小不一樣，但它們的形狀很像。師：那么三角形和正方形之間有什么聯(lián)系呢？生：三角形的邊就是正方形的邊長，正方形的面積是邊長乘邊長。

師：看看每組圖形中的各個(gè)正方形，它們的面積之間好像存在某種聯(lián)系。請你們在練習(xí)紙上算一算、寫一寫。

（生計(jì)算，匯報(bào)，師出示圖2）

圖2

生：我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小正方形的面積加起來就等于大正方形的面積。左上角這個(gè)圖形中兩個(gè)小正方形的面積都是1cm2，大正方形的面積是2cm2。

生：我和他的發(fā)現(xiàn)是一樣的，但我是通過數(shù)格子得出的，左上角這個(gè)圖形中小正方形有4個(gè)小三角形，大正方形有8個(gè)這樣的小三角形，4＋4=8。

生：右上角這個(gè)圖形中，0.5＋0.5=1（cm2）。

生：最下面這個(gè)圖形中，每個(gè)小正方形相當(dāng)于兩個(gè)1cm2的格子，大正方形相當(dāng)于4 個(gè)1cm2的格子，所以加起來相等。

課堂導(dǎo)入部分以故事引入，并以較為簡單的圖形作為研究素材，主要目的是降低學(xué)習(xí)起點(diǎn)，吸引全體學(xué)生參與，并使學(xué)生迅速把目光聚焦在圖形之間的關(guān)系上，突出強(qiáng)調(diào)“關(guān)系”。在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過活動，還發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形直角邊上的兩個(gè)正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積。教學(xué)過程中，學(xué)生對圖形以及圖形之間的關(guān)系較為敏感，為后續(xù)開展深入學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

（二）聚焦關(guān)系，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想

師：同學(xué)們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這些圖形中的秘密，我們換一種直角三角形試試。請看圖（出示圖3），如果這個(gè)直角三角形也符合剛才的規(guī)律，那么這個(gè)大正方形的面積應(yīng)該是多少？三角形的斜邊又是多少？

圖3

課件出示直角邊分別為3cm、4cm 的直角三角形，以及相應(yīng)的三個(gè)正方形。

生：我想大正方形的面積可能是25cm2，因?yàn)楦鶕?jù)剛才的規(guī)律，兩個(gè)小正方形的面積是9cm2和16cm2，那么大正方形的面積應(yīng)該是9cm2＋16cm2=25（cm2）。

生：我覺得不一定，因?yàn)楝F(xiàn)在這個(gè)三角形的形狀跟剛才的三角形不一樣。

師：如果是25cm2，你有什么好辦法可以證明嗎？如果不是，也請你證明?？梢援嬕划?，算一算。

（生嘗試證明，師個(gè)別指導(dǎo)，全班匯報(bào)）

生（出示自己畫的圖，如圖4）：我從這個(gè)正方形里面發(fā)現(xiàn)了4個(gè)一樣的三角形，它們的面積都是4×3÷2=6（cm2）。除了這4 個(gè)三角形，中間還有1 個(gè)小正方形，是1cm2，合起來剛好是25cm2。

生（出示自己畫的圖，如圖5）：我還發(fā)現(xiàn)，在外面畫一個(gè)大正方形，面積是49cm2，再減去角上的4個(gè)三角形，每個(gè)是6cm2，所以中間剩下25cm2。

圖4

圖5

師：既然這個(gè)正方形的面積是25cm2，那這條斜邊是多少？

生：這條斜邊是5cm，因?yàn)?×5=25（cm2）。

師：是的，我們發(fā)現(xiàn)52= 32＋42。請看這兩組圖形，如果用a、b、c三個(gè)字母分別表示直角邊和斜邊，你能得出它們?nèi)咧g的關(guān)系嗎？

生：a2＋b2=c2。

對于五年級的學(xué)生來說，得出直角三角形的三邊關(guān)系a2＋b2=c2固然重要，但更為重要的是經(jīng)歷整個(gè)探究過程。在初步感知三角形三條邊上的正方形的面積關(guān)系之后，學(xué)生借助空間想象，通過畫圖、計(jì)算等方法，用了兩種方法證明兩條直角邊分別為3cm和4cm的直角三角形，斜邊上的正方形面積是25cm2，因此發(fā)現(xiàn)32＋42=52。最后借助字母，通過對兩組圖形的概括，得出了a2＋b2=c2的猜想。在問題解決的過程中，學(xué)生進(jìn)行了豐富的數(shù)學(xué)思考，充分展現(xiàn)了空間觀念與推理能力，并使之得到了進(jìn)一步的發(fā)展。在解決問題的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了從不斷嘗試，到有所突破，再到最后豁然開朗的過程，積累了大量的活動經(jīng)驗(yàn)，也享受了成功的喜悅。這可以說是本堂課最能發(fā)揮學(xué)生主體性、最有價(jià)值的一個(gè)活動，也是本堂課的核心環(huán)節(jié)。

（三）動手操作，驗(yàn)證自己的猜想

師：剛才同學(xué)們得出了a2＋b2=c2的猜想，這在我國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就有記載，這就是有名的“勾股定理”。同學(xué)們畫的圖，與三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽以及后來的數(shù)學(xué)家畫的圖一樣，他們都做過類似的研究用以證明“勾股定理”。

（課件出示“勾股定理”和“趙爽弦圖”）

師：“趙爽弦圖”很奇妙，它將4 個(gè)直角三角形和1 個(gè)小正方形組成了一個(gè)大正方形，面積是c2。你能通過平移、旋轉(zhuǎn)等方法將這5個(gè)部分重新進(jìn)行組合，使它們變成兩個(gè)正方形，面積恰好是a2＋b2嗎？請四人小組合作，用學(xué)具袋中的“趙爽弦圖”模型一起來試一試。

（學(xué)生小組合作操作、上臺展示，教師通過課件進(jìn)行梳理，如圖6）

圖6

在這一環(huán)節(jié)中，教師試圖幫助學(xué)生通過操作實(shí)驗(yàn)對勾股定理進(jìn)行一般化的證明。在諸多方法中，利用“趙爽弦圖”進(jìn)行證明更適合五年級學(xué)生。因?yàn)樽C明過程中只需將其中各個(gè)部分通過旋轉(zhuǎn)、平移等方法進(jìn)行重組，再利用各條邊之間的關(guān)系，就能得出重組前后圖形之間的面積關(guān)系。操作過程蘊(yùn)含著學(xué)生對圖形特點(diǎn)以及相互之間關(guān)系的思考，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)。最后的展示過程則讓學(xué)生通過圖形，感受到不同的直角三角形，其三邊都符合勾股定理，學(xué)生也由此進(jìn)一步體會到研究勾股定理以及其他數(shù)學(xué)問題時(shí)一般要經(jīng)歷觀察、猜想、證明的過程，研究過程中所選取的素材需要遵循從特殊到一般的規(guī)律。

四、教學(xué)反思

通過上述教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐，筆者有了以下體會。

（一）恰當(dāng)?shù)乃夭挠兄趯W(xué)生思考與解決問題

“勾股定理”的教學(xué)，如果按照教材提供的素材，很可能難以發(fā)揮它應(yīng)有的教學(xué)價(jià)值。但是，如果素材選用恰當(dāng)，活動組織合理，則能在很大程度上激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。本堂課中，學(xué)生在三種不同的學(xué)習(xí)素材的幫助下，通過觀察、畫圖、計(jì)算、操作等方法，不斷地思考，逐步發(fā)現(xiàn)了直角三角形三條邊中包含的數(shù)量關(guān)系，也體會到了問題解決的一般過程。

（二）挑戰(zhàn)性問題更能發(fā)展學(xué)生的綜合能力

對于五年級的學(xué)生來說，“勾股定理”的發(fā)現(xiàn)與證明，無疑具有相當(dāng)大的挑戰(zhàn)性。但適當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，促使學(xué)生全面思考，在綜合運(yùn)用各種已經(jīng)掌握的知識和技能的過程中，發(fā)展自身的能力。課堂活動充分體現(xiàn)了學(xué)生對面積、組合圖形的面積、圖形的運(yùn)動等知識和技能的理解與掌握情況，以及在全新的問題面前，激活并運(yùn)用這些知識與技能的能力。這種運(yùn)用已有知識，解決新的問題的能力，也正是我們數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的重要目標(biāo)。