著眼數(shù)學(xué)建模 提升核心素養(yǎng)

姚榕添

【摘要】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)問題的良好解決方案之一.隨著當(dāng)前教學(xué)環(huán)境的發(fā)展，對學(xué)生核心素養(yǎng)觀念的培養(yǎng)越來越重要.如何基于核心素養(yǎng)更好地建模和解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題是當(dāng)前教學(xué)中的一個重要問題.本文就針對核心素養(yǎng)理念下高中數(shù)學(xué)的建模教學(xué)進(jìn)行策略研究.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng)理念;高中數(shù)學(xué)教學(xué)

【基金項目】本文系增城區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年立項課題《基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培育的高中“函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”教學(xué)策略研究》的研究成果：ZC2019015

數(shù)學(xué)建模是根據(jù)實際問題解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并通過實際方法構(gòu)建模型處理學(xué)習(xí)中的一些問題，可以提高學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)思維方法的思考.因此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該及時向?qū)W生傳達(dá)一些數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決實際問題.本文基于核心素養(yǎng)，探究如何更好地制訂詳細(xì)的策略，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模研究的發(fā)展.

一、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的理論策略

按照現(xiàn)代高中教育數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，我們可以將建模教學(xué)劃分為三個不同環(huán)節(jié)，分別是數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建、數(shù)學(xué)規(guī)律的探索、數(shù)學(xué)知識的論證和應(yīng)用.

（一）數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建

由于高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的核心理念便是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之中大膽發(fā)揮想象力進(jìn)行假設(shè)，因此，第一環(huán)節(jié)的重點內(nèi)容便是理解概念.教師在實際教學(xué)之中要利用建模概念，將其與練習(xí)題相互結(jié)合，促使學(xué)生對建模與練習(xí)題進(jìn)行對比，引導(dǎo)學(xué)生從答案到假設(shè)，更好地理解概念.

（二）數(shù)學(xué)規(guī)律的探究

將理論聯(lián)系實際，可以培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力.因此，第二階段教學(xué)主要是引導(dǎo)學(xué)生通過已知條件推導(dǎo)事物的發(fā)展規(guī)律，同時在邏輯結(jié)合實際生活的基礎(chǔ)上總結(jié)問題的解決規(guī)律.

（三）數(shù)學(xué)知識的論證和應(yīng)用

進(jìn)行結(jié)論分析和驗證，不斷完善建模思想.在數(shù)學(xué)建模過程中，除了提出結(jié)合實際情況的概念外，最后一步也是最重要的一步是分析和驗證結(jié)論，使其在應(yīng)用中得到完善.本階段主要是培養(yǎng)學(xué)生對結(jié)論的驗證能力，使學(xué)生不斷進(jìn)行思考，從而完善結(jié)論.

二、根據(jù)課程內(nèi)容進(jìn)行高中數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)設(shè)計

（一）二次函數(shù)

函數(shù)思想法是數(shù)學(xué)中的重要思想方法.在函數(shù)教學(xué)中，結(jié)合實際問題抽象出數(shù)學(xué)模型，可讓學(xué)生感受運用函數(shù)概念建立模型的過程，然后應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)理解和處理現(xiàn)實生活中的簡單問題，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高實踐能力.

下面就二次函數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行一些探討與分析.

【二次函數(shù)模型】f（x）=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

在現(xiàn)代生活中二次函數(shù)十分常見，其屬于兩個變量間的實際關(guān)聯(lián)，通過圖像便可促使各種數(shù)學(xué)問題得到解決.

【例】某文具店有一定類型的筆記本，每天可以賣100本，每本20元.現(xiàn)在因為店鋪裝修升級，老板想提高筆記本的價格.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每本筆記本的價格增加2元，每天售出的筆記本數(shù)量將減少10本，如果不考慮其他因素，店主應(yīng)該把價格提高到多少，才可以達(dá)到每天最大的銷售額？

【問題分析】這是一個實際生活中常見的銷售問題，題目中涉及銷售數(shù)量、銷售成本、銷售價這三個量，教師在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生自己整理出題目中量與量之間的關(guān)系，然后引導(dǎo)并幫助學(xué)生通過抽象思維將其變成數(shù)學(xué)問題.

【模型假設(shè)】通過以上可以了解到，此模型為二次函數(shù)，所以在假設(shè)環(huán)節(jié)所用模型便為二次函數(shù).

【模型建構(gòu)】設(shè)老板把價格提高到x元，銷售總額為w元，

則w=x100-x-202×10，

化簡，得w=-5（x-20）2+2000.

【模型求解】利用二次函數(shù)圖像，可以找到其對稱軸和最高點，故當(dāng)x=20時，銷售額最高，最大銷售額為2000元.

【模型檢驗】通過對取值進(jìn)行檢驗，符合實際情況，也符合問題要求.同時，這種模型可以應(yīng)用于其他最優(yōu)問題.

（二）分段函數(shù)

分段函數(shù)是對于自變量x的不同的取值范圍有著不同的解析式.應(yīng)用分段函數(shù)時需要遵守變量出現(xiàn)變化后的實際規(guī)則，將其變成幾種問題，再分別確定每個問題中的變化規(guī)則與規(guī)律，然后把它們組合在一起，并標(biāo)記好分段的自變量范圍，特別是端點值.

【例】提高跨江大橋的通行能力，可以改善全市的交通狀況.一般情況下，橋上的交通流速度v（單位：千米/時）是交通流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù).當(dāng)橋上交通流密度超過200輛/千米時，交通流速度為0千米/時;當(dāng)交通流密度不超過20輛/千米時，交通流速度為60千米/時.結(jié)果表明，當(dāng)20

（1）當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式;

（2）當(dāng)交通流密度x為多大時，交通流量（以輛/時為單位，單位時間內(nèi)通過橋上觀測點的車輛數(shù)）f（x）=x·v（x）可以達(dá)到最大，請求出最大值.（精確至1輛/時）

【問題分析】引導(dǎo)學(xué)生先分析題目，由于題目中出現(xiàn)兩種不同的交通流密度，因此判定此題為分段函數(shù).

【模型假設(shè)】根據(jù)問題分析，假設(shè)模型為分段函數(shù)模型.

【模型建構(gòu)】

（1）由題意，當(dāng)0≤x≤20時，v（x）=60;

當(dāng)20

由已知，得200a+b=0，20a+b=60，解得a=-13，b=2003.

故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為

v（x）=60，0≤x≤20，13（200-x），20

【模型求解】

（2）綜上可得f（x）=60x，0≤x≤20，13x（200-x），20

當(dāng)0≤x≤20時，f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時，f（x）在區(qū)間[0，20]上取得最大值1200;

當(dāng)20

所以當(dāng)x=100時，f（x）在區(qū)間（20，200]上取得最大值100003.

綜上可得，當(dāng)x=100時，f（x）在區(qū)間（0，200]上取得最大值100003，即當(dāng)交通流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/時.

【模型檢驗】對取值進(jìn)行檢驗，符合實際情況，符合問題要求.同時，這種模型可以應(yīng)用于其他分段函數(shù)問題.

（三）三角函數(shù)

建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)之中本就屬于一種幫助學(xué)生提高解題能力，促使其掌握數(shù)學(xué)知識的有效方式，因此，本文通過建模教學(xué)中的三角函數(shù)應(yīng)用，進(jìn)一步探究如何在高中數(shù)學(xué)中利用三角函數(shù)開展建模教學(xué).

【例】在生活中，我們經(jīng)常遇到的一個問題是在安裝電視時，如何根據(jù)電視機的大小、客廳沙發(fā)到電視墻的距離來調(diào)整電視機的高度，使人們在舒適的狀態(tài)下看電視（也就是求最大的視角）.

【問題分析】這種數(shù)學(xué)問題與日常生活比較貼近，其中沒有任何數(shù)學(xué)符號與數(shù)字的存在，且可能在所有家庭之中都會出現(xiàn)這個問題，因此，教師便可要求學(xué)生針對問題展開自行探索，通過問題之中的隱藏內(nèi)容，進(jìn)一步確定問題與自我認(rèn)知是否相同，這樣便可幫助學(xué)生快速解答數(shù)學(xué)問題.學(xué)生在解答問題時，需要先查找相關(guān)信息與資料，確定視角含義后嘗試構(gòu)建圖1，這樣便可通過圖形建立數(shù)學(xué)模型.

圖1

【模型假設(shè)】依據(jù)圖1及問題分析，我們假設(shè)此模型為三角函數(shù)模型.

【模型建立】在建立模型時，如將P點作為眼球，其與電視墻之間的實際距離為PB，長度為x，電視頂部為A點，A點與B點之間的實際距離為a，電視底部為H點，H點與B點之間的實際距離為b，那么電視頂部和底部與眼球之間所形成的角度分別是∠APB=α，∠HPB=β，其中α>β，則α-β便是視角.

由圖可知，在△APB與△HPB中，tan α=ax，tan β=bx，

可得tan（α-β）=tan α-tan β1+tan αtan β=a-bx+abx.

【模型求解】因為a，b為常數(shù)，0<α-β<π2，要使α-β最大，只需要tan（α-β）最大，即x+abx最小.

利用均值不等式，可得x+abx≥2x·abx=2ab，當(dāng)且僅當(dāng)x=abx時取等號，即x=ab時，α-β最大，視角最大，人們觀看時最舒適.

【模型檢驗】對取值進(jìn)行檢驗，符合實際情況，符合問題要求.同時，這種模型可以應(yīng)用于其他三角函數(shù)問題.

（四）導(dǎo)數(shù)

在學(xué)生對問題展開進(jìn)一步了解時，需要按照問題內(nèi)容與建模意識挑選最為適合的建模方式，最后通過導(dǎo)數(shù)求解模型便可解答問題，這樣便可促使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到提升.

【例】在做吹氣球動作時，當(dāng)氣球內(nèi)部空氣逐漸增多后，氣球半徑擴(kuò)大速度反而會變慢，站在數(shù)學(xué)角度該如何解答這種現(xiàn)象？

【問題分析】氣球是一個近似的球體，我們可利用V（r）=43πr3這個函數(shù)幫助求解.

【模型假設(shè)】假設(shè)氣球的半徑r為體積V的函數(shù)，那么r（V）=33V4π.

【模型建立】由球體體積公式以及半徑r為體積V的函數(shù)，得到

r（V）=33V4π.

【模型求解】

（1）當(dāng)V從0增加到1時，r增加的值可以表示為r（1）-r（0），約為0.62，那么氣球的平均膨脹率為r（1）-r（0）1-0，約為0.62;

（2）當(dāng)V從1增加到2時，r增加的值可以表示為r（2）-r（1），約為0.16，那么氣球的平均膨脹率為r（2）-r（1）2-1，約為0.16.

綜上，隨著氣球體積逐漸增大，其平均膨脹率逐漸變小.

【模型檢驗】對取值進(jìn)行檢驗，符合實際情況，符合問題要求.同時，這種模型可以應(yīng)用于其他導(dǎo)數(shù)問題.

總之，在數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的影響下，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要有所改變，重視對學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性和解決問題思維的指導(dǎo)，使他們在實踐過程中提高數(shù)學(xué)建模的意識、方法、思維和能力，促進(jìn)學(xué)生綜合數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.

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