淺談初等數(shù)論教學(xué)與學(xué)生能力培養(yǎng)

李龍

【摘要】本文通過對初等數(shù)論課程的重要性以及教學(xué)現(xiàn)狀的分析，簡要談了初等數(shù)論課程的教學(xué)改革.

【關(guān)鍵詞】初等數(shù)論;教學(xué)現(xiàn)狀;教學(xué)改革;能力培養(yǎng)

初等數(shù)論是一門古老而又優(yōu)美的學(xué)科，它主要研究整數(shù)的性質(zhì)和方程（組）整數(shù)解（或有理數(shù)解）.高斯說數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇后，有一種純粹和高雅的氣質(zhì).有人學(xué)習(xí)過實數(shù)、復(fù)數(shù)，就覺得對整數(shù)已經(jīng)了如指掌，但當(dāng)你學(xué)了初等數(shù)論之后會恍然大悟，你會發(fā)現(xiàn)整數(shù)有許多吸引你而你又全然不知的性質(zhì).以前人們把初等數(shù)論看成最純粹、最無用的一門學(xué)科，現(xiàn)在人們已經(jīng)將初等數(shù)論應(yīng)用到計算機科學(xué)、數(shù)理邏輯、代數(shù)、組合論、編碼理論、積分計算等方面.

在現(xiàn)代高等教育課程中，初等數(shù)論是一門非常重要的數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課.盡管初等數(shù)論的結(jié)論簡單優(yōu)美，但是想學(xué)好、教好它并非易事.本文中筆者結(jié)合教學(xué)實踐，就初等數(shù)論的教學(xué)以及學(xué)生的能力培養(yǎng)簡要地談幾點體會.

1 開設(shè)初等數(shù)論課程的必要性

1.1 幫助學(xué)生更準(zhǔn)確地理解中小學(xué)數(shù)學(xué)知識

一直以來，我國中小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是算術(shù)問題，尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)中的整數(shù)部分，很多內(nèi)容與初等數(shù)論的聯(lián)系非常緊密，例如，最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)、整數(shù)的整除性、余數(shù)、解方程、奇偶數(shù)、素數(shù)與合數(shù)等.數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)生中的很大一部分會從事中小學(xué)的教學(xué)工作，因此，開設(shè)初等數(shù)論課程可以幫助他們打下堅實的基礎(chǔ)，開闊其眼界，幫助其用高等數(shù)學(xué)的觀點理解中小學(xué)的數(shù)學(xué)知識，進而準(zhǔn)確把握問題的本質(zhì).

1.2 幫助學(xué)生掌握奧數(shù)難題的知識基礎(chǔ)及思維方式

近年來，奧林匹克數(shù)學(xué)競賽越來越受到家長和學(xué)校的追捧.多年來的實踐表明，奧數(shù)競賽可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，煥發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情，提升他們克服困難、發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的能力.眾所周知，中小學(xué)奧數(shù)競賽與初等數(shù)論的聯(lián)系較為密切，很多考點以及考題都來自初等數(shù)論，歷屆國際奧林匹克數(shù)學(xué)競賽中有近35%的試題需要用到初等數(shù)論的知識來解答.因此，開設(shè)初等數(shù)論這門課，可讓學(xué)生掌握初等數(shù)論的基礎(chǔ)知識與思維方式，這對學(xué)生從事數(shù)學(xué)教育有很大幫助.

1.3 助力學(xué)生備考公務(wù)員考試

當(dāng)前，公務(wù)員對于高校畢業(yè)生有較大的吸引力，近幾年考試人數(shù)已突破百萬.公務(wù)員考試的公共科目《行政職業(yè)能力測驗》中數(shù)量關(guān)系類考題經(jīng)常出現(xiàn)數(shù)列、同余、雞兔同籠以及抽屜原理等初等數(shù)論知識.例如，2017年國家公務(wù)員考試的行政測試第61題是“為維護辦公環(huán)境，某辦公室四人在工作日輪流打掃衛(wèi)生，每周一打掃衛(wèi)生的人給植物澆水.7月5日周五輪到小玲打掃衛(wèi)生，下一次小玲給植物澆水是在哪天？”該題就涉及初等數(shù)論中同余的知識點.因此，開設(shè)初等數(shù)論課程，對于學(xué)生備考公務(wù)員考試大有裨益.

2 師范生開設(shè)初等數(shù)論課程的現(xiàn)狀

2.1 課程不受重視

如上文所述，開設(shè)初等數(shù)論課程不管是對學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的養(yǎng)成，還是對其以后的就業(yè)都有著重要的作用.但在我國的大多數(shù)院校中，初等數(shù)論與高等代數(shù)和近世代數(shù)這兩門課程相比，并未受到應(yīng)有的重視.大部分院校只是把初等數(shù)論課程放在高年級，作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)選修課程.在課時與學(xué)分設(shè)置方面，初等數(shù)論的課時基本為32或48課時，2～3學(xué)分，這與數(shù)學(xué)主干課程相比，不論是課時量還是學(xué)分?jǐn)?shù)都比較少.由于課時比較少，教師在課堂上的講解速度會比較快，留給學(xué)生思考、消化與互動的時間比較少，嚴(yán)重影響了教學(xué)質(zhì)量.

2.2 課程教材與教學(xué)內(nèi)容陳舊

目前，初等數(shù)論課程的教材用的多為閔嗣鶴、嚴(yán)士健編寫的《初等數(shù)論》，這本書堪稱經(jīng)典，但是該書編寫于20世紀(jì)五六十年代，書中內(nèi)容太過抽象，以理論為主，淡化實踐，例題較少，例題少了，學(xué)生在做題時就沒有參考，會加大做題的難度，影響了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，且書中嚴(yán)重缺乏應(yīng)用，影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.該書課后習(xí)題設(shè)置也不夠合理，習(xí)題數(shù)量不多，難度偏大.

2.3 教學(xué)手段和教學(xué)方法單一

在課堂上，教師的教學(xué)方法以及教學(xué)手段基本都遵循“定義—定理—例題—練習(xí)”的講解方式，課堂缺少互動，缺乏生氣，教學(xué)內(nèi)容上過多追求系統(tǒng)性，學(xué)生很少有自由思考的時間.大多數(shù)學(xué)生處于上課聽得懂，下課題目不會做的狀態(tài).學(xué)生上課只是盲目地記筆記，被動地接受知識，課堂比較枯燥、乏味，勾不起學(xué)生學(xué)習(xí)知識的欲望.而且這種灌輸式的教學(xué)手段對學(xué)生創(chuàng)新意識以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是非常不利的，更談不上學(xué)生的個性化發(fā)展.

因此，為充分發(fā)揮初等數(shù)論課程的重要作用，不斷提高初等數(shù)論的教學(xué)質(zhì)量，初等數(shù)論教學(xué)改革勢在必行.筆者認(rèn)為，應(yīng)主要從教學(xué)分層次、教學(xué)觀念的改變、教學(xué)內(nèi)容的更新以及教學(xué)方法的革新四個方面，對初等數(shù)論教學(xué)進行改革.

3 初等數(shù)論教學(xué)改革

3.1 教學(xué)分層次

教育要有目的性，我們必須清楚學(xué)生將來會從事何職業(yè)，有何需求.數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，畢業(yè)后很大一部分將進入中小學(xué)從事教師工作，當(dāng)然也有相當(dāng)一部分學(xué)生會選擇讀研深造，那么我們在教學(xué)內(nèi)容的選擇上就應(yīng)該有所側(cè)重，不能一概而論.

針對今后選擇當(dāng)教師的學(xué)生，教師在課堂上要多講解基礎(chǔ)知識，夯實基礎(chǔ)，比如整數(shù)的整除性、不定方程、抽屜原理以及中國剩余定理等，這些跟中小學(xué)教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系密切的知識點應(yīng)著重講解.另一方面，課堂上應(yīng)加強初等數(shù)論知識在中小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用，要采取針對性的訓(xùn)練.針對要考研繼續(xù)深造的學(xué)生，講解內(nèi)容要全面、系統(tǒng)，注重其與交叉學(xué)科間的相互滲透.

總之，教師應(yīng)針對發(fā)展方向不同的學(xué)生進行分層教學(xué)，不僅使每個學(xué)生在初等數(shù)論的課堂上都能學(xué)到知識，更為其未來的發(fā)展奠定堅實的理論基礎(chǔ)，并培養(yǎng)其出眾的應(yīng)用能力.

3.2 教學(xué)觀念的改變

眾所周知，教學(xué)行為必須在科學(xué)的教學(xué)理念的指導(dǎo)下進行，沒有合乎時代的教學(xué)理念，就不會有符合時代需要的教學(xué)行為.那么如何快速、有效地改變當(dāng)前教師落后的教學(xué)理念就成為當(dāng)前教育工作者非常關(guān)注的話題.這也勢必對初等數(shù)論課程改革的推進產(chǎn)生重要作用.

初等數(shù)論理論性強，抽象性高，在以往的授課過程當(dāng)中，教師通常采用“PPT+板書”的授課模式.隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，學(xué)生上課玩手機的現(xiàn)象屢禁不止，這種學(xué)生參與度低的授課方式必然導(dǎo)致欠佳的教學(xué)效果，因此，教師必須把課堂時間交給學(xué)生，才能提高學(xué)生的參與度.教師應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動的引導(dǎo)者、組織者和參與者.學(xué)校與教師還應(yīng)該轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)模式下的考試評價體系.一直以來，考試都被作為評價教師教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生對知識掌握程度的一個重要手段.不可否認(rèn)，從某種程度上講，考試能發(fā)揮一定的作用，但它絕不是成績考核的唯一形式.在實際操作過程中，我們應(yīng)該促進考核的多樣性.例如，把學(xué)生的課堂表現(xiàn)納入考評體系，這樣能夠有效激發(fā)學(xué)生的課堂積極性.在作業(yè)設(shè)置環(huán)節(jié)，教師可以設(shè)置一些難度較大的選做題，給一些課后積極思考、刻苦鉆研的學(xué)生適當(dāng)加分，這樣能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力以及科研能力.

教師在課堂上不僅要加深學(xué)生對知識的理解，還要加強學(xué)生教學(xué)能力的培養(yǎng).近些年來，由于國家加強了對基礎(chǔ)教育的投入，更多的知識青年投身教育事業(yè)，教師隊伍的素質(zhì)明顯提高，中小學(xué)教師已基本本科化，部分學(xué)校的教師已經(jīng)擁有碩士甚至博士學(xué)歷.而在數(shù)學(xué)教育類專業(yè)開設(shè)初等數(shù)論課程的目的在于培養(yǎng)中小學(xué)教師，所以，教師在教學(xué)中必須有意識地培養(yǎng)學(xué)生的授課能力.

傳統(tǒng)的教學(xué)觀念認(rèn)為教師從事教育教學(xué)工作只要能上好一堂課就行，科研工作在教學(xué)中起的作用不大，科研與教學(xué)的相結(jié)合更多地體現(xiàn)在研究生的培養(yǎng)方面，這是比較傳統(tǒng)的認(rèn)識誤區(qū).實際上，加強科研與教學(xué)的有機結(jié)合，將科研過程中取得的最新研究成果以及國內(nèi)外的最新研究動向及時、合理地融入課程教學(xué)中，不僅能使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中了解到國際的前沿性研究成果以及學(xué)科的新動向，還能幫助學(xué)生全面、系統(tǒng)、深刻地掌握本學(xué)科專業(yè)知識，同時拓寬學(xué)生的視野，大大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性.

3.3 教學(xué)內(nèi)容的更新

教學(xué)內(nèi)容的更新是教學(xué)改革的關(guān)鍵.首先，在教學(xué)內(nèi)容中應(yīng)適當(dāng)?shù)卦黾右恍?yīng)用性舉例.比如在講解唯一因子分解定理時，可以適當(dāng)?shù)亟榻B大數(shù)分解的困難性以及RSA公鑰體制在密碼學(xué)中的應(yīng)用，這樣可以激發(fā)學(xué)生的興趣，誘導(dǎo)學(xué)生進一步查閱資料，開闊眼界，為其日后的深造打下堅實的基礎(chǔ).

其次，增加相關(guān)史料，提高學(xué)生的興趣.比如在講到素數(shù)與合數(shù)時，可以向?qū)W生介紹哥德巴赫猜想以及孿生素數(shù)猜想，并介紹我國數(shù)學(xué)家在這兩個問題中的杰出工作，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，并學(xué)習(xí)老一輩數(shù)學(xué)家的刻苦鉆研精神.例如在介紹不定方程時，可以增加介紹費馬的生平、費馬大定理的提出、解決過程，以及費馬當(dāng)時寫下的一個幽默附注：“關(guān)于此結(jié)論，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下.”這樣能增加課堂的趣味性，在一定程度上消除學(xué)生的疲勞，吸引他們的注意力.另外，在講解同余式以及中國剩余定理時，教師可以向?qū)W生介紹同余式產(chǎn)生的背景，也可引入《孫子算經(jīng)》中提出的著名問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”

最后，教師在授課過程中可以加強與中小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽以及公務(wù)員考試有關(guān)內(nèi)容的滲透.

3.4 教學(xué)方法的革新

改革最終都要通過課堂教學(xué)來體現(xiàn)，那么要做好課程改革就必須做好課堂教學(xué)改革.

首先，課堂要改變傳統(tǒng)的“教師教，學(xué)生學(xué)”的模式，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，讓學(xué)生成為課堂的主體，增加學(xué)生的參與度.具體地，教師在講解概念時，可以利用“引導(dǎo)講解式”教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生提煉、總結(jié)、歸納，這樣能把傳授概念的過程轉(zhuǎn)變?yōu)榕囵B(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的過程;而利用“啟發(fā)探究式”教學(xué)可以把初等數(shù)論中的定理、例題的證明過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生主動探究的過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的主體意識，加強學(xué)生的認(rèn)知;習(xí)題課上可以使用“講練結(jié)合式”教學(xué)加深學(xué)生對知識的理解與感悟，啟迪學(xué)生的思維，提高學(xué)生的辨題能力，培養(yǎng)他們的科研探索精神.

其次，注意初等數(shù)論與數(shù)學(xué)其他課程之間的聯(lián)系.教師在教學(xué)中要指出輾轉(zhuǎn)相除法、唯一因子分解定理等知識點在初等數(shù)論與高等代數(shù)中的區(qū)別與聯(lián)系.比如剩余類、歐拉定理等知識與近世代數(shù)之間有著深刻的聯(lián)系，因此，課堂上可以用群論中的拉格朗日定理簡單直接地推導(dǎo)費馬小定理以及歐拉定理.

4 結(jié)語

總之，數(shù)學(xué)教育改革是永無止境的.本文通過對初等數(shù)論課程以上幾個方面的探討，希望能夠切實有效地提高教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生能夠?qū)W到更多、更有用的知識，并能很好地將其運用到以后的工作實踐中.

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