在“幾何直觀”中建構(gòu)直觀思維圖式

陳培娟

[摘? 要] “幾何直觀”能有效地助推學(xué)生建構(gòu)直觀思維圖式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生讀圖、構(gòu)圖、創(chuàng)圖。讀圖有助于培育學(xué)生數(shù)學(xué)直覺(jué)力，構(gòu)圖有助于培育學(xué)生數(shù)學(xué)想象力，創(chuàng)圖有助于培育學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造力。從讀圖到構(gòu)圖、從構(gòu)圖到創(chuàng)圖，能敏銳學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)，有效地積累、豐富、完善、升華學(xué)生的圖感，建構(gòu)學(xué)生內(nèi)在的幾何直觀思維圖式，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);幾何直觀;直觀思維圖式

“幾何直觀”是借助于幾何圖形描述、分析問(wèn)題，從而讓問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象的過(guò)程。幾何直觀既是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的手段、方式、方法、策略，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成，是學(xué)生數(shù)學(xué)的目標(biāo)之一，因此也是學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。借助于幾何直觀，能有效地助推學(xué)生建構(gòu)直觀思維圖式。作為學(xué)生思維的基本單位，直觀思維圖式對(duì)于學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究具有重要的意義和作用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生讀圖、構(gòu)圖、創(chuàng)圖。通過(guò)圖導(dǎo)、圖構(gòu)、圖創(chuàng)，生成學(xué)生的直觀思維圖式。

一、讀圖：培育學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)力

建構(gòu)學(xué)生直觀思維圖式，首先要引導(dǎo)學(xué)生讀圖。只有能完整地、清晰地讀圖，才能有效地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)，生成圖感。讀圖，要注重引導(dǎo)學(xué)生觀察、感知，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐、操作，引導(dǎo)學(xué)生想象、聯(lián)想。只有這樣，才能幫助學(xué)生建構(gòu)整體性、有序性、敏銳性的數(shù)學(xué)直觀思維圖式。讀圖有三個(gè)層次：一是對(duì)圖形表面意義、表象意義的直觀感知;二是發(fā)現(xiàn)圖形蘊(yùn)含的關(guān)系、深層含義;三是對(duì)圖形表象意義和內(nèi)在本質(zhì)的隱性關(guān)聯(lián)。通過(guò)讀圖，獲得數(shù)學(xué)理解，形成問(wèn)題解決思路。

幾何直觀的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)思維的直觀化、可視化。在幾何直觀中，讀圖一般有三個(gè)步驟：其一是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行描述，尤其是讀懂圖形的表征;其二是對(duì)圖形進(jìn)行直觀思維，也就是讓圖形與學(xué)生的內(nèi)在思維形成某種契合;其三是對(duì)圖形進(jìn)行表達(dá)。在讀圖的過(guò)程中，尤其要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行在圖形與文字之間穿行，引導(dǎo)是實(shí)現(xiàn)圖形與文字的轉(zhuǎn)化。在這個(gè)過(guò)程中，教師一方面要關(guān)注圖形與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的匹配度，關(guān)注圖形與學(xué)生思維的連接度;另一方面要關(guān)注圖形與數(shù)學(xué)知識(shí)的匹配度，關(guān)注圖形與學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的延續(xù)度。例如：教學(xué)《乘法分配律》（蘇教版四年級(jí)下冊(cè)），在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“實(shí)際問(wèn)題——數(shù)學(xué)猜想——數(shù)學(xué)驗(yàn)證——數(shù)學(xué)總結(jié)”的過(guò)程中，筆者相機(jī)引入了兩個(gè)等寬的長(zhǎng)方形，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行解讀。學(xué)生深度觀察“乘法分配律”的表達(dá)形式，再深度觀察兩個(gè)等寬的長(zhǎng)方形，從而建構(gòu)了“乘法分配律”與“長(zhǎng)方形”之間的關(guān)聯(lián)。有學(xué)生說(shuō)，兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的和就相當(dāng)于兩個(gè)數(shù)的和，寬就相當(dāng)于另一個(gè)乘數(shù);有學(xué)生說(shuō)，ac計(jì)算的是一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，bc計(jì)算的是另一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，ac+bc計(jì)算的就是兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積和，也就是大長(zhǎng)方形的面積，等等。借助于長(zhǎng)方形圖，“乘法分配律”的簡(jiǎn)便算律得到了生動(dòng)的詮釋。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅借助于圖形更好地理解了乘法分配律，更感受、體驗(yàn)到“數(shù)形”的 結(jié)合之妙。

引導(dǎo)學(xué)生讀圖、識(shí)圖，教師要注重選擇合適的圖，從而能讓圖形發(fā)揮最大限度的效用。在選擇圖形的過(guò)程中，不僅要注重圖形的典型性，更要注重圖形的針對(duì)性、指向性。只有這樣，才能讓圖形直觀發(fā)揮真正的實(shí)效。借助于圖形，不僅能有效地表征問(wèn)題，更能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，從而助推學(xué)生問(wèn)題分析、問(wèn)題解決。

二、構(gòu)圖：培育學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力

幾何直觀是一種意識(shí)、一種能力，更是一種思維方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生讀圖、解圖、識(shí)圖，更要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)圖。構(gòu)圖是根據(jù)題意對(duì)圖形的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程。借助于這個(gè)過(guò)程，學(xué)生能有效地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征。在構(gòu)圖的過(guò)程中，學(xué)生不僅需要調(diào)動(dòng)自我的思維，更需要發(fā)揮自我的想象力。借助于構(gòu)圖的實(shí)踐過(guò)程，能幫助學(xué)生積累構(gòu)圖經(jīng)驗(yàn)，掌握構(gòu)圖技巧，這是培育學(xué)生幾何直觀能力的關(guān)鍵。

例如：教學(xué)蘇教版四年級(jí)下冊(cè)《解決問(wèn)題的策略——畫圖》，其中“例2”是這樣的一道典型問(wèn)題：梅山小學(xué)有一塊長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)度是8米。在修建學(xué)校校園時(shí)，花圃長(zhǎng)增加3米，面積一共增加了18平方米?，F(xiàn)在的花圃面積是多少平方米？

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生遇到了一些障礙，他們不能將面積增加的量與長(zhǎng)增加的量結(jié)合起來(lái)進(jìn)行思考。為此，筆者給學(xué)生提供了一個(gè)“半成品”，即用長(zhǎng)方形表征原來(lái)的花圃。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)圖，讓學(xué)生延長(zhǎng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，寬不變。在構(gòu)圖、畫圖的過(guò)程中，學(xué)生能直觀感受、體驗(yàn)到長(zhǎng)方形花圃的面積之所以增加，是因?yàn)殚L(zhǎng)增加了。而在這個(gè)過(guò)程中，長(zhǎng)方形花圃的寬沒(méi)有發(fā)生變化。因而，就催生學(xué)生思考“長(zhǎng)方形花圃增加的長(zhǎng)與增加的面積之間有怎樣的關(guān)系”，進(jìn)而就自然地引發(fā)學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形花圃的長(zhǎng)與增加面積之間的關(guān)系。通過(guò)觀察、思考，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，借助于這兩個(gè)條件，可以計(jì)算出長(zhǎng)方形的寬。在構(gòu)圖的過(guò)程中，學(xué)生能根據(jù)文字信息，將抽象的“數(shù)”轉(zhuǎn)換為具體的、直觀的“形”。進(jìn)而，學(xué)生借助于直觀的“形”，能將問(wèn)題中的相關(guān)的文字信息結(jié)合起來(lái)，獲得深刻的數(shù)學(xué)思考，形成問(wèn)題解決思路。

構(gòu)圖在學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中具有重要的意義。比如著名數(shù)學(xué)家歐拉通過(guò)構(gòu)圖解決了哥尼斯堡七橋問(wèn)題;著名數(shù)學(xué)家笛卡爾借助于構(gòu)圖，將代數(shù)問(wèn)題幾何化，建立了平面直角坐標(biāo)系。數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么就整體地把握了問(wèn)題?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，“幾何直觀”不僅僅是一種簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，而是一種科學(xué)的思想方法論。

三、創(chuàng)圖：培育學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力

在引導(dǎo)學(xué)生解圖、讀圖、導(dǎo)圖、構(gòu)圖的基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極地創(chuàng)圖。通過(guò)創(chuàng)圖，能培育學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力。面對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，不同的學(xué)生會(huì)產(chǎn)生不同的數(shù)學(xué)思考。作為教師，就是要激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)想象。思維與想象，能拓展學(xué)生的幾何直觀創(chuàng)圖空間。創(chuàng)圖不同于構(gòu)圖，構(gòu)圖簡(jiǎn)單地說(shuō)就是通過(guò)幾何圖形將題意表征出來(lái)。而創(chuàng)圖則帶有一種“完形”的意味，也就是將“不完備”“不充分”的圖形完備化、充分化。創(chuàng)圖有點(diǎn)類似于初高中階段的“作輔助線”。通過(guò)創(chuàng)圖，學(xué)生的問(wèn)題解決思路能得到澄明、敞亮。

構(gòu)圖是一種表征，而創(chuàng)圖則是一種創(chuàng)造。比如小學(xué)階段的分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題、分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題，通常需要借助于線段圖來(lái)表征題意。一般情況下，線段圖就是簡(jiǎn)單地表征題意，因而也就是要學(xué)生積極地構(gòu)圖。但有時(shí)，這種構(gòu)圖卻是非常巧妙的，融入了學(xué)生的多重猜想，這時(shí)，構(gòu)圖就不僅僅是對(duì)題意的表征，而是將條件與問(wèn)題建立某種關(guān)聯(lián)，這就是創(chuàng)圖的過(guò)程。

例如：在教學(xué)蘇教版六年級(jí)上冊(cè)的“分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題”這部分內(nèi)容時(shí)，學(xué)生遇到了這樣的問(wèn)題：王師傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的 多30個(gè)，第二天加工了全部零件的 少20個(gè)，還剩下195個(gè)零件沒(méi)有加工，王師傅加工的這批零件一共有多少個(gè)？

這一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生難以找出“量率對(duì)應(yīng)關(guān)系”。據(jù)此，有學(xué)生就嘗試構(gòu)造線段圖。但這種構(gòu)造不是簡(jiǎn)單的表征題意，而是需要深入思考。很多學(xué)生在畫圖的過(guò)程中還是不能清晰地找出題目中量率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因?yàn)?，題目中出現(xiàn)的兩個(gè)分率分母不同，也就是線段圖平均分的份數(shù)不同;同時(shí)，量率混合、交融，使得學(xué)生即使用線段圖表征題意也非常復(fù)雜。教學(xué)中，筆者這樣引導(dǎo)學(xué)生：能否將兩個(gè)分母不同的分率統(tǒng)一起來(lái)？能否讓“率和率放置在一起，量和量放置在一起”？這樣的點(diǎn)撥，啟發(fā)了學(xué)生積極地創(chuàng)圖。有學(xué)生認(rèn)為，第一天就是加工了全部零件的 多30個(gè)，第二天加工了全部零件的 少20個(gè);有學(xué)生認(rèn)為，畫圖是可以這樣畫，即先畫全部零件的 和 ，然后再將多30個(gè)和少20個(gè)合并起來(lái)，轉(zhuǎn)換為多10個(gè)。通過(guò)這樣的積極創(chuàng)圖，問(wèn)題解決過(guò)程思路就變得清晰、明朗起來(lái)。創(chuàng)圖，就是巧用、妙用幾何圖形，將數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)可視化、可理解化。

從讀圖到構(gòu)圖再到創(chuàng)圖，能有效地積累、豐富、完善、升華學(xué)生的圖感，建構(gòu)學(xué)生內(nèi)在的幾何直觀思維圖式。作為教師，要為學(xué)生的圖導(dǎo)、圖構(gòu)、圖創(chuàng)提供外部的支持條件，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入靈動(dòng)的圖感世界。通過(guò)幾何直觀，有效地敏銳學(xué)生直覺(jué)，發(fā)揮圖形的教學(xué)潛能，進(jìn)而開(kāi)啟學(xué)生的問(wèn)題解決智慧，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。