助推學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

顧紹志

[摘? 要] 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，助推學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生親身經(jīng)歷建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的全過程，并對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解釋與應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞] 助推;建構(gòu);數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型，是指對(duì)研究對(duì)象觀察到的現(xiàn)象，所歸納的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)公式、空間形式、邏輯準(zhǔn)則和具體算法。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，助推學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生親身經(jīng)歷建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的全過程，并對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解釋與應(yīng)用。

一、助推學(xué)生在簡(jiǎn)約事理中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

生活常識(shí)、經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)，是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的源頭活水。助推學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，可以從學(xué)生的生活背景中甄別素材，讓學(xué)生以數(shù)學(xué)活動(dòng)的方式，概括數(shù)量關(guān)系，類推數(shù)學(xué)原理，提煉數(shù)學(xué)規(guī)律，生成解決數(shù)學(xué)問題的策略和思想，形成解決數(shù)學(xué)問題的模式和方略。

例如，教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，出示這樣一道題：“有一種課桌椅，每張桌子180元，每把椅子100元，學(xué)校準(zhǔn)備買40套，一共需花多少錢？”讓學(xué)生從這樣的生活問題入手，圍繞問題的實(shí)例，提煉基本內(nèi)涵、概括本質(zhì)屬性、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

師：請(qǐng)說一說解題思路。

生：先分別求40張桌子和40把椅子的錢，再求40套課桌椅的錢。

生：先求1套桌椅（1張桌子和1把椅子）的錢，再求40套課桌椅的錢。

師：能用數(shù)量關(guān)系式表述嗎？

生：1張桌子的錢×張數(shù)+1把椅子的錢×把數(shù)=一共需花的錢。

生：（1張桌子的錢+1把椅子的錢）×套數(shù)=一共需花的錢。

生：1張桌子的錢×張數(shù)+1把椅子的錢×把數(shù)=（1張桌子的錢+1把椅子的錢）×套數(shù)。

師：請(qǐng)列出算式。

生：180×40+100×40。

生：（180+100）×40。

生：180×40+100×40=（180+100）×40。

師：能列舉類似的等式嗎？

（生七嘴八舌，列舉了好多等式。）

師：等式列舉得完嗎？等式有共同之處嗎？等式能用字母概括式表達(dá)嗎？

生（議論紛紛后）：a×c+b×c=（a+b）×c。

如此建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，做到了“三注重”：注重選取典型的生活實(shí)例，便于學(xué)生揭示，利于學(xué)生表述;注重在領(lǐng)略生活實(shí)例的事理向數(shù)學(xué)模型過渡的進(jìn)程中，引導(dǎo)學(xué)生用列舉實(shí)例的方式演繹領(lǐng)略到的算理;注重算理的表述符號(hào)化，字母概括表達(dá)式既簡(jiǎn)明扼要，又能幫助學(xué)生形成符號(hào)意識(shí)和代數(shù)思想。

二、助推學(xué)生在類比遷移中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

有學(xué)習(xí)的地方就會(huì)有遷移，遷移對(duì)于建構(gòu)數(shù)學(xué)模型具有獨(dú)特的效用。助推學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型時(shí)，可充分利用學(xué)生已有的建模經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)遷移的操作平臺(tái)和時(shí)空條件，讓學(xué)生從既有的數(shù)學(xué)思想、技能和知識(shí)的遷移中類推、概括、提升新的數(shù)學(xué)模型。

例如，“整百數(shù)乘一位數(shù)”的口算，可以引導(dǎo)學(xué)生激活整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)的口算方法、算理和推導(dǎo)，讓學(xué)生運(yùn)用遷移規(guī)律，自主探究整百數(shù)乘一位數(shù)的口算。

師：40×2=？

生（異口同聲）：80。

師：是怎樣算的？為什么？

生：40+40，因?yàn)?0×2表示2個(gè)40。

生：8個(gè)10是80，因?yàn)?0是4個(gè)10，4個(gè)10乘2是8個(gè)10。

生：4×2得8，再添一個(gè)0得80，因?yàn)?個(gè)4是8，2個(gè)40是80。

師：環(huán)形跑道長(zhǎng)400米，小華跑了2圈，求小華跑了多少米，怎樣列式？

生：400×2。

師：如何口算？

（生遷移40×2的口算方法。）

師：如果小華跑了9圈，求小華跑了多少米，怎樣列式？

生：400×9。

師：還用加法算嗎？

生：用加法算，太麻煩。先用4×9得36，再在36后面添兩個(gè)0，得3600。

師：（投影呈現(xiàn)）將下列算式分類：3×6=18，4×9=36，7×5=35，3×60=180，70×5=350，300×6=1800，5×700=3500。

生：①3×6=18，3×60=180，300×6=1800;②7×5=35，70×5=350，5×700=3500;③4×9=36。

師：請(qǐng)說一說分類的依據(jù)。

生：第一類，口訣都是“三六十八”;第二類，口訣都是“五七三十五”;第三類，口訣是“四九三十六”。

師：根據(jù)4×9=36，能聯(lián)想到哪些算式呢？

生：40×9=360，4×90=360，400×9=3600，4×900=3600，4000×9=36000，4×9000=36000，4×90000=360000……

學(xué)生借助整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類推，不僅找到了整百數(shù)乘一位數(shù)的口算方法，而且聯(lián)想到整千數(shù)乘一位數(shù)、整萬數(shù)乘一位數(shù)的口算方法。顯而易見，助推學(xué)生在類比遷移中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，首先要確立學(xué)生的主體地位，激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探究、合作和交流;其次要為學(xué)生的遷移做好準(zhǔn)備，喚醒學(xué)生遷移的意識(shí)，讓學(xué)生在建構(gòu)新的數(shù)學(xué)模型時(shí)找到相似的模型。另外要為學(xué)生當(dāng)好向?qū)?，?dāng)學(xué)生在遷移中遇到困惑時(shí)，引領(lǐng)學(xué)生規(guī)避和排除負(fù)遷移的干擾。

三、助推學(xué)生在解題指導(dǎo)中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

助推學(xué)生在解題指導(dǎo)中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，可以培養(yǎng)學(xué)生有效利用數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，又可以減少學(xué)生解決實(shí)際問題的盲目性，還可以減少學(xué)生“就題論題”解決實(shí)際問題的片面性。

例如，在數(shù)學(xué)練習(xí)課上，出示這樣一道題：“小明期終考試，語文、英語的平均分是92分，數(shù)學(xué)、英語的平均分是93分，語文、數(shù)學(xué)的平均分是97分， 小明語文、數(shù)學(xué)、英語三門學(xué)科的平均分是多少？”

師：請(qǐng)根據(jù)題意列式計(jì)算。

生：（92×2+93×2+97×2）÷2÷3=564÷2÷3=282÷3=94（分）。

師：請(qǐng)說說理由。

生：92×2是語、英分?jǐn)?shù)的和，93×2是數(shù)、英分?jǐn)?shù)的和，97×2是語、數(shù)分?jǐn)?shù)的和，564是語、數(shù)、英三門分?jǐn)?shù)的和的2倍，282是語、數(shù)、英三門分?jǐn)?shù)的和，94是語、數(shù)、英三門的平均分。

師：有不同解法嗎？

生：（92+93+97）÷3=282÷3=94（分）。

師：請(qǐng)說說理由。

生：我覺得這樣列式計(jì)算的結(jié)果也是94，具體的理由說不出。

師：可以肯定，這種解法是對(duì)的。關(guān)于列式理由，可以先想想92分與語、英得分的和的關(guān)系。

生：噢！92分也是語、英得分的和除以2的結(jié)果。

師（先點(diǎn)頭贊同，后板書，再提問）：（語+英）÷2=92，能把“÷2”轉(zhuǎn)化成乘法嗎？

生：除以2與乘0.5的結(jié)果是一樣的。

師（先點(diǎn)頭贊同，后板書，再提問）：（語+英）×0.5=92，能聯(lián)想到乘法分配律嗎？

生：語×0.5+英×0.5=92。

生：噢！92包含語文分的一半和英語分的一半。

生：同樣，93包含數(shù)學(xué)分的一半和英語分的一半。

生：同樣，97包含語文分的一半和數(shù)學(xué)分的一半。

生：噢！92+93+97的和282，包含“語文分的一半、數(shù)學(xué)分的一半、英語分的一半”的總和的2倍。一半的2倍，就是1倍。因此，282分就是三門得分的和。

就這樣，助推學(xué)生在解題指導(dǎo)中建構(gòu)了一個(gè)數(shù)學(xué)模型：（a+b）÷2=0.5a+0.5b。建構(gòu)的這個(gè)數(shù)學(xué)模型，拓寬了學(xué)生的視野，讓學(xué)生對(duì)兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)有了新的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生分析、理解和確認(rèn)了（92+93+97）÷3的解法。

總而言之，為了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，應(yīng)利用一切可能的機(jī)會(huì)，助推學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。