高中數(shù)學(xué)建模能力訓(xùn)練

魯傳宏

【摘要】本文基于高中數(shù)學(xué)建模能力訓(xùn)練，對(duì)案例教學(xué)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的方法進(jìn)行研究.首先分析高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)現(xiàn)狀，然后闡述高中數(shù)學(xué)建模能力訓(xùn)練的案例教學(xué)，最后提出能有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主要方式，包含：合理選取建模素材，凸顯核心素養(yǎng);合理運(yùn)用教學(xué)模式，關(guān)注學(xué)生發(fā)展;樹(shù)立學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力;引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光對(duì)待數(shù)學(xué)問(wèn)題，強(qiáng)化學(xué)生核心素養(yǎng)，等等.這樣的目的在于全面提升高中生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì).

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);建模能力訓(xùn)練;案例教學(xué);數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模作為高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方式，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法建立和研究模型的過(guò)程.開(kāi)展數(shù)學(xué)建模能力訓(xùn)練不僅能幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，還能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和體驗(yàn)的過(guò)程中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力.因此，本文針對(duì)高中數(shù)學(xué)建模能力訓(xùn)練——案例教學(xué)中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，展開(kāi)以下分析.

一、高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)現(xiàn)狀分析

雖然在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》里已經(jīng)把高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)作為主要教學(xué)目標(biāo)和課程理念，尤其在新高考背景下，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力更是提出了明確要求[1].但是，在實(shí)際教學(xué)中，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)還存在很多不足之處：一方面，因?yàn)榻處煂?duì)教材中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)缺乏掌握，所以，針對(duì)不同階段的數(shù)學(xué)建模教學(xué)目標(biāo)不明確，無(wú)法滿足數(shù)學(xué)建模對(duì)教師多方面的要求;另一方面，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)模式單一.在課堂教學(xué)中，只是運(yùn)用講解應(yīng)用題的教學(xué)模式開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，該教學(xué)模式不僅脫離了實(shí)際教學(xué)現(xiàn)狀，而且使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)失去學(xué)習(xí)興趣.數(shù)學(xué)建模的教學(xué)和學(xué)生建模素養(yǎng)的培養(yǎng)還缺乏連續(xù)性，使得數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價(jià)值沒(méi)能得到充分體現(xiàn).根據(jù)對(duì)高中生的調(diào)查現(xiàn)狀可看出，高中生數(shù)學(xué)建模能力的薄弱點(diǎn)主要體現(xiàn)在：合作交流和探究能力不足，對(duì)問(wèn)題假設(shè)不夠大膽，缺乏創(chuàng)新等多個(gè)方面.高中數(shù)學(xué)教師對(duì)此要充分關(guān)注和思考.除此之外，學(xué)生自身具備的數(shù)學(xué)建模能力成為建模素養(yǎng)培養(yǎng)的影響因素.在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，主要是增強(qiáng)學(xué)生的建模能力，這要立足于學(xué)生建模的心理，建模能力自身是認(rèn)知活動(dòng)的一種體現(xiàn)，和數(shù)學(xué)知識(shí)緊密相連，還和學(xué)生自身的數(shù)學(xué)思維存在高度重合的情況.比如，在向量教學(xué)過(guò)程中，不可以把向量法和幾何以及坐標(biāo)相等同，在解決和向量相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，也不可以單一地把向量設(shè)置為某個(gè)定值，不然會(huì)出現(xiàn)模糊向量以及非向量的元素，容易給學(xué)生的解題思路帶來(lái)混亂.基于此，在培養(yǎng)學(xué)生建模能力的過(guò)程中，教師要充分關(guān)注存在的教學(xué)問(wèn)題，采取有效的措施強(qiáng)化教學(xué)的實(shí)效性.

二、高中數(shù)學(xué)建模能力訓(xùn)練的案例教學(xué)

以宜居城市評(píng)價(jià)為例.基于現(xiàn)代化發(fā)展背景下，構(gòu)建宜居城市是目前我國(guó)城市發(fā)展的主要目標(biāo)，同時(shí)是當(dāng)?shù)卣拖嚓P(guān)機(jī)構(gòu)高度重視的問(wèn)題之一.其一，要想構(gòu)建宜居城市，需要具備充足的物質(zhì)和生活便利等條件，并且還要注重人們的自身感受.因此，需要先通過(guò)查閱相關(guān)資料的方式，篩選評(píng)價(jià)宜居城市的指標(biāo)，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建評(píng)價(jià)宜居城市的數(shù)學(xué)模型.其二，需要通過(guò)挑選6—10個(gè)規(guī)模相似的城市，運(yùn)用所建模型對(duì)挑選出的城市展開(kāi)深入研究，并合理排名[2].以上述內(nèi)容為基礎(chǔ)，對(duì)其診斷展開(kāi)分析：第一，針對(duì)其一而言，應(yīng)當(dāng)先通過(guò)查閱資料的方式，進(jìn)行選擇宜居城市的評(píng)價(jià)指標(biāo)，并且需要根據(jù)物質(zhì)豐足和生活便利等信息，及時(shí)發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和生態(tài)環(huán)境等方面存在的因素，再通過(guò)數(shù)據(jù)整理和收集等方式，把這些因素細(xì)化確定出若干指標(biāo).與此同時(shí)，還需要根據(jù)自己的知識(shí)水平選擇主觀賦權(quán)和客觀賦權(quán)形式展開(kāi)綜合評(píng)價(jià).第二，針對(duì)其二而言，應(yīng)先查找和上述指標(biāo)相關(guān)城市的數(shù)據(jù)，并且要全面掌握不同城市國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展的情況，然后再根據(jù)查找到的數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)整理分類(lèi).如，可以通過(guò)運(yùn)用最小二乘法的方式進(jìn)行聚類(lèi)分析，根據(jù)結(jié)果對(duì)所選城市宜居性進(jìn)行排序.

案例小結(jié)：根據(jù)此案例可明確看出，案例中提及的都屬于數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計(jì)建模的問(wèn)題[3].該案例的解決方式不僅能幫助學(xué)生系統(tǒng)化處理數(shù)據(jù)，還能讓學(xué)生充分了解統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的建模思路，使學(xué)生從中學(xué)習(xí)到數(shù)據(jù)分析的方法.通過(guò)此教學(xué)模式，學(xué)生能形成良好的思維品質(zhì)，進(jìn)而提高自身的數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).

三、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主要方式

（一）合理選取建模素材，凸顯核心素養(yǎng)

在高中教學(xué)中開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)的核心點(diǎn)是建模素材的選取，教師應(yīng)根據(jù)選取標(biāo)準(zhǔn)和原則，確保選取的建模素材符合課程標(biāo)準(zhǔn)要求，并且要確保教材例題的合理運(yùn)用.也就是說(shuō)，建模素材的選取會(huì)直接關(guān)系到學(xué)生認(rèn)知水平的發(fā)展.此外，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)還是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)，為了能在建模素材中充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和課程內(nèi)容統(tǒng)一發(fā)展，有必要在內(nèi)容中體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的趣味性以及生動(dòng)性，進(jìn)而通過(guò)深入挖掘有意義的數(shù)學(xué)情境，凸顯核心素養(yǎng).

比如，在教學(xué)“平面向量”相關(guān)內(nèi)容時(shí)，有關(guān)平面向量的坐標(biāo)問(wèn)題，教師要通過(guò)數(shù)學(xué)建模思想強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.在課堂教學(xué)中，教師先給學(xué)生展示信息技術(shù)課件，通過(guò)生動(dòng)與形象的畫(huà)面吸引學(xué)生眼球，集中學(xué)生注意力，然后向?qū)W生介紹平面向量的相關(guān)概念，播放直角坐標(biāo)系創(chuàng)設(shè)動(dòng)畫(huà)，使學(xué)生直觀了解向量的存在，最后安排學(xué)生對(duì)平面向量的概念與應(yīng)用進(jìn)行研究，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)面，拓寬學(xué)生視野.

（二）合理運(yùn)用教學(xué)模式，關(guān)注學(xué)生發(fā)展

與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)相比較，數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)具有較強(qiáng)的研究性，并需要學(xué)生通過(guò)查閱、猜想和探究等過(guò)程實(shí)現(xiàn)驗(yàn)證，是學(xué)生思考問(wèn)題和體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的過(guò)程.因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)多注重學(xué)生發(fā)展，除了要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究和閱讀自學(xué)以外，還要培養(yǎng)學(xué)生的思考能力、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題等能力，從而使得學(xué)生能夠積極主動(dòng)地參與教學(xué)活動(dòng)中[4].與此同時(shí)，教師還需要積極鼓勵(lì)學(xué)生使用文字語(yǔ)言或是數(shù)學(xué)語(yǔ)言等方式，把數(shù)學(xué)建模過(guò)程充分體現(xiàn)出來(lái)，并讓學(xué)生闡述自己的思維過(guò)程，以此來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).除此之外，教師要及時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)和鼓勵(lì)，針對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生自主思考或者小組解決，然后把得到的答案匯報(bào)給教師，將學(xué)習(xí)成果分享給其他學(xué)生.在此期間，教師要對(duì)表現(xiàn)優(yōu)異的學(xué)生進(jìn)行支持與肯定，對(duì)不敢積極發(fā)言的學(xué)生進(jìn)行及時(shí)鼓勵(lì)和耐心指導(dǎo)，樹(shù)立學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課堂的參與程度.這樣一來(lái)，學(xué)生之間能互相溝通，教學(xué)氣氛也活躍起來(lái)，從而能深層次挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵，有助于實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性.

（三）樹(shù)立學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力

思想先于行為.在高中課堂上培養(yǎng)學(xué)生建模思想，教師應(yīng)該在具體的教學(xué)中，特別是處理問(wèn)題期間，讓學(xué)生整理解題思路之前滲透數(shù)學(xué)模型，使得學(xué)生在頭腦中自主形成建模意識(shí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性.比如，在“算法”相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，算法和其他知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比重要性不夠顯著，然而，針對(duì)學(xué)生建模思想的培養(yǎng)存在較大的價(jià)值.在算法案例介紹中，教師通過(guò)多媒體技術(shù)引出韓信點(diǎn)兵、孫子的問(wèn)題，給學(xué)生帶來(lái)直觀的學(xué)習(xí)感受，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生積極走進(jìn)問(wèn)題情境中[5].在引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合x(chóng)，y，z的不定方程組進(jìn)行算法計(jì)算時(shí)，教師只要對(duì)學(xué)生稍加提醒，學(xué)生就可以在頭腦中有意識(shí)地把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)模型，從而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的肯定感與認(rèn)同感，由此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，為有效的教學(xué)活動(dòng)奠定基礎(chǔ).

（四）引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光對(duì)待數(shù)學(xué)問(wèn)題，強(qiáng)化學(xué)生核心素養(yǎng)

對(duì)于簡(jiǎn)單的問(wèn)題，學(xué)生容易處理，然而對(duì)于煩瑣的問(wèn)題，學(xué)生解決起來(lái)難度比較大，所以，在具體教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生建模能力的培養(yǎng)，要求學(xué)生有意識(shí)地站在數(shù)學(xué)角度上分析問(wèn)題，強(qiáng)化學(xué)生解決問(wèn)題的能力.比如，在“幾何模型”的教學(xué)過(guò)程中，教師給學(xué)生提出下列問(wèn)題：在一個(gè)平面上，存在著一些距離為2b的平行線，把半徑r小于b的一枚硬幣隨意投放在這個(gè)平面上，計(jì)算硬幣和任何一條平行線均不會(huì)相碰的概率.結(jié)合題干，概率問(wèn)題的難度不大，那么應(yīng)該怎樣建立模型？很多學(xué)生以及教師的第一反應(yīng)是創(chuàng)設(shè)二維平面的幾何模型，可是這一個(gè)模型并不能完全地解決問(wèn)題，最佳的模型建設(shè)應(yīng)該是線段模型.教師在課堂上給學(xué)生一定思考時(shí)間，要求學(xué)生以小組為單位分析解題的思路與解決問(wèn)題的流程，深入引導(dǎo)學(xué)生，使得學(xué)生靈活運(yùn)用大腦創(chuàng)新解決問(wèn)題的思路[6].在不斷地互動(dòng)與溝通中，最為理想的解決問(wèn)題思路是：找到和硬幣距離最近的一條平行線，將這條平行線當(dāng)作x軸形成平面直角坐標(biāo)系，接下來(lái)，把硬幣的圓心進(jìn)行投影，建立對(duì)應(yīng)的y軸，進(jìn)一步明確基本事件的空間以及事件產(chǎn)生區(qū)域.由于后面建立y軸的思路存在較大難度，學(xué)生不能自主聯(lián)想到，所以，教師在模型創(chuàng)設(shè)中要細(xì)致地講解，啟迪學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光對(duì)待數(shù)學(xué)問(wèn)題，得到最終問(wèn)題答案，潛移默化地強(qiáng)化學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，要想在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)，需要教師、學(xué)生等多個(gè)方面的合理配合并一同進(jìn)行，從而在教學(xué)中有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和創(chuàng)新能力等.此外，還將通過(guò)合理選取建模素材，凸顯核心素養(yǎng);合理運(yùn)用教學(xué)模式，關(guān)注學(xué)生發(fā)展;樹(shù)立學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力;引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光對(duì)待數(shù)學(xué)問(wèn)題，強(qiáng)化學(xué)生核心素養(yǎng)等有效方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

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