設(shè)計(jì)變式練習(xí)，促進(jìn)不同思維層次學(xué)生的發(fā)展
——過(guò)程性變式設(shè)計(jì)理念下練習(xí)課教學(xué)新探索

□ 沈 強(qiáng)

SOLO分類(lèi)評(píng)價(jià)理論是香港大學(xué)教育心理學(xué)教授彼格斯（J.B.Biggs）首創(chuàng)的一種學(xué)生學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)方法，它是以等級(jí)描述為特征的質(zhì)性評(píng)價(jià)方法。根據(jù)學(xué)生理解能力由低到高分成五個(gè)層次：前結(jié)構(gòu)水平、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平。所謂過(guò)程性變式，是指創(chuàng)建變式問(wèn)題或情境，讓學(xué)生進(jìn)行探究，找到解決問(wèn)題的方法，讓學(xué)生逐步或從多種途徑建立不同概念之間的聯(lián)系。本文結(jié)合“圓柱和圓錐”中的一道試題，對(duì)學(xué)生的解答情況根據(jù)理解水平進(jìn)行分類(lèi)和分層，針對(duì)不同水平層次的學(xué)生設(shè)計(jì)不同的變式練習(xí)，以提高練習(xí)課的有效性，促使在不同思維水平層次上的學(xué)生得到不同程度的發(fā)展。

一、原題呈現(xiàn)、測(cè)試背景、測(cè)評(píng)點(diǎn)分析

1.原題呈現(xiàn)。

2.試題背景。

此題是2020年7月嘉興市小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)試卷上“解決問(wèn)題”中的試題。

3.測(cè)評(píng)點(diǎn)分析。

知識(shí)點(diǎn)：考查圓柱表面積和圓環(huán)面積的相關(guān)知識(shí)及其運(yùn)用。

能力點(diǎn)：能先將復(fù)雜的幾何圖形分解成若干個(gè)部分，然后對(duì)子圖形進(jìn)行識(shí)別和計(jì)算，以便有效地解決原來(lái)的問(wèn)題。

二、基于SOLO分類(lèi)理論對(duì)學(xué)生的理解水平進(jìn)行分層分析

（一）樣本分析

在全區(qū)近3000份試卷中，隨機(jī)抽取800份試卷做樣本分析，并根據(jù)理解水平能力進(jìn)行分類(lèi)。以下是對(duì)不同水平層次學(xué)生的解答情況所做的分析。

1.前結(jié)構(gòu)水平層次。能力“最低”。

處于前結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生的回答不存在邏輯上的聯(lián)系，線索與回答混在一起，有三種情況：拒絕、同義反復(fù)、轉(zhuǎn)換。此題中出現(xiàn)了兩種情況：拒絕和轉(zhuǎn)換。拒絕，指學(xué)生不想認(rèn)真投入到思考中，最直接的現(xiàn)象是空白（如圖1）。轉(zhuǎn)換，與其說(shuō)是猜測(cè)，不如說(shuō)是瞎說(shuō)瞎撞，學(xué)生試圖找到一個(gè)相關(guān)的答案，但出錯(cuò)了，主要是未在邏輯基礎(chǔ)上進(jìn)行解答（如圖2）。

圖1

圖2

2.單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平層次。能力“低”。

處于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生只抓住了閃現(xiàn)在心目中的頭一個(gè)素材（但至少是一個(gè)相關(guān)素材），就直接跳到結(jié)論上去，因此結(jié)論非常不一致。有的學(xué)生只算對(duì)了側(cè)面積，其余部分都是錯(cuò)誤的（如圖3），有的只算對(duì)了圓的面積（如圖4）。類(lèi)似的解答，離正確結(jié)果相差較遠(yuǎn)。

圖3

圖4

3.多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平層次。能力“中”。

處于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生往往會(huì)找到許多相關(guān)點(diǎn)。但由于各點(diǎn)之間沒(méi)有相互聯(lián)系，或者在某一個(gè)點(diǎn)上出現(xiàn)了問(wèn)題，導(dǎo)致用同樣的素材得出不同的結(jié)論。處于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生的解題思路完全正確，但由于某個(gè)公式運(yùn)用錯(cuò)誤，導(dǎo)致離正確結(jié)論只有一步之遙。公式運(yùn)用錯(cuò)誤主要有兩種情況：一是將圓環(huán)面積公式記憶成“大圓的直徑×直徑×π－小圓的直徑×直徑×π”（如圖5）；二是將圓柱的側(cè)面積記憶成“底面積×高”，側(cè)面積與體積公式混淆（如圖6）。

圖5

圖6

4.關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次。能力“高”。

處于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生，在設(shè)定的情境或經(jīng)歷的經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)，能利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行概括，沒(méi)有不一致的問(wèn)題。學(xué)生會(huì)在看到事物的所有方面后，將其連貫成一個(gè)整體，再做出關(guān)聯(lián)性解答。此層次中，學(xué)生利用圓柱表面積和圓環(huán)面積的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行正確解答，解答思路是將復(fù)雜的組合圖形面積分解成三部分“小圓的面積+圓柱的側(cè)面積+圓環(huán)的面積”，分別計(jì)算后再相加（如圖7）。

圖7

5.抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平層次。能力最“高”。

處于抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生的回答超越了根據(jù)素材進(jìn)行的歸納，進(jìn)行了真正的合乎邏輯的演繹。這一層次的學(xué)生，將帽子的頂部（小圓）和帽檐（圓環(huán)）相加后正好成為一個(gè)大圓，所以帽子面料的面積分解成兩部分：大圓的面積和圓柱側(cè)面的面積，分別計(jì)算兩部分后再相加（如圖8）。在推理的基礎(chǔ)上計(jì)算更簡(jiǎn)便，思維水平層次更高。

圖8

（二）測(cè)查結(jié)論

對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行了歸類(lèi)和統(tǒng)計(jì)，各SOLO 層次的人數(shù)和占比如表1所示（抽取樣本800份）。

表1

從本次測(cè)查結(jié)果來(lái)看，此題的得分率為69.6%，說(shuō)明學(xué)生在解決這類(lèi)復(fù)雜的幾何圖形時(shí)，理解能力比較薄弱。主要由以下三個(gè)方面造成：一是不能有效地將復(fù)雜的幾何圖形分解成若干個(gè)子圖形，缺乏一個(gè)整體的解題思路；二是有了正確的解題思路后，因?yàn)樯婕暗拿娣e公式較多，而且公式之間容易混淆，造成在計(jì)算部分子圖形時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤；三是此題的計(jì)算量比較大，特別是計(jì)算過(guò)程和結(jié)果中沒(méi)有保留π，計(jì)算量和復(fù)雜程度明顯上升，造成嚴(yán)重的計(jì)算錯(cuò)誤。

三、立足于學(xué)生不同層次的理解能力，實(shí)施針對(duì)性教學(xué)

所謂針對(duì)性教學(xué)，指根據(jù)學(xué)生不同的理解力，進(jìn)行歸類(lèi)并分層，運(yùn)用過(guò)程變式理念設(shè)計(jì)相應(yīng)的練習(xí)題，實(shí)施針對(duì)性教學(xué)，以提高學(xué)生的理解水平層次。

1.處于前結(jié)構(gòu)、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生向多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平層次提升。

處于前結(jié)構(gòu)和單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生，對(duì)基本圖形概念掌握不扎實(shí)，缺少學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于各種變式習(xí)題，缺乏鑒別能力。要提升到多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平，可以從以下兩個(gè)方面進(jìn)行嘗試：一是增加動(dòng)手操作環(huán)節(jié)，拉長(zhǎng)學(xué)生的過(guò)程性體驗(yàn)歷程；二是提供辨別比較材料，提升思維鑒別能力。

（1）由靜變動(dòng)，增加動(dòng)手操作環(huán)節(jié)，拉長(zhǎng)學(xué)生的過(guò)程體驗(yàn)歷程。

心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為：“活動(dòng)是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，智慧從動(dòng)作開(kāi)始?！痹跀?shù)學(xué)課堂中，學(xué)生通過(guò)自我探索、合作交流，體驗(yàn)數(shù)學(xué)事實(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)而積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

在表面積的練習(xí)中，更多的習(xí)題是靜態(tài)的，只提供情境和數(shù)據(jù)，讓學(xué)生運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。例如“制作一個(gè)無(wú)蓋的水桶，底面半徑為3 分米，高為5分米，需要多大的鐵皮？”這樣的習(xí)題對(duì)于學(xué)生鞏固知識(shí)和技能有一定的幫助，但過(guò)多類(lèi)似的練習(xí)，對(duì)于處于前結(jié)構(gòu)和單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生來(lái)講，在不理解和缺乏活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上反復(fù)操練，更多的只是記憶性練習(xí)，思維水平很難在原水平基礎(chǔ)上有所突破。將其通過(guò)變式改編成一道操作實(shí)踐題，提供一張長(zhǎng)25.12 厘米、寬18.84 厘米的長(zhǎng)方形紙，讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算，在另一張白紙上利用圓規(guī)和剪刀剪出一個(gè)圓形紙片，與提供的這張紙一起組成一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形紙筒。學(xué)生首先需要考慮用長(zhǎng)方形的哪條邊作為底面的周長(zhǎng)，其次運(yùn)用公式計(jì)算出直徑，再利用圓規(guī)畫(huà)出圓形并剪下，粘貼成圓柱形紙筒。雖然這一操作會(huì)比單純做一道習(xí)題花去更多的時(shí)間，但可以拉長(zhǎng)學(xué)生的過(guò)程體驗(yàn)，通過(guò)積累一道題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來(lái)掌握解決一類(lèi)題的技能與方法。

（2）由一變多，提供辨別比較材料，提升學(xué)生的思維鑒別能力。

有比較才有鑒別，比較是鑒別事物異同關(guān)系的一種思維方式。一道題經(jīng)過(guò)不斷的變式，會(huì)產(chǎn)生不同的情況，教師可以讓學(xué)生采用對(duì)比的方法，將各種知識(shí)互相聯(lián)系起來(lái)，在互相比較中揭露事物的本質(zhì)，提升學(xué)生的理解能力。

如圓柱表面積的相關(guān)知識(shí)中，有些圓柱物體是求“側(cè)面積+2個(gè)底面積”，有些是求“側(cè)面積+1個(gè)底面積”，還有一些是只求“側(cè)面積”。對(duì)于處于前結(jié)構(gòu)和單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生來(lái)講，能夠正確區(qū)分幾種情況是一個(gè)難點(diǎn)。教師先呈現(xiàn)一個(gè)圓柱形，然后對(duì)其進(jìn)行變化，變成各種情境下求圓柱的表面積，讓學(xué)生思考分別屬于哪類(lèi)情況，進(jìn)行歸類(lèi)與整理（如圖9），并對(duì)各類(lèi)情況進(jìn)行補(bǔ)充。通過(guò)由一變多的方式，學(xué)生進(jìn)行了思辨，提升了鑒別能力。

圖9

2.處于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生向關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次提升。

處于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生往往在解題時(shí)沒(méi)有畫(huà)圖或標(biāo)數(shù)據(jù)，在選用公式和數(shù)據(jù)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，從而導(dǎo)致結(jié)論的不一致性，這說(shuō)明學(xué)生在信息解讀能力上有待提高。另外，計(jì)算造成的錯(cuò)誤，使學(xué)生離正確結(jié)論只差一步。

（1）由簡(jiǎn)變繁，提高信息解讀要求，發(fā)展學(xué)生的信息解讀能力。

在幾何教學(xué)中，面對(duì)復(fù)雜的條件和繁多的數(shù)據(jù)，如何正確解讀信息？可以通過(guò)畫(huà)圖和標(biāo)數(shù)據(jù)的方式，把題目的意思以直觀形象的圖示表示出來(lái)，讓學(xué)生在解題過(guò)程中更容易運(yùn)用公式、找到數(shù)據(jù)來(lái)解決問(wèn)題。

很多習(xí)題只有文字沒(méi)有圖示，例如“一個(gè)圓柱形物體，底面直徑4 分米，高6 分米，將它的側(cè)面和上下底面用布粘貼起來(lái)，一共需要多少布料？”對(duì)于這類(lèi)習(xí)題，學(xué)生需要養(yǎng)成畫(huà)圖和標(biāo)數(shù)據(jù)的習(xí)慣。教師還可以通過(guò)增加信息條件，來(lái)發(fā)展學(xué)生的信息解讀能力。如將此題改為：“一個(gè)圓柱形燈罩，底面直徑4分米，高6分米，先將它的側(cè)面和上下底面用布粘貼起來(lái)，然后在上下兩個(gè)底面分別剪去一個(gè)半徑為1.5分米的小圓，以便散熱，做這樣一個(gè)燈罩共需要多少布料？”經(jīng)過(guò)變式后，信息量增加，解題難度上升，更能挑戰(zhàn)學(xué)生的信息解讀能力。邊畫(huà)圖邊標(biāo)數(shù)據(jù)，這是對(duì)信息正確解讀的有效方法。

圖10

（2）由繁變簡(jiǎn)，簡(jiǎn)化學(xué)生計(jì)算過(guò)程，提高學(xué)生的計(jì)算能力。

在試卷分析的數(shù)據(jù)采集中，對(duì)處于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)和抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生的計(jì)算進(jìn)行了分類(lèi)統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表2所示。

表2

從上表中可以看出，近75%的學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中保留了π（如圖11），還有25%的學(xué)生是直接乘3.14（如圖12）。在批閱過(guò)程中，明顯發(fā)現(xiàn)不保留π的計(jì)算過(guò)程煩瑣，涂改的現(xiàn)象比較明顯，正確率低。為了與初中學(xué)習(xí)接軌，建議計(jì)算過(guò)程和結(jié)果都保留π。

圖11

圖12

3.處于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生向抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平層次提升。

從關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次向抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平層次發(fā)展，需要教師對(duì)習(xí)題進(jìn)行不斷的變式，使習(xí)題具有更高的挑戰(zhàn)性，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新精神。

（1）由正變斜，改變信息空間位置，豐富學(xué)生的圖像建構(gòu)過(guò)程。

在用紙圍圓柱的側(cè)面時(shí)，一般是用長(zhǎng)方形或正方形紙來(lái)圍的，教師可對(duì)其進(jìn)行變式，用一個(gè)平行四邊形紙片，改變傳統(tǒng)的圍法，讓學(xué)生在一個(gè)未經(jīng)歷過(guò)的情境中來(lái)解決問(wèn)題。呈現(xiàn)題意：“由一張高為6 厘米、面積為75.36 平方厘米的平行四邊形商標(biāo)紙片，正好粘貼在一個(gè)茶葉筒的側(cè)面（無(wú)縫隙、無(wú)重疊），如果接口不計(jì)，做一個(gè)這樣的茶葉筒共需要多少紙板（上下也有紙板）？”引導(dǎo)學(xué)生從條件出發(fā)，向問(wèn)題靠近。已知平行四邊形的面積和高，可以求出底，底的長(zhǎng)度就是圓柱底面的周長(zhǎng)，可以求出半徑，再求底面的面積，最后求出表面積。也可以引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題出發(fā)，側(cè)面積已知，只需求出底面積，底面的周長(zhǎng)與平行四邊形的底邊相等，利用平行四邊形面積公式求出底邊。培養(yǎng)學(xué)生從不同的思考方向來(lái)解決問(wèn)題。

圖13

（2）由斜變正，利用圖形之間關(guān)系，優(yōu)化學(xué)生的解題思路框架。

解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，不要急于去解題，而是先思考有幾種解決方案，再比較哪種解決方案更優(yōu)化，方案的優(yōu)化意味著解題更簡(jiǎn)便，正確率更高。

例如“一個(gè)糧倉(cāng)（如圖14），如果每立方米糧食的質(zhì)量為750千克，這個(gè)糧倉(cāng)最多能裝多少千克糧食？（單位：米）”在計(jì)算糧倉(cāng)的體積時(shí)，學(xué)生一般都是分別計(jì)算圓錐和圓柱的體積再相加。在利用常規(guī)解題思路之前，可以讓學(xué)生先比較圓錐和圓柱之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兩者的底面積是相等的，可將圓錐轉(zhuǎn)化成等底面等體積的圓柱，變成底面積相等、高為0.2 米的圓柱，那么整個(gè)體積可以看成高為（1.5+0.2）米的圓柱，這種解題思路就如生活中看到的將尖尖的頂部抹平的現(xiàn)象。

圖14