感悟量率關(guān)系 深刻認(rèn)識(shí)分率
——由學(xué)生的一道習(xí)題錯(cuò)誤引發(fā)的思考與實(shí)踐

□ 劉兆偉

【案例呈現(xiàn)】

聽(tīng)一位教師執(zhí)教“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）”單元中的《認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一》（蘇教版三年級(jí)下冊(cè)）一課，教師呈現(xiàn)教材中的一道習(xí)題：用分?jǐn)?shù)表示涂色部分（如圖1），請(qǐng)學(xué)生解答。課后，筆者對(duì)全班54 名學(xué)生的解答情況做了統(tǒng)計(jì)，有26 人填寫(xiě)了正確答案有 19 人填寫(xiě)了還有9 人填寫(xiě)了（根據(jù)以往的教學(xué)觀察也發(fā)現(xiàn)，較多學(xué)生在做這題時(shí)出現(xiàn)上述錯(cuò)誤）。學(xué)生的錯(cuò)誤表明，他們對(duì)表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)并未形成清晰的認(rèn)識(shí)。

圖1

那么，為什么會(huì)有這么多的學(xué)生出現(xiàn)這樣的問(wèn)題呢？不妨回看這位教師的教學(xué)過(guò)程。

師（出示情境圖，如圖2）：每只小猴分得這盤(pán)桃的幾分之幾？

圖2

師：你是怎么想的？

師（揭去方巾，如圖3）：現(xiàn)在每只小猴分得這盤(pán)桃的幾分之幾呢？

圖3

師：到底哪種說(shuō)法正確呢？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的想法。

生4：我認(rèn)為生2的說(shuō)法正確，因?yàn)槊恐恍『锓值?個(gè)桃中的3個(gè)，所以每只小猴分得這盤(pán)桃的

生5：我覺(jué)得生3的說(shuō)法正確，因?yàn)檫@6個(gè)桃還是一盤(pán)桃，平均分給2 只小猴，每只小猴分得的還是這盤(pán)桃的

師：對(duì)！當(dāng)我們把這6 個(gè)桃看成一個(gè)整體，平均分成2份，每份就是這個(gè)整體的如果盤(pán)里有4個(gè)桃、8個(gè)桃，你會(huì)表示這盤(pán)桃的嗎？

教師請(qǐng)學(xué)生在練習(xí)紙上獨(dú)立解決、集體展示并講評(píng)（過(guò)程略）。

師：比較一下，盤(pán)里桃的總個(gè)數(shù)不一樣，每份桃的個(gè)數(shù)也不一樣，為什么都能用表示？

生：因?yàn)槎际前堰@盤(pán)桃平均分成2 份，每只小猴都分得其中的1份，所以都能用表示。

師：是??！不管盤(pán)里有多少個(gè)桃，只要把它們看成一個(gè)整體，平均分成2 份，每份就是這個(gè)整體的

隨后，教師在教材例2 及“試一試”的教學(xué)中，多次要求學(xué)生按照上述句式規(guī)范地表述一個(gè)整體的幾分之一。

【案例分析】

上述教學(xué)過(guò)程看似清晰，教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)了部分與整體的關(guān)系。但為什么很多學(xué)生在獨(dú)立練習(xí)時(shí)，仍會(huì)受到具體數(shù)量的干擾而出現(xiàn)問(wèn)題？可以從教材的編排、學(xué)生的已有認(rèn)知水平以及教師的教學(xué)行為等方面進(jìn)行分析。

（一）量率關(guān)系未厘清

一、二年級(jí)時(shí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)的數(shù)都是表示具體數(shù)量的自然數(shù)。三年級(jí)上學(xué)期，他們?cè)趯W(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）”時(shí)初次接觸到表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)。教材設(shè)計(jì)例題“把一個(gè)蛋糕平均分給兩個(gè)小朋友，每人分得多少”引入分?jǐn)?shù)，但“半個(gè)也就是二分之一個(gè)”與“把一個(gè)蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一”中的兩個(gè)是不完全一樣的，前一個(gè)表示的是具體數(shù)量，后一個(gè)表示的是部分與整體之間的關(guān)系。

由表示部分?jǐn)?shù)量的分?jǐn)?shù)過(guò)渡到表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)，教材例題這樣設(shè)計(jì)在邏輯上沒(méi)有問(wèn)題，但例題情境中在分蘋(píng)果和礦泉水這兩個(gè)物品時(shí)，每人分得的結(jié)果都是具體數(shù)量，學(xué)生自然認(rèn)為分蛋糕得到的結(jié)果也是具體數(shù)量，所以有不少學(xué)生對(duì)的認(rèn)識(shí)并沒(méi)有實(shí)現(xiàn)由量到率的轉(zhuǎn)換。由于在一個(gè)物體或一個(gè)圖形的幾分之幾中，表示部分?jǐn)?shù)量的分?jǐn)?shù)與表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)在形式上是一致的，所以即使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)停留在表示部分?jǐn)?shù)量的數(shù)上，在作業(yè)中也表現(xiàn)不出問(wèn)題。而到了本節(jié)課，表示一份數(shù)量的數(shù)與表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)在形式上不一致了，學(xué)生未能厘清量率之間的關(guān)系，在獨(dú)立練習(xí)時(shí)問(wèn)題便暴露出來(lái)了。

（二）回避數(shù)量何其難

量是具體的、可見(jiàn)的，率是抽象的、隱蔽的。量反映物體的多少，率反映不同量之間的倍比關(guān)系，量和率既有區(qū)別又緊密地聯(lián)系在一起。上述教學(xué)中，教師認(rèn)識(shí)到一份中的具體數(shù)量會(huì)給學(xué)生認(rèn)識(shí)“一個(gè)整體的幾分之一”帶來(lái)干擾，所以巧妙地設(shè)計(jì)了從“遮”到“揭”的教學(xué)過(guò)程，想要避免這種干擾，并且在后面的教學(xué)中，多次強(qiáng)化規(guī)范表達(dá)，以加深學(xué)生對(duì)表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，類(lèi)似這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)經(jīng)常見(jiàn)到。按照這樣的設(shè)計(jì)進(jìn)行教學(xué)，部分學(xué)生在揭開(kāi)方巾后，能夠把6 個(gè)桃看作一個(gè)整體，其他學(xué)生通過(guò)多次強(qiáng)化后，也能按照規(guī)范表述一個(gè)整體的幾分之一。但到了獨(dú)立練習(xí)時(shí)，仍然有不少學(xué)生因?yàn)槭艿揭环葜芯唧w數(shù)量的干擾而出現(xiàn)問(wèn)題。可見(jiàn)，在認(rèn)識(shí)表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)時(shí)，想要回避具體數(shù)量十分困難。

小學(xué)三年級(jí)學(xué)生對(duì)于表示具體數(shù)量的數(shù)是熟悉的，但對(duì)于表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)還是相對(duì)陌生的。如果教師直接將分率硬塞給學(xué)生，學(xué)生只能被動(dòng)地記憶與模仿，不能對(duì)分率產(chǎn)生深刻的感悟與理解。因此，應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生從具體數(shù)量走向分率，并通過(guò)比較認(rèn)識(shí)到具體數(shù)量與分率之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而將分率納入到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，這樣學(xué)生才能對(duì)分率產(chǎn)生深刻的理解。

【教學(xué)重構(gòu)】

根據(jù)以上分析，對(duì)例1的教學(xué)進(jìn)行了重構(gòu)，并由同一位教師在另一個(gè)班重新執(zhí)教此課。過(guò)程如下。

師出示情境圖（如圖4），請(qǐng)學(xué)生回答。

圖4

生：要解決這個(gè)問(wèn)題，還缺少條件。

師：你想補(bǔ)充什么條件來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？

生：如果盤(pán)里有2個(gè)桃，每只小猴分得1個(gè)桃。

生：如果盤(pán)里有4個(gè)桃，每只小猴分得2個(gè)桃。

生：如果盤(pán)里有6個(gè)桃，每只小猴分得3個(gè)桃。

……

師：剛才大家補(bǔ)充的條件中，桃的個(gè)數(shù)都是雙數(shù)，如果盤(pán)里桃的個(gè)數(shù)是單數(shù)，該怎么回答呢？

生：如果盤(pán)里有1個(gè)桃，每只小猴分得半個(gè)桃。

生：如果盤(pán)里有3個(gè)桃，每只小猴分得1個(gè)半桃。

生：如果盤(pán)里有5個(gè)桃，每只小猴分得2個(gè)半桃。

……

師：剛才大家通過(guò)補(bǔ)充條件，解決了這個(gè)問(wèn)題。因?yàn)楸P(pán)里桃的個(gè)數(shù)不知道，所以這個(gè)問(wèn)題有很多種回答。如果不補(bǔ)充條件，能回答這個(gè)問(wèn)題嗎？（較長(zhǎng)時(shí)間等待）

生：不能，因?yàn)槿绻桓嬖V我們盤(pán)里桃的個(gè)數(shù)，我們沒(méi)有辦法知道每只小猴分得多少。

圖5

生（疑惑）：能這樣回答嗎？

生：哦，我明白了！可以這樣回答。

師：你來(lái)說(shuō)說(shuō)看。

生：我們可以結(jié)合剛才的圖來(lái)看，如果盤(pán)里有1個(gè)桃，每只小猴分得的就是這盤(pán)桃的這是我們上學(xué)期學(xué)過(guò)的。

師：如果盤(pán)里有2個(gè)桃呢？

生：如果盤(pán)里有2個(gè)桃，每只小猴分得1個(gè)桃，1個(gè)桃是2 個(gè)桃的一半，也就是這盤(pán)桃的一半，所以每只小猴分得的還是這盤(pán)桃的

師：如果盤(pán)里有3個(gè)桃呢？

……

生：哦，確實(shí)可以這樣回答。

生：不管盤(pán)里有多少個(gè)桃，只要平均分成2份，每份都是這盤(pán)桃的

生：一開(kāi)始，我們想知道每只小猴分得多少個(gè)桃，但因?yàn)楸P(pán)里桃的個(gè)數(shù)不知道，所以有很多種不同的回答，答案是不確定的。但不管哪種回答，每只小猴分得的桃的個(gè)數(shù)與這盤(pán)桃的個(gè)數(shù)的關(guān)系是不變的，都是這盤(pán)桃的這樣回答，答案就是確定的。

生：這樣回答概括了我們前面所有的回答。

……

隨后，教師按照先前的教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)后面的內(nèi)容。學(xué)生獨(dú)立練習(xí)時(shí)，筆者再次對(duì)上述圖1 中學(xué)生的作業(yè)情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，全班53 名學(xué)生，有49 人填寫(xiě)了正確答案有2人填寫(xiě)了，還有2人填寫(xiě)了。與重構(gòu)前相比，學(xué)生做這道題的正確率高出了很多。

【案例反思】

上述案例中，執(zhí)教者沒(méi)有發(fā)生變化，整節(jié)課的教學(xué)流程也沒(méi)有發(fā)生變化，僅僅是改編了例題中的問(wèn)題，為什么教學(xué)效果卻有如此大的變化呢？

（一）問(wèn)題設(shè)計(jì)由封閉走向開(kāi)放

教材例題中的問(wèn)題是封閉的，只能用表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)來(lái)回答。由于小學(xué)三年級(jí)學(xué)生的思維方式以形象思維為主，他們?cè)诨卮疬@個(gè)問(wèn)題時(shí)必然會(huì)受到具體數(shù)量的干擾，此時(shí)教師會(huì)千方百計(jì)地將學(xué)生牽引到正確答案上來(lái)，導(dǎo)致學(xué)生只能被動(dòng)地接受陌生的知識(shí)。而重構(gòu)后的問(wèn)題是開(kāi)放的，既可以用具體數(shù)量來(lái)回答，又可以用表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)來(lái)回答。這樣的問(wèn)題符合學(xué)生的思維特征，學(xué)生在面對(duì)這個(gè)問(wèn)題時(shí)，從最初用具體數(shù)量回答逐步過(guò)渡到用表示關(guān)系的分?jǐn)?shù)回答。開(kāi)放性的問(wèn)題不僅激活了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，而且給了學(xué)生認(rèn)識(shí)具體數(shù)量與分率之間聯(lián)系的機(jī)會(huì)。

（二）知識(shí)教學(xué)由孤立走向聯(lián)系

對(duì)于易混的、相互干擾的知識(shí)，如果教師只是孤立地進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生往往無(wú)法深刻理解知識(shí)的內(nèi)涵，容易產(chǎn)生認(rèn)知障礙。但如果教師能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到易混知識(shí)之間的區(qū)別與聯(lián)系，學(xué)生反而能夠?qū)⑺鼈儏^(qū)分開(kāi)來(lái)，加深對(duì)這些知識(shí)的理解。重構(gòu)前的教學(xué)，側(cè)重于讓學(xué)生認(rèn)識(shí)表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)，所以在學(xué)生受到具體數(shù)量干擾時(shí)，教師都是通過(guò)規(guī)范表達(dá)來(lái)讓學(xué)生硬性接受。重構(gòu)后的教學(xué)，側(cè)重于讓學(xué)生在感悟量率之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)并理解表示部分與整體之間關(guān)系的分?jǐn)?shù)。從學(xué)生的回答“每只小猴分得的桃的個(gè)數(shù)與這盤(pán)桃的個(gè)數(shù)的關(guān)系是不變的”“這樣回答概括了我們前面所有的回答”可以看出，他們已經(jīng)充分感悟到了量率之間的聯(lián)系，對(duì)表示關(guān)系的分?jǐn)?shù)已經(jīng)理解得比較深刻了。雖然重構(gòu)后在例1的教學(xué)上時(shí)間多花了一些，但由于學(xué)生對(duì)分率的理解比較深刻，后面的學(xué)習(xí)就進(jìn)行得十分順利，不需要教師多次強(qiáng)化規(guī)范表達(dá)，所以總的教學(xué)時(shí)間并沒(méi)有增加，教學(xué)效果卻比重構(gòu)前好很多。

數(shù)學(xué)中有很多易混的、相互關(guān)聯(lián)的知識(shí)，在教學(xué)這些知識(shí)時(shí)，孤立地進(jìn)行教學(xué)不是最好的辦法。教師需要正視易混知識(shí)之間的差別與聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生深入認(rèn)識(shí)這些知識(shí)各自的本質(zhì)以及它們之間的聯(lián)系，使學(xué)生對(duì)這些知識(shí)形成準(zhǔn)確的、清晰的、深刻的認(rèn)識(shí)。