指向整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)度量教學(xué)

□ 王智明

度量是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容。絕大多數(shù)國家都把度量作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程發(fā)展的一條主線，如美國數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的制定，就是以數(shù)與運(yùn)算、代數(shù)、幾何、度量、數(shù)據(jù)處理與概率貫穿小學(xué)到高中。實(shí)際教學(xué)中，教師常常對(duì)度量的重要性認(rèn)識(shí)不足，僅把度量視作圖形與幾何或數(shù)與代數(shù)的一部分教學(xué)內(nèi)容，影響了度量教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的形成與發(fā)展，同時(shí)更忽略了其作為數(shù)學(xué)課程一條主線的作用。

度量在日常教學(xué)中存在諸多問題。首先，內(nèi)容上教材雖強(qiáng)調(diào)了整體內(nèi)容的連續(xù)性與系統(tǒng)性，但學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間跨度大，導(dǎo)致遺忘率較高。其次，教學(xué)過程忽略學(xué)生對(duì)度量對(duì)象的深層感悟和體驗(yàn)，較少體現(xiàn)深層感悟的創(chuàng)造性。再者，忽略兒童的經(jīng)驗(yàn)，兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上是在已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上深度和廣度的變化，而度量的教學(xué)內(nèi)容本身與兒童的經(jīng)驗(yàn)息息相關(guān)，需要重視兒童在原有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的自我構(gòu)建，不斷豐富，通過類比形成新經(jīng)驗(yàn)。為此，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)中的度量教學(xué)進(jìn)行了相關(guān)研究，以期從統(tǒng)整角度對(duì)單元內(nèi)容進(jìn)行整合，促進(jìn)數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)。

一、度量與測(cè)量

談到度量，難免會(huì)提及與之相近的“測(cè)量”一詞，在此先對(duì)兩者做一辨析。

張奠宙先生說過，“數(shù)學(xué)測(cè)量的本質(zhì)是給每一個(gè)測(cè)量對(duì)象以合適的數(shù)”，廣義上的測(cè)量很多，可以是用一定數(shù)值方式來度量；可以是用等級(jí)程度來表示；還可以是用一定方法測(cè)量概率的值，這些都可以看作測(cè)量。而小學(xué)數(shù)學(xué)中的測(cè)量是一種狹義的理解，指借助于我們熟悉的常見工具（直尺、量角器等），測(cè)量的量多限于長度、角度、面積、體積等，測(cè)量對(duì)象都是物體的可測(cè)屬性的量。

數(shù)學(xué)中的度量是指用一個(gè)帶單位的數(shù)值來描述可測(cè)量物體或現(xiàn)象的某一屬性，從而形成某個(gè)具有特殊含義的“量”，如長度、面積、容積、體積、角度、重量（質(zhì)量）、方位、溫度、時(shí)間、貨幣等。隨著數(shù)學(xué)方法在日常生活中的廣泛應(yīng)用，越來越多的物體和現(xiàn)象都有了可度量的屬性。除此之外，因?yàn)槎攘坑袛?shù)值及單位，所以它與數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的數(shù)、形以及數(shù)量關(guān)系都有廣泛的聯(lián)系。例如，兒童可以從一匹馬、二只雞、三把椅子這些帶單位的量認(rèn)識(shí)數(shù)，同時(shí)還可以借助單位溝通數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系。因此，度量相比測(cè)量更上位，包容性更廣。

二、度量教學(xué)中的整體思想

蘇霍姆林斯基曾說過，“只有當(dāng)一個(gè)人看見樹林是一個(gè)統(tǒng)一整體時(shí)，他才能對(duì)每一棵樹形成較完整的表象”，可見整體讓思考更全面，延展更豐富。度量的教學(xué)貫穿了整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，其過程適合整體教學(xué)，主要體現(xiàn)在以下幾方面。

（一）以“單位”為內(nèi)容上的共性

度量內(nèi)容可以因人而異，但度量單位的確立是為了便于對(duì)度量進(jìn)行統(tǒng)一化的表達(dá)和無歧義的交流，因此單位是不同度量內(nèi)容所共同擁有的數(shù)學(xué)本質(zhì)特征。例如，長度的度量是找到一個(gè)長度單位一個(gè)個(gè)量，拼合為所要量的線段，體現(xiàn)了給每一條線段找一個(gè)合適數(shù)的本質(zhì)。同樣的過程還可以在面積、體積、質(zhì)量、時(shí)間及數(shù)量的度量中看到，過程上都體現(xiàn)了以單位為個(gè)數(shù)的累加。同時(shí)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)“量的大小就是單位的個(gè)數(shù)”“單位不同，其個(gè)數(shù)也不同”這些度量的實(shí)質(zhì)。

有了度量對(duì)象，需要構(gòu)建、選擇度量單位，獲得度量值，這種以度量單位確定并獲得度量值的過程可視作量感的培養(yǎng)。量感的培養(yǎng)不僅體現(xiàn)在幾何量、常見量的獲得中，它還分散在數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算中。例如，小數(shù)的意義教學(xué)中，常常借助元、米等單位認(rèn)識(shí)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，但這是一種僅從數(shù)的角度單一認(rèn)識(shí)小數(shù)的方式，無法溝通數(shù)學(xué)知識(shí)的彼此聯(lián)系，整體建構(gòu)小數(shù)的意義。以等式為例，除了可以認(rèn)識(shí)到小數(shù)與分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化，還可以從度量單位的角度認(rèn)識(shí)到0.3 是用0.1 一個(gè)一個(gè)累加而來，3 個(gè)0.1 的累加就有了0.3。一個(gè)小的量去度量一個(gè)大的量，需要經(jīng)歷單位的累加過程，這樣一種認(rèn)數(shù)的過程與古人早期打孔計(jì)數(shù)類似。同時(shí)從這樣的角度理解數(shù)的運(yùn)算，加法、乘法可以體現(xiàn)為計(jì)數(shù)單位的累加，減法、除法可以體現(xiàn)為單位的細(xì)化。從單位的細(xì)化和累加的角度溝通數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算與度量之間的關(guān)系，更好地體現(xiàn)了“度量是課程的主線”這一理念。

（二）以“定性到定量”為思想上的共性

不同的度量內(nèi)容都經(jīng)歷了相同的數(shù)學(xué)活動(dòng)，體現(xiàn)了這樣一個(gè)思想：我們對(duì)可度量物體屬性的研究經(jīng)歷了從簡單粗略的定性描述（多少、長短等）過渡到嚴(yán)格精確的定量刻畫。

首先，最初經(jīng)歷粗略的測(cè)量活動(dòng)可以是課堂上個(gè)體的簡單直觀的比較，也可以是同伴之間直接或間接的比較，其中的度量過程是粗略的。由于比較工具不同、比較過程不同會(huì)產(chǎn)生不同程度的偏差，此時(shí)用數(shù)學(xué)方法處理度量問題的基礎(chǔ)凸顯為需要構(gòu)建或者選擇標(biāo)準(zhǔn)度量單位。其次，個(gè)體的單位不能滿足度量統(tǒng)一的需要，單位的統(tǒng)一、精確成為追求的目標(biāo)?！敖Y(jié)果為什么會(huì)不一樣？”“看來我們有必要統(tǒng)一度量工具”。學(xué)生手中使用的度量工具，經(jīng)歷從多元到統(tǒng)一的過程，并通過操作體驗(yàn)、反思交流認(rèn)識(shí)到度量的實(shí)質(zhì)。同時(shí)，從不同的度量需求來看，當(dāng)一種單位無法滿足精確性要求時(shí)，為了更準(zhǔn)確地進(jìn)行測(cè)量，就需要進(jìn)一步細(xì)分單位，度量單位越精細(xì)越能真實(shí)地表達(dá)客觀實(shí)際，例如人們構(gòu)造的復(fù)合距離單位“光秒”。

三、整體建構(gòu)下的度量教學(xué)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》在實(shí)施建議中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)整體化教學(xué)提出了相應(yīng)建議，“注重知識(shí)的生長點(diǎn)和延伸點(diǎn)”，把知識(shí)“置于整體知識(shí)體系中”“引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性”。從度量內(nèi)容的分析可知，度量教學(xué)應(yīng)遵循重視學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，整體考慮、長程設(shè)計(jì)度量的基本概念。單位是度量的本質(zhì)，因此需要以單位為主線，建立度量相關(guān)內(nèi)容的橫縱聯(lián)系。同時(shí)在教學(xué)中需要滲透數(shù)學(xué)思想，以深刻達(dá)成簡約。

（一）重視已有經(jīng)驗(yàn)，整體考慮，長程設(shè)計(jì)

兒童對(duì)度量的感知，以及后期能對(duì)度量單位產(chǎn)生廣泛的共識(shí)，建立在人的兩個(gè)先天本能上，即對(duì)數(shù)量的多少和對(duì)距離遠(yuǎn)近的感知。兒童對(duì)于常見的長度、面積、體積等概念是有經(jīng)驗(yàn)可循的，但由于年齡和認(rèn)知水平的限制，這些內(nèi)容被分散、割裂在不同年級(jí)教材中。教師需要整體把握教材，關(guān)注教材單元內(nèi)容的前后聯(lián)系。同時(shí)，度量對(duì)象及單位的建構(gòu)是一種整體性的建構(gòu)活動(dòng)，要基于兒童的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，關(guān)聯(lián)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)。教學(xué)時(shí)對(duì)一些知識(shí)點(diǎn)提前滲透，或找到知識(shí)的原初關(guān)聯(lián)，對(duì)內(nèi)容從知識(shí)的大單元進(jìn)行長程設(shè)計(jì)，有助于促進(jìn)度量學(xué)習(xí)的進(jìn)階和度量意識(shí)水平的提升。

例如某教材在一年級(jí)的“比較”中，設(shè)計(jì)了比較長短的內(nèi)容（如圖1），實(shí)際上已經(jīng)滲透了長度的概念。學(xué)生面對(duì)這樣的問題可以憑借經(jīng)驗(yàn)直覺判斷，也可以從格子數(shù)量上進(jìn)行比較，這其實(shí)就是讓學(xué)生提前感受長度的概念。這里的問題也可以看作選取正方形格子的邊長為單位度量長度，為后期建立長度單位提供相關(guān)經(jīng)驗(yàn)。

圖1

又如，杭州市學(xué)軍小學(xué)的教師團(tuán)隊(duì)進(jìn)行關(guān)于長度單位學(xué)習(xí)項(xiàng)目的整合學(xué)習(xí)，課堂上布置了自行設(shè)計(jì)尺子的活動(dòng)，要求學(xué)生用樂高積木、黃豆、回形針等材料做一把能夠測(cè)量作業(yè)本寬度的尺子。學(xué)生在創(chuàng)作的過程中經(jīng)歷對(duì)單位的感知，在群體的討論中改良，在與實(shí)際的尺子比較的過程中經(jīng)歷從不同中抽象概括相同的特征等，從而讓學(xué)生對(duì)長度單位的學(xué)習(xí)（單位的形成、單位的累加、單位的細(xì)分）自然而然獲得，實(shí)現(xiàn)對(duì)度量知識(shí)學(xué)習(xí)的完整體驗(yàn)。

（二）以單位為主線，建立內(nèi)容的橫縱聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立的“點(diǎn)”，而是圍繞基本命題及統(tǒng)一的概念體系被組織、被建構(gòu)的，是相互聯(lián)系的“整體”。數(shù)學(xué)知識(shí)之間具有較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，教學(xué)設(shè)計(jì)要遵循知識(shí)之間內(nèi)在的結(jié)構(gòu)關(guān)系進(jìn)行整體設(shè)計(jì)。橫向的知識(shí)聯(lián)系是指結(jié)構(gòu)類似的不同單元內(nèi)容之間的聯(lián)結(jié)關(guān)系，由多個(gè)結(jié)構(gòu)類似的知識(shí)塊構(gòu)成。如從長度單位到面積單位再到體積單位，都具有相同的邏輯結(jié)構(gòu)和知識(shí)體系。這樣一類度量知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)，需要注意其中蘊(yùn)含的相同思維方式，它們都以對(duì)單位的認(rèn)識(shí)作為主線。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行整體設(shè)計(jì)可以打破“點(diǎn)狀”教學(xué)模式，把具有同類特征的內(nèi)容整合成“塊狀”知識(shí)，凸顯背后共通的思維方式。

例如，把長度單位和面積單位的學(xué)習(xí)整體設(shè)計(jì)，可以在上好起始課，學(xué)生對(duì)原初的“比較物”內(nèi)涵臻于豐富時(shí)，仿效長度單位的獲得推及面積單位，使后續(xù)生長課更簡約。教學(xué)中學(xué)生可以在自學(xué)感知何謂面積，體驗(yàn)通過“目測(cè)”即可比較面積大小之后，進(jìn)一步深化對(duì)面積的認(rèn)識(shí)，通過活動(dòng)操作增強(qiáng)對(duì)單位的體驗(yàn)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)“面積的大小就是單位的個(gè)數(shù)”“單位不同，其個(gè)數(shù)也不同”這些度量的本質(zhì)。

縱向的知識(shí)聯(lián)系是指不同知識(shí)在其發(fā)生或發(fā)展過程中有相似或者有內(nèi)在結(jié)構(gòu)相同的聯(lián)系，可以形成雙向鏈狀結(jié)構(gòu)。對(duì)教材內(nèi)容而言，可以圍繞大觀念、核心知識(shí)等對(duì)不同年級(jí)的單元知識(shí)進(jìn)行統(tǒng)整，將不同領(lǐng)域的知識(shí)聯(lián)系起來整體設(shè)計(jì)，這樣有助于學(xué)生從上、下位聯(lián)系（縱向聯(lián)系）中，逐漸感悟知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系。例如在《小數(shù)除法》一課中，吳正憲老師以97 元買4 本《格林童話》提出小數(shù)除法的問題情境，學(xué)生在問題解決過程中被97÷4 所余下的1卡?。河嘞碌?元到底該怎么分，每人到底要付多少錢呢？學(xué)生利用原有的元角分的生活經(jīng)驗(yàn)，以及平均分的除法知識(shí)累積，很自然地把1÷4轉(zhuǎn)換為1元怎么分，他們想把1元分成10角，還想用豎式表達(dá)。在嘗試豎式表達(dá)的過程中，可以看到學(xué)生借助元、角、分理解算理，通過轉(zhuǎn)化的辦法把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法的經(jīng)歷。原先的除法算式被賦予了問題情境，抽象的除法問題有了實(shí)際模擬單位的情境后，數(shù)運(yùn)算中的算理與單位之間的溝通，幫助學(xué)生更好地理解了小數(shù)除法。其實(shí)質(zhì)也就是把“1”細(xì)分成“10 個(gè) 0.1”“2 個(gè) 0.2”細(xì)化成“20 個(gè) 0.02”等。

正如前文提及的，“單位”是內(nèi)容上的共性，小數(shù)除法的學(xué)習(xí)從單位的角度看，理解算理的形成過程就是不斷細(xì)化單位的過程。站在更高的單位角度看“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”可以發(fā)現(xiàn)，溝通度量與數(shù)的認(rèn)識(shí)的是單位，而聯(lián)通小數(shù)除法算理的依然是單位，借助于單位的細(xì)分，可以更好地理解小數(shù)除法是整數(shù)除法的自然延續(xù)，小數(shù)點(diǎn)是基于等式性質(zhì)的特殊標(biāo)記，是運(yùn)算的結(jié)果。

（三）滲透數(shù)學(xué)思想，以整合達(dá)成簡約

數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想，可加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，看到數(shù)學(xué)思維整合的力量。度量的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)歷從簡單粗略的定性描述到嚴(yán)格精確的定量刻畫，是一種數(shù)學(xué)化的過程，在這一過程中要注意將學(xué)生已有的零散、粗略的知識(shí)梳理形成精確、系統(tǒng)的知識(shí)。

關(guān)注縱橫聯(lián)系的整體教學(xué)，不是同一水平上簡單的重復(fù)，而是要努力做到用思想上的整合替代內(nèi)容上的簡單重復(fù)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)抽象思想的力量，讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)推理達(dá)到思維創(chuàng)造。

以許衛(wèi)兵老師的《千米的認(rèn)識(shí)》一課為例：千米是繼分米、米之后學(xué)習(xí)的第五個(gè)長度單位，許老師在課堂上沒有簡單重復(fù)前面的學(xué)習(xí)過程，而是讓學(xué)生在自主整理已經(jīng)學(xué)過的四個(gè)長度單位的基礎(chǔ)上，嘗試創(chuàng)造第五個(gè)長度單位。許老師提問：“你覺得這個(gè)長度單位會(huì)在什么位置，它和我們已經(jīng)學(xué)過的長度單位之間是什么關(guān)系？”以簡約而深刻的設(shè)計(jì)引領(lǐng)學(xué)生帶著問題展開探究學(xué)習(xí)。學(xué)生通過大膽猜測(cè)，呈現(xiàn)了多種發(fā)明結(jié)果。有比毫米小的，有比米大的，許老師將大家“發(fā)明”的長度單位進(jìn)行排隊(duì)，使之結(jié)構(gòu)化、整體化（如圖2）。通過圖表的展示，學(xué)生體會(huì)到單位有強(qiáng)大的規(guī)律和魅力，加深了對(duì)數(shù)學(xué)整體性和結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)，從思想方法上感受到數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。教學(xué)中學(xué)生在之前長度單位學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上經(jīng)歷了推理、創(chuàng)造，以理解的深刻達(dá)成數(shù)學(xué)符號(hào)化語言的簡約。

圖2

度量是一種意識(shí)，度量是一種思想，教學(xué)中要關(guān)注整體，長程設(shè)計(jì)，以統(tǒng)整的觀念進(jìn)行單元內(nèi)容上的整合，同時(shí)關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟，這樣的教學(xué)才能讓學(xué)習(xí)真發(fā)生，讓學(xué)生有真實(shí)的收獲。