風(fēng)險(xiǎn)視角下的動(dòng)車組部件預(yù)防性維修博弈優(yōu)化

熊律， 王紅， 蔣祖華

(1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070； 2.廣東交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 軌道交通學(xué)院，廣東 廣州 510650; 3.上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240)

由于受到各自績(jī)效的影響，企業(yè)中各部門存在潛在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。例如，大型制造企業(yè)中的生產(chǎn)方和維修方，生產(chǎn)方希望盡量減少設(shè)備的停機(jī)時(shí)間以滿足生產(chǎn)需求，維修方為了保證生產(chǎn)設(shè)備安全可靠地運(yùn)行會(huì)制定出一份詳盡的維修計(jì)劃，顯然，二者之間存在某種利益競(jìng)爭(zhēng)。近年來，采用博弈理論來解決生產(chǎn)實(shí)際中的經(jīng)濟(jì)學(xué)問題成為學(xué)者們研究的一個(gè)熱點(diǎn)[1-5]。博弈理論在企業(yè)經(jīng)營決策[6]、電力定價(jià)[7]和農(nóng)地增值分配[8]等領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用。丁珮雯[9]將博弈理論應(yīng)用到預(yù)防性維修(PM)和生產(chǎn)調(diào)度的聯(lián)合優(yōu)化研究之中，解決了生產(chǎn)方和維修方在利益相互干涉的情況下，使得雙方的收益達(dá)到最優(yōu)；Hu等[10]以生產(chǎn)計(jì)劃部門和維修部門作為博弈參與者，采用Stackelberg博弈模型來協(xié)調(diào)生產(chǎn)計(jì)劃和PM計(jì)劃之間的內(nèi)在干涉問題；段華薇等[11]為得出傳統(tǒng)快遞與高鐵快遞合作的最優(yōu)定價(jià)策略，分析主導(dǎo)權(quán)及市場(chǎng)需求波動(dòng)對(duì)其影響，根據(jù)雙方構(gòu)成供應(yīng)鏈的特點(diǎn)，基于2種隨機(jī)市場(chǎng)需求函數(shù)分別構(gòu)建了高鐵快遞和傳統(tǒng)快遞主導(dǎo)下的Stackelberg博弈模型；王紅等[12]認(rèn)為在地鐵車輛的維修決策過程中，各部門之間存在隱形的利益競(jìng)爭(zhēng)，為了探討這種隱形競(jìng)爭(zhēng)對(duì)車輛設(shè)備PM計(jì)劃的影響，論文基于動(dòng)態(tài)博弈理論，以地鐵車輛運(yùn)營方和維修方為參與者，分別建立了運(yùn)營優(yōu)先和維修優(yōu)先的Stackelberg博弈模型；詹文杰等[13]通過建立“雙種群”復(fù)制動(dòng)態(tài)模型，研究了有限理性假設(shè)下“多對(duì)多”討價(jià)還價(jià)策略演化問題，證明了只有嚴(yán)格納什均衡才能成為“多對(duì)多”討價(jià)還價(jià)的演化穩(wěn)定策略。以上文獻(xiàn)在爭(zhēng)取博弈雙方經(jīng)濟(jì)效益最優(yōu)化方面做出了貢獻(xiàn)，然而，有時(shí)候在追求經(jīng)濟(jì)效益最優(yōu)化的同時(shí)，把風(fēng)險(xiǎn)控制在合理的、可以接受的范圍內(nèi)也是學(xué)者們追求的關(guān)鍵目標(biāo)。例如，動(dòng)車組檢修行業(yè)，隨著鐵路行業(yè)市場(chǎng)化進(jìn)程的加快，如何在滿足動(dòng)車組安全可靠運(yùn)行(低運(yùn)行風(fēng)險(xiǎn))的大前提下，盡量降低動(dòng)車組的檢修費(fèi)用是一個(gè)值得深入探討的問題。作為保障動(dòng)車組安全有序運(yùn)營的2個(gè)重要部門，動(dòng)車組的運(yùn)營方和維修方具有天然的博弈協(xié)作關(guān)系。作為運(yùn)營方，它期望動(dòng)車組可以以最低的風(fēng)險(xiǎn)水平，把乘客安全舒適地送達(dá)目的地。而作為維修方，則期望在保證動(dòng)車組具有一定的可靠性的前提下，可以盡量地降低維修成本。然而，由文獻(xiàn)[14]可知，部件的PM可靠度閾值越高，則部件在一個(gè)壽命周期內(nèi)的PM成本越高，部件的故障次數(shù)越少，從而運(yùn)行風(fēng)險(xiǎn)越低；反之，部件的PM可靠度閾值越低，其PM成本越低，則一個(gè)壽命周期內(nèi)對(duì)其實(shí)施的PM次數(shù)越少，部件的故障次數(shù)越多，從而導(dǎo)致運(yùn)行風(fēng)險(xiǎn)增加。如何平衡動(dòng)車組部件維修成本和故障風(fēng)險(xiǎn)的分配，實(shí)現(xiàn)雙方利益的均衡是本文研究的重點(diǎn)。

本文首先對(duì)動(dòng)車組部件現(xiàn)行的PM機(jī)制作了基本的問題描述和假設(shè)。其次，基于我國動(dòng)車組維修方現(xiàn)行的分級(jí)檢修機(jī)制，對(duì)兩級(jí)非完美維修策略的故障率演化規(guī)則進(jìn)行了詳細(xì)闡述，并對(duì)影響動(dòng)車組部件故障風(fēng)險(xiǎn)的因素進(jìn)行評(píng)分和權(quán)重，建立動(dòng)車組部件故障風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)函數(shù)。然后，以動(dòng)車組運(yùn)營方和維修方作為博弈參與者，建立了基于故障風(fēng)險(xiǎn)的動(dòng)車組部件3階段討價(jià)還價(jià)PM博弈模型。最后對(duì)運(yùn)營方優(yōu)先出價(jià)和維修方優(yōu)先出價(jià)的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析并得出結(jié)論。

1 問題描述與假設(shè)

本文以CRH3系列動(dòng)車組在四級(jí)修程時(shí)進(jìn)行更換的部件為研究對(duì)象。由CRH3系列動(dòng)車組的檢修制度可知，每20 000 km就會(huì)對(duì)整車進(jìn)行檢修，因此選擇偶數(shù)里程對(duì)部件進(jìn)行維修就可以確保部件的維修時(shí)機(jī)是選擇在動(dòng)車組整車的檢修時(shí)機(jī)時(shí)執(zhí)行的，即部件的維修時(shí)機(jī)為li=2n，其中,i=1,2,…，N-1，n=1,2,…,N-1，從li-1到li為部件的第i個(gè)PM周期。此外，CRH3系列動(dòng)車組四級(jí)修時(shí)，某些部件需要進(jìn)行更換，更換屬于完美維修[15-16]。部件在里程區(qū)間(l0,lmax)內(nèi)共進(jìn)行了N-1次PM，在第N次PM時(shí)刻，即動(dòng)車組運(yùn)行到lmax時(shí)對(duì)部件進(jìn)行更換。

對(duì)論文作如下假設(shè)：

1) 部件從全新狀態(tài)開始工作；

2) 當(dāng)部件發(fā)生非預(yù)期故障時(shí)采用故障維修方式，故障維修不改變部件的故障率；

3) 初級(jí)維修和高級(jí)維修均屬于非完美維修方式，即可在一定程度改善部件的故障率，但不能使部件修復(fù)如新。

2 模型的建立

2.1 故障率演化規(guī)則

Lin等[17]綜合役齡遞減模型[18]和故障率遞增模型[19]的優(yōu)勢(shì)，提出了一種混合PM模型，其故障率表達(dá)式為：

λi+1(l)=biλi(l+aiLi) 0

(1)

式中：λi為部件第i個(gè)PM周期的故障率函數(shù)；Li為部件第i-1次與第i次PM的里程間隔，且有Li=li-li-1；ai為役齡遞減因子；bi為故障率遞增因子。部件的維修方式采用兩級(jí)非完美PM策略，其故障率演化規(guī)則如圖1所示。

以υi表示部件的PM方式：

(2)

則ai和bi可分別表示為：

(3)

(4)

圖1 兩級(jí)非完美故障率演化規(guī)則Fig.1 Failure rate evolution rule of bi-level imperfect PM

2.2 維修方式選擇

(5)

(6)

(7)

式中：cj為初級(jí)維修成本；as為高級(jí)維修成本。

式(2)可表示為：

(8)

2.3 故障風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)函數(shù)建模

本文以動(dòng)車組運(yùn)行安全性、動(dòng)車組晚點(diǎn)以及維修的難易程度[20-21]作為影響動(dòng)車組部件故障風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)價(jià)因素。

故障風(fēng)險(xiǎn)因子ψ可表示為：

(9)

式中：sk表示對(duì)影響因素的評(píng)分；σk表示影響因素的權(quán)重；n表示影響因素的個(gè)數(shù)。

參照文獻(xiàn)[22]對(duì)設(shè)備重要度的評(píng)價(jià)方法，對(duì)動(dòng)車組部件的故障風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行量化分析。

首先，對(duì)各影響因素進(jìn)行評(píng)分，其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如表1所示。

其次，需要確定各影響因素的權(quán)重。對(duì)于各決定因素權(quán)重的確定，可參照文獻(xiàn)[23-25]采用層次分析法求得。

表1 各影響因素的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)Table 1 Scoring criteria for each influence factors

最后，部件的故障風(fēng)險(xiǎn)表達(dá)式可表示為：

(10)

式中cd表示單位故障風(fēng)險(xiǎn)成本。

2.4 維修成本建模

根據(jù)本文的維修策略，當(dāng)部件到達(dá)PM時(shí)機(jī)時(shí)，對(duì)部件執(zhí)行PM維修；若部件發(fā)生非預(yù)期故障則對(duì)部件執(zhí)行故障維修；當(dāng)部件運(yùn)行到達(dá)lmax時(shí)，對(duì)部件執(zhí)行更換操作。部件在一個(gè)更換周期內(nèi)的維修成本主要由：PM成本、故障維修成本和更換成本3部分組成。

1) PM成本。

(11)

(12)

(13)

2) 故障維修成本。

故障維修旨在恢復(fù)部件的功能，使其保持運(yùn)行狀態(tài)。當(dāng)動(dòng)車組部件出現(xiàn)非預(yù)期故障時(shí)，對(duì)其執(zhí)行故障維修。故障維修成本Cr表達(dá)式為：

(14)

式中：cr為故障維修成本；ti為故障維修時(shí)間。

3) 故障維修懲罰成本。

當(dāng)部件在工作過程中出現(xiàn)非預(yù)期故障時(shí)，故障修復(fù)時(shí)間越短越好。以tj表示故障修復(fù)時(shí)間的最大允許值，如果在tj時(shí)間段內(nèi)故障無法消除，就要產(chǎn)生故障維修懲罰。用cb表示小修時(shí)間超過tj后單位時(shí)間的懲罰成本，則部件故障懲罰成本為：

(15)

4) 更換成本。

當(dāng)動(dòng)車組部件到達(dá)四級(jí)維修時(shí)機(jī)時(shí)，對(duì)其執(zhí)行更換操作。更換成本包括更換操作成本cu和浪費(fèi)成本ca。

Cg=cu+ca+τtu

(16)

式中λu為更換操作時(shí)間。

綜上可知，維修成本可表示為：

Cx=Cp+Cr+Cd+Cg

(17)

維修成本率可表示為：

(18)

2.5 總成本建模

部件在一個(gè)更換周期內(nèi)的總成本包括2部分，維修成本和風(fēng)險(xiǎn)成本，其表達(dá)式為：

C=Cx+r

(19)

通過優(yōu)化部件在一個(gè)更換周期內(nèi)的總成本可以得到部件最終的PM計(jì)劃。

2.6 可用度建模

將動(dòng)車組預(yù)防性維修和故障維修的時(shí)間以300 km/h換算成里程數(shù)，從而可將動(dòng)車組部件一個(gè)壽命周期內(nèi)的可用度表示為：

(20)

3 三階段討價(jià)還價(jià)博弈模型

討價(jià)還價(jià)是有共同利益的參與人面臨沖突時(shí)試圖達(dá)成一致的一種博弈過程，它是一種典型的談判活動(dòng)：談判過程中當(dāng)對(duì)方的報(bào)價(jià)連同主要的合同條款向己方提出后，己方對(duì)其全部?jī)?nèi)容進(jìn)行分析，通過對(duì)方的報(bào)價(jià)來判斷對(duì)方的意圖，并給予再報(bào)價(jià)等反應(yīng)，使交易朝著即對(duì)己方有利又滿足對(duì)方某些要求的方向發(fā)展，以有利于最終實(shí)現(xiàn)談判中的利益交換。

3.1 模型的建立

對(duì)于討價(jià)還價(jià)博弈模型，由于需要消耗一定的談判費(fèi)用和談判時(shí)間，每當(dāng)談判進(jìn)行到下一個(gè)回合，雙方的成本函數(shù)都要在原基礎(chǔ)上額外增加一個(gè)損失系數(shù)δ(0<δ<1)[3]。

為了表征維修成本和風(fēng)險(xiǎn)成本在總成本中所占的比例不同對(duì)動(dòng)車組部件PM計(jì)劃的影響，引入維修成本權(quán)重w1和風(fēng)險(xiǎn)成本權(quán)重w2。加權(quán)總成本表達(dá)式為：

V=w1Cx+w2r

(21)

模型1：運(yùn)營方優(yōu)先出價(jià)，博弈過程如圖2。

圖2 模型1博弈過程Fig.2 Game process of the first model

雙方博弈過程如下：

1)運(yùn)營方以min(r)為決策目標(biāo)，優(yōu)化得到R1； 2)維修方選擇接受或者拒絕。若維修方接受，則博弈結(jié)束，此時(shí)，維修成本為Cx(R1)，風(fēng)險(xiǎn)成本為r(R1)，總成本為C(R1)；若維修方拒絕，則由維修方優(yōu)化得到R2；

3)運(yùn)營方選擇接受或者拒絕。若運(yùn)營方接受，則博弈結(jié)束，此時(shí)維修成本為(1+δ)Cx(R2)，風(fēng)險(xiǎn)成本為(1+δ)r(R2)，總成本為C(R2)；若運(yùn)營方拒絕，則由運(yùn)營方優(yōu)化得到R*，此時(shí)，維修方必須接受，博弈結(jié)束。則維修成本為(1+δ)2Cx(R*)，風(fēng)險(xiǎn)成本為(1+δ)2r(R*)，總成本為C(R*)。

模型2：維修方優(yōu)先出價(jià)，博弈過程如圖3。

圖3 模型2博弈過程Fig.3 Game process of the second model

雙方博弈過程如下：

3.2 模型的求解

1) 模型1的求解方法。

Round 1：運(yùn)營方通過優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)min(r)，得到對(duì)其較有利的R1值。維修方可以選擇接受或者拒絕，若接受，則博弈結(jié)束；反之，維修方提出R2。

Round 2：博弈進(jìn)入到第2回合R2需滿足條件：

(1+δ)Cx(R2)

(22)

Round 3：博弈進(jìn)入到第3回合R*需滿足條件：

(1+δ)2r(R*)<(1+δ)r(R2)

且(1+δ)2C(R*)<(1+δ)C(R2)

(23)

2) 模型2的求解方法。

(24)

Round 3：博弈進(jìn)入到第3回合R*′需滿足條件：

(25)

3.3 算法流程圖

風(fēng)險(xiǎn)視角下的動(dòng)車組部件PM博弈算法流程如圖4所示。首先輸入系統(tǒng)參數(shù)，并以維修成本和故障風(fēng)險(xiǎn)為優(yōu)化目標(biāo)建立博弈函數(shù)V。然后，以運(yùn)營方優(yōu)先出價(jià)和維修方優(yōu)先出價(jià)分別建立3階段討價(jià)還價(jià)博弈模型。3階段討價(jià)還價(jià)博弈的特點(diǎn)是只要任何一方接受另一方的方案，博弈就結(jié)束，并且博弈過程只能進(jìn)行3個(gè)回合。最后，根據(jù)2種博弈模型的優(yōu)化結(jié)果得出PM可靠度閾值R作為最優(yōu)解，并輸出其對(duì)應(yīng)的PM計(jì)劃。

圖4 算法流程Fig.4 The algorithm flow chart

4 實(shí)例分析

動(dòng)車組部件的故障率函數(shù)服從威布爾分布，其表達(dá)式為λ1(l)=(m/η)(l/η)m-1。威布爾分布的參數(shù)m和η，可通過收集整理部件的壽命數(shù)據(jù)，進(jìn)而通過壽命數(shù)據(jù)分析求得。取部件的形狀參數(shù)m=3，尺度參數(shù)η=100。

其他維修參數(shù)如表2所示。

表2 維修參數(shù)Table 2 Maintenance parameters

表3是在w1和w2分別取不同值的情況下，部件的PM優(yōu)化結(jié)果。圖5是不同權(quán)重分配下的部件的維修成本率和可用度結(jié)果對(duì)比。

表3不同權(quán)重分配下的PM優(yōu)化結(jié)果

Table3PMoptimizationresultswithdifferentweightcoefficients

w1w2RCx/元r/元C/元A/%故障維修次數(shù)/次1.00.00.636 57711 65418 23199.072.730.90.10.636 57711 65418 23199.072.730.80.20.776 8919 36416 25598.922.200.70.30.837 4647 95115 41598.751.860.60.40.837 4647 95115 41598.751.860.50.50.878 2057 10915 31498.551.670.40.60.888 4806 88915 36998.461.620.30.70.909 0246 53215 55698.351.530.20.80.9210 2596 20816 46798.031.460.10.90.9411 7965 86017 65697.691.370.01.00.9617 0205 63622 65696.481.32

圖5 不同權(quán)重分配下的維修成本率和可用度Fig.5 Maintenance cost rate and availability with different weight coefficients

由表3中優(yōu)化結(jié)果可知：

R值的優(yōu)化結(jié)果隨著w1的變大而減小，隨著w2的變大而增大；Cx隨著w1的變小而增大，隨著w2的變小而減小；r隨著w1的變小而減小，隨著w2的變小而增大；可用度A和故障維修次數(shù)隨著w1的變小而減小，隨著w2的變小而增大。

當(dāng)w1=0.0,w2=1.0時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)成本r最低，但是維修成本Cx卻很高，所以總成本C并非最低；當(dāng)w1=1.0,w2=0.0時(shí)，維修成本Cx最低，但是風(fēng)險(xiǎn)成本r卻很高，故總成本C依然較高；當(dāng)w1=0.5，w2=0.5時(shí)，維修成本Cx和風(fēng)險(xiǎn)成本r雖然都不是最低，但總成本C最低。

由圖5可知，部件的維修成本率隨著w1的增大而減小，隨著w2的增大而增大；部件的可用度隨著w1的變大而上升，隨著w2的變大而降低。

圖6和圖7分別給出了運(yùn)營方優(yōu)先出價(jià)和維修方優(yōu)先出價(jià)情況下的總成本C隨R值增加的變化曲線。

圖6 運(yùn)營方優(yōu)先出價(jià)情況下的lgC-R曲線Fig.6 lgC-R curve of operation sector priority bid

圖7 維修方優(yōu)先出價(jià)情況下的lgC-R曲線Fig.7 lgC-R curve of maintenance sector priority bid

由圖6和圖7可以看出，部件在一個(gè)PM周期內(nèi)的總成本C隨R值的增加呈現(xiàn)先減小后增加的趨勢(shì)，在某一R值處總成本C達(dá)到最低，這個(gè)最低點(diǎn)即為我們所求的最優(yōu)點(diǎn)。

表4是2種博弈模型的優(yōu)化結(jié)果，表5是2種博弈模型下部件的PM計(jì)劃。

由表4和表5可知：

在3階段討價(jià)還價(jià)博弈規(guī)則下，運(yùn)營方優(yōu)先出價(jià)(模型1)的R值優(yōu)化結(jié)果高于維修方優(yōu)先出價(jià)(模型2)，并且其故障維修次數(shù)相比于模型二降低了21.5%，這說明運(yùn)營方對(duì)部件的可靠度有著更高的要求。

圖8 2種博弈模型的可靠度演化對(duì)比Fig.8 Reliability evolution comparison between the two models

模型1風(fēng)險(xiǎn)成本的優(yōu)化結(jié)果要低于模型2，模型2維修成本的優(yōu)化結(jié)果要低于模型1。這是由于運(yùn)營方期望動(dòng)車組的運(yùn)營風(fēng)險(xiǎn)較低，而維修方期望動(dòng)車組的維修成本較低，2種博弈模型的優(yōu)化結(jié)果基本符合二者的期望。這也說明優(yōu)先出價(jià)方具有優(yōu)勢(shì)，即博弈的結(jié)果更有利于優(yōu)先出價(jià)方。

模型1相比于模型2多執(zhí)行了4次初級(jí)維修和3次高級(jí)維修，這意味著模型1需要更多次的停機(jī)來執(zhí)行PM計(jì)劃，故模型1的可用度低于模型2。同時(shí)，模型1會(huì)導(dǎo)致更高的維修成本率，并且其總成本也高于模型2。

表4 2種博弈模型的優(yōu)化結(jié)果Table 4 Optimization results of the two game models

表5 2種博弈模型下的PM計(jì)劃(0-初級(jí)維修, 1-高級(jí)維修)Table 5 PM shedules under the two game models(0-junior maintenance, 1-senior maintenance)

無論是模型1還是模型2，部件在前半個(gè)更換周期(0～120×104km)的非完美PM措施采用的都是初級(jí)維修，而高級(jí)維修都是在部件更換周期的后半階段(120×104～240×104km)執(zhí)行的。

5 結(jié)論

1) 運(yùn)營方優(yōu)先出價(jià)的情況下，部件在一個(gè)壽命周期內(nèi)的可用度較低，維修成本率較高，但可使部件保持更高的可靠度水平，尤其在部件壽命周期的后半階段。并且其非預(yù)期故障發(fā)生概率相比于維修方優(yōu)先出價(jià)情況下降低了約21.5%。

2) 在兩級(jí)非完美PM策略下，部件在前半個(gè)更換周期內(nèi)采取初級(jí)維修即可滿足可靠度要求，而在部件更換周期的后半階段，有必要采取一定次數(shù)的高級(jí)維修措施以保證動(dòng)車組部件的可靠度水平保持在合理水平。

3) 在三階段討價(jià)還價(jià)博弈模型中，博弈的結(jié)果更有利于優(yōu)先出價(jià)的一方。故為了在博弈過程中占據(jù)主動(dòng)，博弈雙方應(yīng)盡量爭(zhēng)取優(yōu)先出價(jià)權(quán)。

4) 文中對(duì)動(dòng)車組部件的非完美維修策略采用的是兩級(jí)非完美PM策略，然而，在動(dòng)車組以及其他生產(chǎn)設(shè)備的維修實(shí)際中，針對(duì)部件的狀態(tài)和性能階段不同，往往有多種維修手段與之對(duì)應(yīng)。下一步研究可將對(duì)動(dòng)車組部件的非完美維修策略延展到多級(jí)非完美維修。