概率論教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

李松 李應(yīng)祥

【摘要】概率論是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，與其他數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)不同的是，概率論所研究的內(nèi)容不是確定性現(xiàn)象，而是隨機(jī)現(xiàn)象，因此對(duì)于學(xué)生而言具有一定的理解難度.現(xiàn)代教育強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的綜合能力，培養(yǎng)學(xué)生的綜合性思維，在高職數(shù)學(xué)概率論教學(xué)中同樣也需要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，啟發(fā)學(xué)生多元化的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力.基于此，本文對(duì)概率論教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的途徑進(jìn)行分析探討，希望能夠?yàn)橄嚓P(guān)教育工作者提供教學(xué)參考.

【關(guān)鍵詞】概率論;高職數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思維;培養(yǎng)

高職院校中的教學(xué)較為側(cè)重專業(yè)實(shí)踐，但作為一門必不可少的公共基礎(chǔ)課程，學(xué)生應(yīng)該認(rèn)識(shí)到概率論課程的重要性，其研究的雖然是隨機(jī)現(xiàn)象，但在隨機(jī)現(xiàn)象中蘊(yùn)含的是有關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)的本質(zhì)規(guī)律.學(xué)習(xí)概率論不僅可以鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，還能夠強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促使學(xué)生靈活運(yùn)用概率論的思維方式解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題以及實(shí)際問(wèn)題，為學(xué)生構(gòu)建完善的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.教師通過(guò)對(duì)概率論思維方式的培養(yǎng)和提升，還可以為高職院校學(xué)生的專業(yè)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，使學(xué)生獲得更加全面的發(fā)展.

一、概率論教學(xué)中數(shù)學(xué)思維的表現(xiàn)特征

概率論中對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的判斷和計(jì)算與我們的生活息息相關(guān).概率論蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維十分廣泛，如隨機(jī)性思維、化零為整思維、概率論思維、辯證思維、發(fā)散思維、整合思維等，而這些思維的特征主要表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面.第一，具有隨機(jī)性.概率論的內(nèi)容與其他知識(shí)點(diǎn)有一定的差異性，即概率論研究的是隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，而其他學(xué)科研究的是已經(jīng)確定的事物規(guī)律，這一本質(zhì)從根本上決定了概率論數(shù)學(xué)思維中的隨機(jī)性、偶然性.第二，具有問(wèn)題性.在概率論教學(xué)中問(wèn)題是持續(xù)出現(xiàn)的，當(dāng)概率問(wèn)題出現(xiàn)之后，其內(nèi)涵會(huì)指向問(wèn)題的分析和解答過(guò)程，最終得到的結(jié)果是思維問(wèn)題性的體現(xiàn).第三，具有概括性.概率論探討研究的雖然是隨機(jī)現(xiàn)象，但無(wú)論是哪一種數(shù)學(xué)思維，在概率論中的運(yùn)用都是為了找到事物內(nèi)部的根本規(guī)律和數(shù)量關(guān)系.在概率論的實(shí)踐教學(xué)中，若想培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，教師必須使學(xué)生清楚概率論中數(shù)學(xué)思維的主要特征，并在此基礎(chǔ)上使學(xué)生明確思維能力提升的主要方向.

二、概率論中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的方式

（一）充分調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)概率論的學(xué)習(xí)興趣

都說(shuō)興趣是學(xué)生最好的老師，無(wú)論在哪一學(xué)科的學(xué)習(xí)中，興趣都是學(xué)生積極學(xué)習(xí)的驅(qū)動(dòng)力.因此，在高職院校概率論教學(xué)中要想培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，教師就應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)概率論學(xué)習(xí)的積極性，只有學(xué)生以端正的學(xué)習(xí)態(tài)度對(duì)待概率論的學(xué)習(xí)，才能夠真正落實(shí)數(shù)學(xué)思維的有效培養(yǎng).首先，數(shù)學(xué)教師應(yīng)做好課程的導(dǎo)入教學(xué).作為概率論課程的初始，利用趣味性的故事或例子可以吸引學(xué)生對(duì)新知識(shí)的注意力，并且高職院校中一部分學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好，針對(duì)概率論的學(xué)習(xí)會(huì)表現(xiàn)出一些畏懼感，這時(shí)引用相關(guān)的案例能夠降低學(xué)生對(duì)概率學(xué)習(xí)的畏難情緒，促使學(xué)生接受并主動(dòng)學(xué)習(xí)概率論知識(shí)，為數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ).其次，學(xué)生對(duì)概率論的學(xué)習(xí)興趣還取決于教師對(duì)課程的合理安排以及對(duì)教學(xué)方式的合理運(yùn)用.在教學(xué)中，教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的基礎(chǔ)對(duì)整體課程進(jìn)行規(guī)范性的整合，滿足學(xué)生的認(rèn)知要求，當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得充分的滿足感和成就感時(shí)，其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣自然而然就會(huì)得到提升.另外，教師對(duì)于教學(xué)方式的選擇應(yīng)具有創(chuàng)新性，能夠讓學(xué)生參與其中，使學(xué)生增強(qiáng)課堂活躍性，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)思維的活力和靈活性.

（二）利用對(duì)立事件培養(yǎng)發(fā)散思維

在概率論教學(xué)中，對(duì)立事件的概率計(jì)算是其中重要的組成部分.對(duì)立事件指的是某一事件的發(fā)生概率與其不能同時(shí)發(fā)生的逆事件的發(fā)生概率之間的數(shù)量關(guān)系，其概率計(jì)算公式為P（A）+P（A-）=1.在此基礎(chǔ)上可以對(duì)公式進(jìn)行進(jìn)一步的變形，即P（A）=1-P（A-），P（A-）=1-P（A）.對(duì)立事件概率計(jì)算公式的變形說(shuō)明，某一事件的發(fā)生概率與其逆事件發(fā)生概率總和為固定值，當(dāng)該事件的發(fā)生概率難以從已知條件中明確時(shí)，則可以對(duì)其逆事件的發(fā)生概率進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)二者的數(shù)量關(guān)系計(jì)算得出事件的發(fā)生概率.這一解題思維與數(shù)學(xué)思維中的發(fā)散思維以及逆向思維具有相似性，即在解題過(guò)程中遇到不能完全確定的數(shù)據(jù)或條件時(shí)，可以從其逆向角度思考，從而在不同思路的探索中精準(zhǔn)找到最恰當(dāng)?shù)慕忸}策略，更高效地解決問(wèn)題.因此，在對(duì)立事件概率計(jì)算教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)其背后深層含義的發(fā)掘，不僅要教給學(xué)生如何靈活運(yùn)用計(jì)算公式解決概率問(wèn)題，還要讓學(xué)生形成逆向思考的意識(shí)，從不同方面、不同角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究，善于采用活躍思維分析不同類型的題目，促使學(xué)生的發(fā)散思維能力得以提升.此外，概率論中提到的對(duì)立事件在現(xiàn)實(shí)生活中同樣具有較為廣泛的體現(xiàn).人們?cè)诮鉀Q此類問(wèn)題時(shí)同樣可以采用多角度思考的方式，探究不同的解決途徑，這樣既可以實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)散性啟發(fā)，又可以在分析過(guò)程中獲得更多的能力.利用對(duì)立事件可以有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)散思維，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.

（三）利用隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)培養(yǎng)隨機(jī)性思維

高職階段學(xué)習(xí)的概率論與高中時(shí)期學(xué)習(xí)的概率知識(shí)相比，其深度和廣度都有所提升，并且高等數(shù)學(xué)中的概率論教學(xué)與微積分、線性代數(shù)等知識(shí)有較強(qiáng)的聯(lián)系，對(duì)學(xué)生而言學(xué)習(xí)難度更高.因此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)讓學(xué)生清晰地明確概率論研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)，在教學(xué)過(guò)程中全程灌輸隨機(jī)性思維，并指導(dǎo)學(xué)生用隨機(jī)性思維分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.在以往的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中，問(wèn)題的答案都是固定且唯一的，在這種確定事件下，學(xué)生通常會(huì)形成固定思維，即認(rèn)為所有的問(wèn)題都有明確的答案，但實(shí)際上許多問(wèn)題都不是單一性的，而是充滿偶然性的，如果還以之前的數(shù)學(xué)觀念去看待這些問(wèn)題，就會(huì)出現(xiàn)理解偏差，對(duì)問(wèn)題的解決造成制約性影響.面對(duì)不確定的隨機(jī)現(xiàn)象，其影響因素也是不確定的，多種因素的共同作用使其概率性表現(xiàn)出不確定的差異性.在數(shù)學(xué)研究中對(duì)此類概率進(jìn)行推算通常需要進(jìn)行大量重復(fù)性的實(shí)驗(yàn).概率論教學(xué)中有一個(gè)非常經(jīng)典的實(shí)驗(yàn)案例就是“拋硬幣”，隨意拋硬幣后一般只有兩種結(jié)果，非正即反，除了這兩種情況之外沒有其他可能，但在拋起落地之前誰(shuí)都不能確切地說(shuō)出到底是哪一面向上.這時(shí)就出現(xiàn)了概率問(wèn)題，當(dāng)多次重復(fù)地對(duì)硬幣進(jìn)行拋擲并記錄其結(jié)果后，可以從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)其正面和反面的出現(xiàn)概率都接近50%.此結(jié)果說(shuō)明即使不確定現(xiàn)象的發(fā)生結(jié)果是無(wú)法提前預(yù)知的，但當(dāng)其經(jīng)過(guò)大量隨機(jī)實(shí)驗(yàn)后就會(huì)呈現(xiàn)出一定的必然性概率結(jié)果.無(wú)論是多么隨機(jī)的事件都可以通過(guò)相關(guān)的計(jì)算和實(shí)驗(yàn)來(lái)確定其內(nèi)部存在的必然性，因此在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)掌握隨機(jī)性的思維意識(shí)，對(duì)待各種數(shù)學(xué)問(wèn)題可以從隨機(jī)角度進(jìn)行思考，充分了解其表面的偶然規(guī)律，發(fā)掘其內(nèi)在的必然結(jié)果.

（四）利用全概率公式培養(yǎng)化整為零思維

在概率論的所有計(jì)算公式中，全概率公式是比較重要的計(jì)算公式之一，其具體指的是：設(shè)事件組A1，A2，…，An，…為樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組，且P（Ai）>0，i=1，2，…，n，…，則對(duì)任何事件B，有P（B）=∑+∞i=1P（Ai）P（BAi），這一公式的適用范圍是隨機(jī)試驗(yàn)的過(guò)程具有并列結(jié)構(gòu)特征，其本質(zhì)思想是把選取的樣本空間按照一定的劃分標(biāo)準(zhǔn)將復(fù)雜概率事件分為不同的互不相容的事件，若干劃分事件又組成一個(gè)完整的和事件，再根據(jù)概率的加法公式對(duì)整個(gè)復(fù)雜事件的概率進(jìn)行計(jì)算.由全概率公式的定理和基本思想可以明確，其是對(duì)整體和部分觀念的有機(jī)融合應(yīng)用，與化整為零的思維方式比較相似.因此，在概率論的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)有意識(shí)地教授學(xué)生化整為零思維，讓學(xué)生充分理解整體和部分的互相轉(zhuǎn)化關(guān)系，從整體出發(fā)對(duì)部分知識(shí)進(jìn)行整合，從部分出發(fā)對(duì)整體知識(shí)進(jìn)行細(xì)化，無(wú)論從宏觀還是從微觀都實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)內(nèi)容的完整把握.在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到綜合性的問(wèn)題，將各種知識(shí)點(diǎn)融合在一起，其理解難度以及解答難度都相對(duì)較高，對(duì)學(xué)生而言具有一定的學(xué)習(xí)難度，而通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生形成化整為零的思維，可以簡(jiǎn)化學(xué)生的問(wèn)題解決過(guò)程，促使學(xué)生將復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行分解細(xì)化，逐層或逐步解決部分問(wèn)題，最終完成對(duì)整個(gè)問(wèn)題的解答，有效拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

（五）利用概率論思維培養(yǎng)批判性思維

在概率論教學(xué)中，教師可以基于概率論思維培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，因?yàn)楦怕收撍季S具有問(wèn)題性、概括性等特征.在求解概率論問(wèn)題時(shí)，學(xué)生通常要進(jìn)行大量的試驗(yàn)和計(jì)算，對(duì)結(jié)果的判斷常常需要大量的辯證思考，這個(gè)過(guò)程使學(xué)生的思維得到訓(xùn)練，進(jìn)而促使其形成批判性思維.批判性思維指的是以疑問(wèn)、批判的態(tài)度面對(duì)各種問(wèn)題，脫離既定思想的限制，對(duì)得到的條件和結(jié)果不斷提出質(zhì)疑，并在此基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行批判性評(píng)價(jià)，最終得出相應(yīng)的結(jié)果.批判性思維需要學(xué)生具有獨(dú)立思考的個(gè)體意識(shí)，能夠從不同角度給予問(wèn)題不一樣的見解.在概率論教學(xué)中，教師以概率論思維為基礎(chǔ)進(jìn)行教學(xué)可以促使學(xué)生不斷對(duì)所獲得的隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果進(jìn)行批判性思考并對(duì)結(jié)果的真實(shí)性進(jìn)行質(zhì)疑，從而使學(xué)生在不斷地質(zhì)疑過(guò)程中實(shí)現(xiàn)思維的拓展，在思考的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展和創(chuàng)新.培養(yǎng)批判性思維不僅可以讓學(xué)生形成問(wèn)題意識(shí)，為學(xué)生重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，還能激發(fā)學(xué)生思考的積極性，啟發(fā)學(xué)生的多項(xiàng)思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題思考的深入性.

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，概率論是高職院校學(xué)生必須學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)課程，既是學(xué)生學(xué)習(xí)微積分、線性代數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)和拓展，也是學(xué)生解決實(shí)際生活中隨機(jī)問(wèn)題的關(guān)鍵.概率論涵蓋多種思維方式，教師對(duì)教學(xué)觀念和教學(xué)方式的合理應(yīng)用可調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).教師應(yīng)該根據(jù)概率論的教學(xué)特征以及學(xué)生的實(shí)際情況對(duì)概率論課程進(jìn)行合理整合，利用對(duì)立事件公式培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)散思維，利用隨機(jī)現(xiàn)象本質(zhì)培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)性思維，借助全概率公式培養(yǎng)學(xué)生的化整為零思維，此外，利用概率論思維也可以培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，使其積極探究概率論學(xué)科的內(nèi)涵，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

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