線性空間結(jié)構(gòu)的研究途徑

趙云平

【摘要】本文從多個(gè)角度介紹了線性空間結(jié)構(gòu)的研究途徑，其結(jié)果對(duì)我們把握整個(gè)線性空間的結(jié)構(gòu)是很有用的.

【關(guān)鍵詞】線性空間;結(jié)構(gòu);角度;途徑

高等代數(shù)一般包括兩個(gè)部分：線性代數(shù)初步及多項(xiàng)式代數(shù).而線性空間是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象，也是線性代數(shù)最基本的概念之一，它是向量空間概念的抽象和推廣，線性空間的知識(shí)在高等代數(shù)中處于核心地位.簡(jiǎn)單的說(shuō)，線性空間就是這樣一種集合，其中任意兩個(gè)元素的和構(gòu)成集合的另一個(gè)元素，任意元素與任意數(shù)相乘后得到集合的另一個(gè)元素.線性空間是為了解決實(shí)際問(wèn)題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個(gè)抽象，內(nèi)涵極其豐富.它是數(shù)域上的一個(gè)特殊的代數(shù)系統(tǒng)，有著許多特殊的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，這些結(jié)構(gòu)和性質(zhì)是一般代數(shù)系統(tǒng)沒(méi)有的，因此深入研究線性空間的結(jié)構(gòu)很有必要.

1 從基的角度

線性空間的基是線性空間的一個(gè)基本屬性，是我們認(rèn)識(shí)線性空間的一個(gè)重要信息.如何把線性空間的全體元素表示出來(lái)？線性空間的構(gòu)造如何？借用幾何的語(yǔ)言，把線性空間元素叫作向量，而向量有加法運(yùn)算和數(shù)量乘法運(yùn)算，由此引出了基的概念.

定義1 設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間，V中的向量組α1，α2，…，αr如果滿足下述兩個(gè)條件：

①α1，α2，…，αr線性無(wú)關(guān);

②V中的每一個(gè)向量都可由α1，α2，…，αr線性表出，則稱α1，α2，…，αr是V的一個(gè)基.

有了基的概念之后，利用基，只要求出線性空間的一個(gè)基，那么線性空間V中的每一個(gè)向量都可以由這個(gè)基線性表示出，而且表示方法是唯一的，因?yàn)閂中的每一個(gè)向量都清楚了，因此整個(gè)線性空間的結(jié)構(gòu)就把握了.

例如，向量組e1=100，e2=010，e3=001是K3的一個(gè)基，則K3中任何一個(gè)向量都可由它線性表出，若α=3-25，則α=3e1-2e2+5e3.n維線性空間V的基是不唯一的，V中任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都是V的一組基;任意兩組基向量是等價(jià)的，就是兩個(gè)向量組可以相互線性表出，即第一個(gè)向量組中的每個(gè)向量都能表示成第二個(gè)向量組的向量的線性組合，且第二個(gè)向量組中的每個(gè)向量都能表示成第一個(gè)向量組的向量的線性組合.

不僅如此，基的概念還解決了線性方程組有無(wú)解的判定及解集的結(jié)構(gòu)問(wèn)題.

2 從子空間的角度

在許多問(wèn)題中，我們所研究的線性空間往往由某個(gè)更大的線性空間的一個(gè)適當(dāng)大小的非空子集構(gòu)成，即所謂的子空間.線性子空間（或向量子空間）在線性代數(shù)和相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是很重要的.線性子空間是線性空間這一抽象概念生發(fā)出的重要知識(shí)點(diǎn).

子空間有兩種運(yùn)算，一個(gè)是子空間的交，一個(gè)是子空間的和，和里面的一種重要的特殊類型叫作直和.線性子空間的直和是線性子空間之間的一種特殊運(yùn)算，直和是一種要求更高的和，子空間的直和是子空間和的一種強(qiáng)調(diào)形式.當(dāng)我們對(duì)元素分解不唯一時(shí)，有些問(wèn)題不好處理，因此引出直和的概念.直和的意義在于每一個(gè)元素分解的唯一性.

上述定義、定理表明，如果線性空間V等于它的子空間V1，V2，…，Vm的直和，那么V的每一個(gè)向量就可以表示成V1的一個(gè)向量加V2的一個(gè)向量……加Vm的一個(gè)向量，這種表示方法是唯一的，并且V1的一個(gè)基、V2的一個(gè)基……Vm的一個(gè)基合（并）起來(lái)就是整個(gè)空間V的一個(gè)基.也就告訴我們，如果能把整個(gè)線性空間做直和分解，把可能很大的線性空間分解成若干比較小的或特殊的子空間，那么線性空間V的結(jié)構(gòu)就通過(guò)它的子空間的結(jié)構(gòu)構(gòu)建起來(lái)，因?yàn)樾〉淖涌臻g的基比較容易找，把它們合起來(lái)就是整個(gè)線性空間的基，而且線性空間V的每個(gè)向量表示成這些子空間向量的和，且表示方法唯一.實(shí)際上，每一個(gè)有限維線性空間都有直和分解，又因?yàn)榫€性空間的基不唯一，所以線性空間的直和分解也不唯一.

例如，過(guò)點(diǎn)O的平面V1與過(guò)點(diǎn)O的直線V2，這兩個(gè)子空間也有和，即V1+V2=V，V1和V2的和就等于整個(gè)幾何空間，而V1+V2中的每個(gè)向量α可唯一分解成α1+α2，其中α1∈V1，α2∈V2（也就說(shuō)以α為對(duì)角線的平行四邊形有且僅有一個(gè)）.可見整個(gè)幾何空間可以做直和分解，那么整個(gè)幾何空間的結(jié)構(gòu)自然就清楚了.線性空間的直和分解思想是研究線性空間結(jié)構(gòu)的核心工具，將線性空間分解為其子空間的直和是一種重要的研究途徑.

3 從同構(gòu)的角度

同構(gòu)是高等代數(shù)中的一個(gè)重要工具.同構(gòu)概念是對(duì)于線性空間而言的，是描述不同對(duì)象集合之間結(jié)構(gòu)相同的數(shù)學(xué)概念，借助同構(gòu)思想可以讓復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.線性空間的同構(gòu)就是將數(shù)域K上所有線性空間進(jìn)行分類，把本質(zhì)上有相同結(jié)構(gòu)的線性空間歸為一類，在這一類中挑選一個(gè)比較簡(jiǎn)單的具體的線性空間來(lái)研究它的性質(zhì)，則跟它同一類的其他線性空間也有同樣的性質(zhì).利用同構(gòu)概念可以對(duì)性質(zhì)相同的一類線性空間進(jìn)行整體研究，可以由此知彼，減少工作量，為研究線性空間結(jié)構(gòu)提供新的途徑.

同一個(gè)數(shù)域K上的兩個(gè)線性空間本質(zhì)上有相同的結(jié)構(gòu)，從集合的角度來(lái)講，就是它們?cè)刂g有一個(gè)雙射，這是起碼的條件，有了雙射還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因?yàn)榫€性空間有加法、數(shù)量乘法兩種運(yùn)算，所以還要求σ保持加法，保持?jǐn)?shù)量乘法.這里有一個(gè)重要的充要條件，同一數(shù)域上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)維數(shù)相等，說(shuō)明維數(shù)相等一定同構(gòu)，維數(shù)不等一定不同構(gòu).

同構(gòu)的意義在于，在線性空間的抽象討論中，無(wú)論構(gòu)成線性空間的元素是什么，其中的運(yùn)算是如何定義的，我們所關(guān)心的只是這些運(yùn)算的代數(shù)性質(zhì).從這個(gè)意義上說(shuō)，同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的，而有限維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù).維數(shù)相同的各線性空間的差異僅在于它們向量的表現(xiàn)形式有所不同，而這種向量表現(xiàn)形式的不同對(duì)線性空間結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)沒(méi)有任何實(shí)質(zhì)性的影響.這樣，我們就可以利用線性空間的同構(gòu)把數(shù)域K上的所有線性空間進(jìn)行分類來(lái)研究線性空間的結(jié)構(gòu).

例如，數(shù)域K上的任一個(gè)n維線性空間V與Kn是同構(gòu)的.可見同構(gòu)類完全被維數(shù)決定，維數(shù)相同的正好在一個(gè)類里面，有0維、1維……n維，也就是自然數(shù)組成的集合與線性空間的同構(gòu)類組成的集合建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，自然數(shù)0對(duì)應(yīng)0維同構(gòu)類……這個(gè)同構(gòu)類能被自然數(shù)決定，有一個(gè)自然數(shù)就有一個(gè)同構(gòu)類，整個(gè)線性空間被維數(shù)分得如此干凈利落.如果要研究n維線性空間V的結(jié)構(gòu)，那就找它的代表Kn去研究，Kn的結(jié)構(gòu)清楚了，那么n維線性空間V的結(jié)構(gòu)自然就清楚了，因?yàn)榫S數(shù)相同的線性空間在一個(gè)同構(gòu)類里面，它們有相同的性質(zhì).同構(gòu)的線性空間有著緊密的聯(lián)系，結(jié)構(gòu)相同，并且由一個(gè)線性空間的性質(zhì)可以推得與之同構(gòu)的另一個(gè)線性空間的很多性質(zhì).這就是研究線性空間結(jié)構(gòu)的第三條途徑——線性空間的同構(gòu).

4 從商空間的角度

為了方便研究線性空間V的結(jié)構(gòu)，給出V的一個(gè)劃分，即在V中建立一個(gè)二元關(guān)系（是一個(gè)等價(jià)關(guān)系），此時(shí)，所有等價(jià)類（V的一個(gè)子集）組成的集合給出了V的一個(gè)劃分，把一個(gè)等價(jià)類看成一個(gè)元素，從而引出商空間的概念.

定理3表明，只要知道商空間是有限維的，而且知道它的一個(gè)基，那么把基里面的陪集代表生成一個(gè)子空間U，那V就可以做這樣的直和分解，等于子空間W和這個(gè)U的直和.這就體現(xiàn)了用商空間研究線性空間的結(jié)構(gòu)，有一個(gè)直和分解，那V的結(jié)構(gòu)就比較清楚了.在這里V和W沒(méi)說(shuō)是有限維的，因此這個(gè)定理中的V和W可以是有限維，也可以是無(wú)限維，但是要求商空間V/W是有限維.

5 結(jié)語(yǔ)

本文總結(jié)并分析了研究線性空間結(jié)構(gòu)的不同途徑，這對(duì)線性空間結(jié)構(gòu)的細(xì)化分析具有指導(dǎo)意義.

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