圓的面積公式推導(dǎo)的再思考

王廣強(qiáng)

【摘要】現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，更應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)文化的滲透.新課程標(biāo)準(zhǔn)中提出了三大基本思想：抽象、推理、模型.圓的面積推導(dǎo)過(guò)程就是將圓轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的長(zhǎng)方形、三角形或梯形，再利用已有的舊知識(shí)解決新問(wèn)題.該過(guò)程能有效地滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的推理能力和創(chuàng)新意識(shí).

【關(guān)鍵詞】圓的面積;數(shù)學(xué)思想;轉(zhuǎn)化思想;極限思想

“圓的面積”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一課，本節(jié)課不僅可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)中非常重要的思想方法，還有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究意識(shí).

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的“四基”，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而基本思想指：抽象、推理和模型.

人教版課本是通過(guò)分割、轉(zhuǎn)化，將圓的面積轉(zhuǎn)化成平行四邊形，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形進(jìn)行推導(dǎo)的，過(guò)程如下.

在硬紙上畫(huà)一個(gè)圓，把圓分成若干（偶數(shù)）等份，剪開(kāi)后，用這些近似于等腰三角形的小紙片拼一拼，你能發(fā)現(xiàn)什么？（圖1）

分的份數(shù)越多，每一份就會(huì)越小，拼成的圖形就會(huì)越接近于一個(gè)長(zhǎng)方形.（圖2）

通過(guò)觀察，我們可以看出圓的半徑是r，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)近似于圓的周長(zhǎng)的一半，寬近似于半徑.因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以圓的面積=周長(zhǎng)的一半×半徑=C2×r=πr2，即圓的面積公式是S=πr2.

在上述的過(guò)程中，滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將未知的圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形，再由極限的數(shù)學(xué)思想，將平行四邊形近似地看成長(zhǎng)方形，而后又由變與不變的數(shù)學(xué)思想，將長(zhǎng)方形的面積與圓的面積溝通起來(lái)，最終得出圓的面積計(jì)算公式.在整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程中始終滲透了推理的數(shù)學(xué)思想.

冀教版教材在利用上述方法推導(dǎo)圓的面積公式之前，又采用了以下的方法讓學(xué)生初步感知圓的面積計(jì)算公式.

把一個(gè)半徑是10 cm的圓形飛鏢板平均分成20份，估算一下一塊飛鏢板的面積，如圖3.

我們可以將每一份飛鏢板近似看成底是圓的周長(zhǎng)的120、高是10 cm的等腰三角形，通過(guò)計(jì)算我們可以得到一份飛鏢板的面積約是2×3.14×10×120×10÷2=15.7（cm2），所以圓的面積就是20×15.7=314（cm2）.

在此基礎(chǔ)上如果將飛鏢板的半徑用字母r表示，將飛鏢板平均分成n份，我們不難推出圓的面積公式是S=2πrn×r÷2×n=πr2.

在上述的推導(dǎo)過(guò)程中，我們利用了極限的思想，分得份數(shù)越多，每一份就越接近一個(gè)三角形.我們還利用了轉(zhuǎn)化的思想，將圓的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積進(jìn)行求解.

我們看到，不論是人教版還是冀教版教材，在推導(dǎo)過(guò)程中，都是將圓平均分推導(dǎo)出來(lái)的，除了以上的推導(dǎo)方法，我們還有其他的方法嗎？答案是一定的，但是無(wú)論怎樣進(jìn)行推導(dǎo)，其基本思想是不變的.

我們還是按照平均分的思路，如果不像第一種方法那樣拼，我們把第一行放1個(gè)，第二行放3個(gè)，第三行放5個(gè)，第四行放7個(gè)，這樣也恰好可以拼成三角形，如圖4.

所拼得的三角形的底是圓的周長(zhǎng)的14，高是4r，我們不難推出圓的面積為S=C4×4r×12=12Cr=πr2.

當(dāng)然，稍加思考，我們可以將其拼成一個(gè)梯形，如圖5.

所拼得的梯形是上底是圓的周長(zhǎng)的316，下底是圓的周長(zhǎng)的516，高是2r，我們也不難推出圓的面積為：S=3C16+5C16×2r×12=12Cr=πr2.

我們現(xiàn)在將圓進(jìn)行如下分割，在一個(gè)圓中作出它的同心圓，并使它們的半徑成等差數(shù)列，即相鄰的兩個(gè)圓的半徑之差（環(huán)寬）相等，如圖6所示.

我們將這些同心圓沿線剪開(kāi)，可以近似得到以下兩種不同的圖形（圖7，圖8）.

圖7是等腰三角形，三角形的底是圓的周長(zhǎng)，高是半徑，所以圓的面積=三角形的面積=C×r×12=πr2.

圖8是直角三角形，直角邊分別為圓的周長(zhǎng)和圓的半徑，所以圓的面積=三角形的面積=C×r×12=πr2.

到此，大家可能覺(jué)得圓的面積公式的推導(dǎo)方法已經(jīng)很多了，其實(shí)還有很多，比如我們可以把圓看作正n邊形，通過(guò)求n邊形的面積，最終通過(guò)求極限得到圓的面積，還可以通過(guò)微積分推導(dǎo)圓的面積公式.

圓的面積公式推導(dǎo)方法可能還有很多，但是我們可以總結(jié)兩點(diǎn)：一是利用轉(zhuǎn)化，將曲線型圖形轉(zhuǎn)化成直線型圖形（其實(shí)平面圖形的面積推導(dǎo)都是轉(zhuǎn)化成已知圖形得到的），二是利用高等數(shù)學(xué)中極限和微積分的知識(shí)推導(dǎo).