線性代數(shù)中特征值與特征向量的教學(xué)設(shè)計

張林麗 原乃冬 張晶晶 白忠玉

【摘要】矩陣的特征值與特征向量是線性代數(shù)中兩個重要的概念.本文通過人口遷移問題的引入，采用問題驅(qū)動法和啟發(fā)式教學(xué)構(gòu)造出特征值與特征向量的概念，勉勵學(xué)生努力踐行社會主義核心價值觀，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度和創(chuàng)造能力;利用研究式和啟發(fā)式的教學(xué)方法推導(dǎo)特征值與特征向量的求法，引導(dǎo)學(xué)生樹立崇高的學(xué)習(xí)志向，建立正確的人生觀，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力;采用啟發(fā)式教學(xué)，將數(shù)學(xué)建模的思想滲透到教學(xué)之中，通過特征值與特征向量在人口遷移問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識解決實際問題的能力.本文將課程思政元素與線性代數(shù)相結(jié)合，在教學(xué)實踐中落實立德樹人的任務(wù).

【關(guān)鍵詞】特征值;特征向量;課程思政元素

本文以線性代數(shù)中“矩陣的特征值與特征向量”這一節(jié)教學(xué)內(nèi)容為例，從學(xué)情分析、教學(xué)目標、教學(xué)重難點和教學(xué)過程這四個方面設(shè)計教學(xué)模型，在教學(xué)實踐中落實立德樹人的任務(wù).

一、學(xué)情分析

線性代數(shù)是高校理工類、經(jīng)濟管理類專業(yè)必學(xué)的一門公共課，它為學(xué)生今后的專業(yè)課學(xué)習(xí)提供必需的數(shù)學(xué)知識，同時培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、抽象思維能力、空間想象能力以及用所學(xué)知識分析、解決實際問題的能力.方陣的特征值和特征向量是線性代數(shù)中一個重要的概念，它在方陣的對角化、微分方程組的求解和工程技術(shù)中的振動等問題中都有著重要的應(yīng)用.

本節(jié)課授課對象為大二年級理工類、經(jīng)濟管理類學(xué)生，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識.他們的優(yōu)勢是年輕、專注、有夢想，動手操作能力強，劣勢是抽象思維能力、空間想象能力不足，數(shù)學(xué)應(yīng)用能力弱，尤其對純數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)缺乏興趣.

二、教學(xué)目標

知識目標：讓學(xué)生理解矩陣的特征值與特征向量的概念和性質(zhì);掌握方陣的特征值與特征向量的求法.

能力目標：在特征值和特征向量的求法教學(xué)中，使學(xué)生的計算能力得到進一步提高.

情感目標： 在教學(xué)的過程中滲透變形法的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的應(yīng)用意識以及“立體”的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

三、教學(xué)重難點

教學(xué)重點：特征值與特征向量的概念、求法和應(yīng)用.

教學(xué)難點：特征值與特征向量的求法.

四、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)預(yù)備知識

教學(xué)設(shè)計：課前復(fù)習(xí)的作業(yè)是本節(jié)課要用到的知識，目的是減少課內(nèi)簡單計算所用的時間，充分突出重點;同時也是本著“笨鳥先飛”的原則，使計算能力較差的學(xué)生提前練習(xí)，達到復(fù)習(xí)的目的，保障課堂教學(xué)任務(wù)的完成;通過計算和觀察增加對特征值和特征向量的感性認識，達到分散難點的目的.

（二）課題引入

引例（人口遷移模型） 假設(shè)一個省的總?cè)丝谑枪潭ǖ?，人口的分布因居民在城市和農(nóng)村之間遷徙而變化.假設(shè)每年有5%的城市人口遷移到農(nóng)村（95%仍留在城市），有12%的農(nóng)村人口遷移到城市（88%仍留在農(nóng)村），記ri，si分別表示第i年的城市與農(nóng)村人口數(shù)，則ri+1=0.95ri+0.12si，si+1=0.05ri+0.88si，將該方程組寫成矩陣方程的形式：xi+1=Axi，其中遷移矩陣A=0.950.120.050.88，xi=risi.設(shè)海南省2010年的人口分布為x0=500000780000，計算海南省2030年的人口分布.

教學(xué)設(shè)計：采用問題驅(qū)動法，由人口遷移問題，設(shè)想：（1）將遷移矩陣轉(zhuǎn)化為對角矩陣？這個方法的實施感覺很渺茫;（2）能否將遷移矩陣線性化呢？繼續(xù)尋求解決問題的思路，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.在作業(yè)題第（1）題中：AX=2X，左邊是矩陣相乘的非線性運算，右邊是數(shù)乘矩陣的線性運算，它啟發(fā)我們可以將非線性運算簡化成線性運算，由數(shù)2乘向量X等于矩陣A乘向量X，也就是說，數(shù)2具備矩陣A的特征，我們就把數(shù)2稱為矩陣A的特征值，非零向量X稱為矩陣A的屬于特征值2的特征向量.從直觀的例子出發(fā)，讓學(xué)生理解了特征值和特征向量的概念.再從2階推廣到n階，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造出特征值和特征向量的一般概念.

（三）特征值與特征向量的概念

定義 設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)λ和n維非零向量X，使AX=λX成立，則稱數(shù)λ為方陣A的特征值，非零向量X稱為A的對應(yīng)于特征值λ的特征向量（或稱為A的屬于特征值λ的特征向量）.

說明：（1）A是方陣;（2）特征向量是非零向量;（3）特征向量與特征值是對應(yīng)關(guān)系.

教學(xué)設(shè)計：采用啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建特征值與特征向量的概念，達到分散難點的目的，也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造力.通過三點補充說明，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度.特征值和特征向量在振動、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域有著重要作用.例如，用樂器演奏音樂時，需要對樂器進行調(diào)音，使得各種樂器的頻率相匹配，才能演奏出動聽和諧的音樂，這里的頻率就是特征值.和諧的東西是美的，和諧的社會是穩(wěn)定的，我們應(yīng)勉勵學(xué)生努力踐行社會主義核心價值觀，共同維護當今來之不易的和諧文明社會，提醒學(xué)生要審慎地看待自己與身邊人的關(guān)系，與社會的關(guān)系，牢牢樹立和諧的觀念，促進學(xué)生全面和諧的發(fā)展.

（四）特征值與特征向量的求法

有了特征值和特征向量的概念之后，學(xué)生會產(chǎn)生疑問：（1）方陣A的特征值是否唯一？（2）屬于特征值λ的特征向量是否唯一？（3）如果不唯一，如何求方陣A的所有特征值和特征向量？下面，我們來回答這些問題.

由定義可知：AX=λXλX-AX=0λE-AX=0有非零解λE-A=0.

按照上面的分析，我們得出求特征值和特征向量的思路.

（1）求特征值：求解特征方程λE-A=0的根;n階方陣A在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個特征值.

（2）求λi的特征向量：齊次線性方程組λiE-AX=0的每個非零解都是方陣A的屬于λi的特征向量;它的全部非零解即為方陣A的屬于特征值λi的全部特征向量.

例1 求A=1102的特征值和特征向量.

對比我們求得的方陣A的屬于特征值λ2=2的特征向量ξ2=11和作業(yè)題第（1）題中找到的特征向量x1=11，可以驗證我們的求法正確.由例1可以引導(dǎo)學(xué)生給出求n階方陣A的特征值和特征向量的步驟：

（1）計算特征多項式λE-A，求特征方程λE-A=0的根，即為A的全部特征值;

（2）對每個不同特征值λi，求齊次線性方程組λiE-AX=0的基礎(chǔ)解系ξ1，ξ2，…，ξn-r（r=r（λiE-A）），則k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r （k1，…，kn-r不全為0），即是方陣A的屬于特征值λi的全部特征向量.

例2 求矩陣A=3-1-220-22-1-1的特征值和特征向量.

教學(xué)設(shè)計：采用研究式和啟發(fā)式教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生給出求n階方陣A的特征值和特征向量的步驟.求特征值的關(guān)鍵是計算行列式，而行列式的計算我們在第一章學(xué)過.求特征向量的關(guān)鍵是求齊次方程組的基礎(chǔ)解系，而基礎(chǔ)解系的求解我們在第三章學(xué)過，從而達到用舊知識解決新問題的目的，分散本節(jié)課的難點.例2中行列式的計算可利用作業(yè)第二題的結(jié)果，簡化課堂黑板板書運算過程.由λX-AX=0（λE-A）X=0，可以看到單位矩陣E在矩陣運算中起著“雷鋒”的作用，可引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的人生觀，我們要做單位矩陣式的人，低調(diào)做人，認真做事，做一個有思想有抱負的人，在祖國和人民需要的時候做出應(yīng)有的貢獻.

（五）應(yīng)用

回歸起點，解決開始提出的問題，讓學(xué)生完整體會科學(xué)研究中提出問題、分析問題和解決問題的全過程.

教師提問：隨著時間的流逝，預(yù)測海南省人口分布是否會趨于穩(wěn)定？

教學(xué)設(shè)計：采用啟發(fā)式教學(xué)，將數(shù)學(xué)建模的思想滲透到教學(xué)之中，繼續(xù)深化知識，研究解的穩(wěn)定性.再次提到穩(wěn)定的社會也是和諧的社會，勉勵學(xué)生努力踐行社會主義核心價值觀.

（六）小結(jié)

特征值可以取代特征向量，讓我們的世界變得簡單;特征向量并不因此產(chǎn)生“嫉恨”，用它包容和博大的胸懷，協(xié)同特征值改變了世界，數(shù)學(xué)的美體現(xiàn)了人性的真善美.其實，它們的魅力不僅如此，在后面“相似矩陣”和“對角矩陣”中它們聯(lián)手作戰(zhàn)，將n階方陣推向一個又一個高潮.如果你對它們感興趣，就努力從特征值和特征向量做起吧，從做那個對了的特征值開始，去儲藏更大的能量，為對了的事業(yè)做出自己的貢獻.

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