一類特殊矩陣特征向量的求法

王欣欣

(南通理工學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院，江蘇 南通 226000)

物理、力學(xué)和工程技術(shù)中的許多問題在數(shù)學(xué)上都?xì)w結(jié)為求矩陣的特征值與特征向量.求二階矩陣的特征向量很容易，但從不同的視角去剖析其由來，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)賦予人們多維度的思維方式.本文對一類特殊的二階矩陣進(jìn)行研究，根據(jù)其特殊性構(gòu)造出相應(yīng)的特征向量，相比傳統(tǒng)的方法更加簡便快捷.

1 相關(guān)定理

(1)若λ1≠λ2，由于特征向量為非零向量，故可以分以下四種情況：

A為對應(yīng)于特征值λ1的一個特征向量：

① 若λ1≠a11，或a12≠0,則A對應(yīng)于特征值λ1的一個特征向量為

(1)

② 若λ1≠a22，或a21≠0，則A對應(yīng)于特征值λ1的一個特征向量為

(2)

A為對應(yīng)于特征值λ2的一個特征向量：

③ 若λ2≠a11，或a12≠0，則A對應(yīng)于特征值λ2的一個特征向量為

(3)

④ 若λ2≠a22，或a21≠0，則A對應(yīng)于特征值λ2的一個特征向量為

(4)

(2)若λ1=λ2，且R(λ1E-A)=1時，由于特征向量為非零向量，故可以分為以下兩種情況：

① 若λ1=λ2≠a11，或a12≠0，則A對應(yīng)于特征值λ1、λ2的一個特征向量為

(5)

② 若λ1=λ2≠a22，或a21≠0，則A對應(yīng)于特征值λ1、λ2的一個特征向量為

(6)

注：如果(1)中的①、②同時滿足，則任選其一作為相應(yīng)的特征向量即可，其結(jié)果是相同的.

同理可以應(yīng)用于(2)中的兩種情況.

以下給出(1)中①的證明.

證明特征多項式

(7)

(8)

現(xiàn)驗(yàn)證其正確性，即證明Aξ1=λ1ξ1.

則Aξ1=λ1ξ1成立.得證.

對于(1)中的 ②、③、④，以及(2)，證明方法相同，不再贅述.

2 例題

解A的特征多項式為

所以A的特征值為λ1=2i,λ2=-2i.

解A的特征多項式為

所以A的特征值為λ1=λ2=2.

所以kξ(k≠0)是對應(yīng)于λ1=λ2=2的全部特征向量.

參考文獻(xiàn)：

[1] 夏學(xué)文.線性代數(shù)[M].湖南：中南大學(xué)出版社，2014：116-117.

[2] 李林曙，施光燕.線性代數(shù)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2002：223-224.