函數(shù)觀點下的數(shù)列問題研究

王芳

【摘要】數(shù)列問題是高考的重點也是難點.本文主要從函數(shù)視角研究運用函數(shù)求解數(shù)列通項公式、前n項求和、最值等問題.在解題過程中，學生體會數(shù)列是定義域為自然數(shù)集的特殊函數(shù)，與函數(shù)有共同之處，感悟數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別.

【關(guān)鍵詞】函數(shù);數(shù)列;數(shù)學思想

數(shù)列是高考的重要考查內(nèi)容.荷蘭數(shù)學家、教育家弗賴登塔爾指出：無論從歷史的、發(fā)生的還是從系統(tǒng)的角度看，數(shù)的序列都是數(shù)學的基石，沒有數(shù)的序列就沒有數(shù)的基石.可見數(shù)列在高中數(shù)學中占據(jù)重要的地位，起到承上啟下的作用，它與函數(shù)、方程、不等式和解析幾何等內(nèi)容都有著密切的聯(lián)系，是諸多知識的交會點.但在實際的教學中，學生在求解數(shù)列問題時體現(xiàn)出的數(shù)學思維及能力甚微，學生的學習僅限于模仿，主觀能動性較弱，在求解數(shù)列問題時局限于教材涉及的方法，并沒有發(fā)揮出數(shù)列與其他知識之間的聯(lián)系作用.這樣難以發(fā)掘?qū)W生的潛力，培養(yǎng)學生的思維.

數(shù)列并不是簡單的運算和解題的循環(huán).學生從簡單的“數(shù)”的研究到復(fù)雜的“一列數(shù)”的研究，不僅要研究數(shù)列關(guān)系、規(guī)律、特征等，更應(yīng)該關(guān)注數(shù)列與其他知識的融合，如在求解數(shù)列問題時對函數(shù)思想的滲透.

一、函數(shù)思想觀點下數(shù)列問題的研究

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模型.在數(shù)列學習中，應(yīng)注重數(shù)列中各量之間關(guān)系的恒等變形.為更好地理解數(shù)列的本質(zhì)，教師要引導學生對日常實際問題進行分析，建立數(shù)列模型，探索并掌握數(shù)列的一些基本數(shù)量關(guān)系.

《高中數(shù)學課程標準（征求意見稿）》指出，在數(shù)列教學中，應(yīng)該注重強調(diào)數(shù)列作為特殊函數(shù)在解決問題時的作用，突出數(shù)列是函數(shù)的本質(zhì).數(shù)列可以看作定義域為自然數(shù)集的一種特殊函數(shù).因n取整數(shù)點，所以數(shù)列是一個準確的值.由此可見，數(shù)列具有離散的特點，屬于離散型函數(shù).我們?nèi)粘Ｉ钪杏龅降暮芏鄦栴}，如貸款、利率、折扣、人口的增長、放射性物質(zhì)的衰變等都可以用數(shù)列來刻畫.從函數(shù)的觀點、模型的觀點以及離散的角度認識數(shù)列，可以突出數(shù)列的本質(zhì).

定義：數(shù)列可以看成是以正整數(shù)N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）為定義域的函數(shù)an=f（n），當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應(yīng)的一列函數(shù)值.反過來，對于函數(shù)y=f（x），如果f（i）（i=1，2，3，…）有意義，那么就可以得到一個數(shù)列：f（1），f（2），f（3），…，f（n），….

數(shù)列的通項公式和前n項求和公式可以看成以n，d為自變量的數(shù)列的函數(shù)解析式.其中等差數(shù)列通項公式an是關(guān)于n的一次函數(shù)，前n項求和公式Sn是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù)，兩函數(shù)中自變量關(guān)于公差系數(shù)具有“n升次，d減半”的規(guī)律;等比數(shù)列通項公式和前n項和可看作底數(shù)為q的n次指數(shù)函數(shù).由此，在借助函數(shù)思想解決數(shù)列問題時，進一步滲透函數(shù)思想，可使學生深刻理解數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系，學會利用函數(shù)的眼光處理數(shù)列問題.

通過函數(shù)的觀點解決數(shù)列問題，不僅可以提升學生的知識應(yīng)用能力，而且可以激發(fā)學生思考問題的潛能，進而提升學生的數(shù)學思維.高中階段對學生的數(shù)學邏輯思維能力要求較高，在數(shù)列學習的基礎(chǔ)上，要注重數(shù)列和其他模塊知識的聯(lián)系，引導學生學會各知識之間的融合，逐步提高學生的創(chuàng)新思維能力.

二、運用函數(shù)思想巧解數(shù)列問題

1.函數(shù)思想觀點下的等差數(shù)列通項公式求解問題

此題考查對數(shù)列通項公式和前n項和公式的記憶與理解，比較上述兩種求解方法發(fā)現(xiàn)，利用方法一求解時計算過程煩瑣，容易由運算錯誤導致失誤.而利用函數(shù)思想求解等差數(shù)列的通項公式an、前n項和公式Sn，只需求解公差d，再從函數(shù)的角度理解“n升次，d減半”，可直接寫出所求結(jié)果，提高解題效率，同時保證答題準確率.

2.函數(shù)思想觀點下的數(shù)列前n項和求解問題

本題通過等差數(shù)列的定義快速求解公差d，借用函數(shù)思想表示等差數(shù)列前n項和，進一步滲透函數(shù)思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用，加深數(shù)學各模塊知識之間的連續(xù)性與系統(tǒng)性，同時提高學生解題思維的敏銳性.

本題主要考查求等比數(shù)列前n項和，兩種解法相比較，方法一從應(yīng)用錯位相減法求前n項和入手，逐一求解，解題過程較長，同時需要注意多處細節(jié)問題，而從函數(shù)的角度考慮，Sn是關(guān)于底數(shù)q的n次指數(shù)函數(shù)，公式簡潔明了，學生容易理解，方便記憶，運算簡單.

3.函數(shù)思想下數(shù)列的單調(diào)性與最值問題

注意點（n，Sn）是在常數(shù)項為0的二次函數(shù)圖像上（n屬于正整數(shù)）.如果二次函數(shù)的對稱軸橫坐標是正整數(shù)，Sn在頂點處取得最值;如果二次函數(shù)的對稱軸橫坐標不是正整數(shù)，Sn應(yīng)在最接近對稱軸橫坐標的正整數(shù)處取得最值.

在求解數(shù)列前n項和的最值問題時，可利用數(shù)列的函數(shù)定義轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)問題，這樣就回歸到學生最熟悉的一元二次函數(shù)問題當中，從而深入理解數(shù)列的本質(zhì)問題，進一步明白函數(shù)與數(shù)列之間的聯(lián)系，實現(xiàn)知識之間的整合.

三、數(shù)列教學的建議

函數(shù)與數(shù)列作為高中數(shù)學重要的兩大模塊知識，它們之間存在密切的聯(lián)系.函數(shù)是高中數(shù)學的靈魂，而數(shù)列是特殊的函數(shù)，是高中數(shù)學的重要基礎(chǔ)知識，是學生理解和認識離散函數(shù)的橋梁.在教學數(shù)列概念時，教師可以依據(jù)函數(shù)的概念揭示數(shù)列概念的本質(zhì)，使學生親身經(jīng)歷函數(shù)思想在數(shù)列概念形成過程中的滲透，既加深對數(shù)列的理解又鞏固函數(shù)知識.在教學求解數(shù)列問題時，教師要引導學生學會用函數(shù)的眼光看待數(shù)列，學會將數(shù)列轉(zhuǎn)化為常見的基本初等函數(shù)，再利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解數(shù)列的通項公式、前n項和及最值問題等，使學生對數(shù)列知識的學習更清晰明了.在最后復(fù)習數(shù)列知識時，教師要組織學生自主評析函數(shù)和數(shù)列知識之間的相互構(gòu)建過程，提升學生從函數(shù)視角對問題進行分析和解決的能力，引導學生學會對知識的整合，使知識更系統(tǒng)化和完整化，擴展學生的思維，激發(fā)學生的思維潛能，培養(yǎng)學生自主學習和自我評價的意識.

【參考文獻】

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