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    初中數(shù)學解題中側(cè)向思維的有效應用

    2021-04-22 02:58:58福建省龍巖北大附屬實驗學校許明明
    天津教育 2021年11期
    關(guān)鍵詞:交點側(cè)向拋物線

    ■福建省龍巖北大附屬實驗學校 許明明

    一、用于解答因式分解習題

    因式分解是初中數(shù)學的重要基礎(chǔ)知識,相關(guān)習題難度差別較大。部分習題涉及較多的項,甚至還含有一些高次項。因初中生知識有限,無法直接求解,因此,教學中應注重給予學生引導,傳授相關(guān)的解題技巧,尤其啟發(fā)學生運用側(cè)向思維尋找解題突破口。要求學生先認真分析題干,尋找內(nèi)在規(guī)律,采取換元法進行降次,逐漸向熟悉的知識靠攏,直到順利解題。

    例1,因式分解:(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2

    該題目涉及的項數(shù)較多,如采取的方法不當,很難解答。實踐中發(fā)現(xiàn),很多學生看到該題目后,將因式展開,結(jié)果出現(xiàn)了x 的四次方,最終無功而返。教學中認真觀察四個多項式的乘積,兩兩進行巧妙的結(jié)合進行展開,而后運用側(cè)向思維進行求解。原式=(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)+x2=(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2,此時可令t=x2+5x+6 進行降次處理。則原式=(t+2x)t+x2=t2+2xt+x2=(t+x)2,即,原式因式分解的結(jié)果為(x2+6x+6)2。

    二、用于解答最值習題

    初中生對數(shù)學最值問題并不陌生,一些習題常借助函數(shù)性質(zhì)進行解答。然而部分習題則需要學生具有靈活的思維,從正面無法求解或求解難度較大,可借助側(cè)向思維進行巧妙的轉(zhuǎn)化,讓原本看似無規(guī)律可循的問題變得有規(guī)律可循。

    例2,如圖1 在平面直角坐標系中,拋物線y=x2-2x+2 存在一動點A,過點A 作AC⊥x 軸于點C,以AC為對角線作矩形ABCD,連結(jié)BD,則對角線BD 的最小值為___。

    圖1

    題干中涉及BD的已知條件較少,顯然無法正面求解。課堂上可引導學生回顧矩形的性質(zhì),積極應用側(cè)向思維,思考如何尋找BD與已知條件之間的聯(lián)系。顯然由以往所學可知,矩形的對角線相等,因此,求解出AC的長。就相當于求解BD的長,如此問題便迎刃而解。由拋物線性質(zhì)可得,當A位于拋物線頂點時距離x 軸最近。根據(jù)題意不難求解出拋物線坐標為(1,1),此時AC的長為1,即,BD的最小值為1。

    三、用于解答角度問題

    初中數(shù)學中的一些題型常借助幾何關(guān)系要求學生求解某個角度的值。解答該類習題的方法多種多樣,其中借助側(cè)向思維可使學生在解題中少走彎路。為使學生能夠靈活應用側(cè)向思維解答角度問題,課堂上與學生一起分析用側(cè)向思維解題的過程,給學生帶來不同的解題體驗,幫助其樹立解題的自信,并養(yǎng)成運用側(cè)向思維解題的良好習慣。

    例3,如圖2將圓O沿著弦AB折疊,圓弧剛好經(jīng)過圓心O,點P 為優(yōu)弧AMB 上一點,則∠APB 的度數(shù)為( )

    圖2

    A.45° B.30° C.75° D.60°

    學生對該題目創(chuàng)設(shè)的情境并不陌生,如何巧妙地應用側(cè)向思維成為解題的關(guān)鍵。顯然還需要從已知條件入手,聯(lián)想與圓有關(guān)的知識加以突破。題目要求∠APB的度數(shù),根據(jù)同一弦圓心角與圓周角的關(guān)系,求出與其同一弦所對的圓心角的度數(shù),也就得出了結(jié)果。作半徑OC⊥AB于點D,連接OA、OB,如圖3所示。根據(jù)已知條件易得OD=DC,則∠OAB=∠OBA=30°,則∠AOB=180°-60°=120°,則∠APB=60°,正確選項為D。

    圖3

    四、用于解答方程問題

    方程與函數(shù)有著千絲萬縷的聯(lián)系,解題中常將兩者相互轉(zhuǎn)化,以尋找參數(shù)之間的關(guān)系,順利解答習題。教學中為使學生掌握應用側(cè)向思維解答方程問題的經(jīng)驗,應注重設(shè)計相關(guān)的問題對學生進行專門的訓練,鼓勵學生應用側(cè)向思維進行分析,并使其能夠迅速破題。

    例4,如圖4在平面直角坐標系中,M是直線y=2與x 軸間的一個動點,且點M 是拋物線的頂點,則方程的解的個數(shù)是( )

    圖4

    A.0或2 B.0或1 C.1或2 D.0,1或2

    該題目需結(jié)合圖像,運用側(cè)向思維將方程根的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像交點問題。審題可知只要求出函數(shù)圖像與 y2=1 的交點個 數(shù)即可。由圖4 可知當1<y1<2 時,兩個函數(shù)圖像無交點,即,無解。當y1=1只有一個交點,即只有一個解;當0<y1<1 時,兩個函數(shù)圖像有兩個交點,即,有兩個解。綜上可知,方程的解的個數(shù)為0、1個或2個,正確選項為D。

    五、結(jié)語

    解題教學在初中數(shù)學教學中占有重要地位。為實現(xiàn)學生解題能力的顯著提升,教學中不僅要求學生多做題,更要結(jié)合自身教學經(jīng)驗做好常用解題思維的總結(jié),并將解題思維講解滲透至各教學環(huán)節(jié)中,尤其側(cè)向思維可使學生通過現(xiàn)象看本質(zhì),更快、更為高效地進行解題,因此,教師在教學中應引起足夠的重視,做好側(cè)向思維在解題中的應用教學,使學生徹底掌握,靈活應用。

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