“十字”模型及其應(yīng)用

江蘇省南京市板橋中學(xué)(210039) 紀(jì)明亮

幾何是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),有的時(shí)候?yàn)橐坏缼缀晤}苦思冥想很久還是無(wú)法解答,有時(shí)為一道幾何題能巧妙的作出一種輔助線使問(wèn)題解決而感到欣喜若狂,那么幾何題究竟為何這樣難以駕馭? 其實(shí)幾何題看似變幻莫測(cè),但每道題都是有章可循的,可從中抽象出基本模型,抓住基本模型就可以抓住幾何題的本質(zhì),方能以不變應(yīng)萬(wàn)變,“十字”模型就是一類重要的幾何模型,但此種幾何模型的研究并不多,本文對(duì)“十字”模型做了一些思考和研究,并將思考和研究的結(jié)果與大家分享.

1 模型分析

(1)正方形中“十字”模型1

如圖1, 在正方形ABCD中,E、F、G、H分別為AB、CD、BC、AD上的點(diǎn), 若EF⊥GH于點(diǎn)O, 結(jié)論:EF=GH.

證明: 如圖1, 過(guò)點(diǎn)E、G分別作EN⊥CD、GM⊥AD于N、M, 則∠ENF= ∠GMH= 90°,EN⊥GM于點(diǎn)P,EN=GM則∠EPG= 90°.由EF⊥GH于點(diǎn)O, 則∠EOG= 90°.由∠EPG+∠NEF= ∠MGH+∠EOG,則∠NEF= ∠MGH, 故ΔEFN∽= ΔGHM(ASA), 則EF=GH.

圖1

圖2

(2)正方形中“十字”模型2

如圖2, 在正方形ABCD中,E、F、G、H分別為AB、CD、AB、BC上的點(diǎn), 若EF⊥GH于點(diǎn)P, 結(jié)論:

證明: 過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AB于Q, 則∠EQF= 90°, 則∠EQF= ∠B, 由EF⊥GH于點(diǎn)P, 則∠GPE= 90°, 則∠GPE= ∠B, ∠QEF+ ∠EGP= ∠BHG+ ∠EGP則∠QEF= ∠BHG, 故ΔQEF∽ΔBHG, 則即

(3)矩形中“十字”模型

如圖3, 在長(zhǎng)方形ABCD中,E、F、G、H分別為AB、CD、BC、AD上的點(diǎn), 若EF⊥GH于點(diǎn)O, 結(jié)論:

證明: 如圖3, 過(guò)點(diǎn)E、G分別作EN⊥CD、GM⊥AD于N、M,則∠ENF= ∠GMH= 90°,EN⊥GM于點(diǎn)P,則∠EPG= 90°, 由EF⊥GH于點(diǎn)O, 則∠EOG= 90°,由∠EPG+ ∠NEF= ∠MGH+ ∠EOG, 則∠NEF=∠MGH,故ΔEFN∽ΔGHM,則

圖3

圖4

“十字”模型是以線段“垂直”為基礎(chǔ),在正方形、矩形里構(gòu)建直角三角形,再借助“垂直”關(guān)系證明所構(gòu)建的直角三角形全等或相似得到相應(yīng)的邊之間的數(shù)量關(guān)系,這是對(duì)“垂直”這一條件作用的升華,使其在解題中發(fā)揮更大作用.那么什么題目符合“十字”模型?“十字”模型在解題中的關(guān)鍵作用是什么? 下面通過(guò)幾道題目回答這兩個(gè)問(wèn)題.

2 模型應(yīng)用

題1如圖4, 在等腰RtΔABC中, ∠ACB= 90°,AC=BC= 4, 點(diǎn)D是BC中點(diǎn),CE⊥AD于點(diǎn)F, 交AB于點(diǎn)E,求CE的長(zhǎng).

分析: 因?yàn)镃E⊥AD于點(diǎn)F,且ΔABC是等腰直角三角形,這是正方形中的“十字”模型1,可根據(jù)此模型作輔助線構(gòu)建圖形解題.

圖5

解如圖5, 以CA、CB為鄰邊構(gòu)造正方形ACBG,延長(zhǎng)CE交BG于點(diǎn)H.由四邊形ACBG是正方形,則∠ACD= ∠CBH= 90°,AC//BG,由BC=4,點(diǎn)D是BC中點(diǎn), 則CD= 2.在RtΔACD中根據(jù)勾股定理, 可得AD=由CE⊥AD于點(diǎn)F,則∠AFD= 90°,則∠CAD+∠ACF=90°, 由∠ACF+ ∠BCH= 90°, 則∠CAD= ∠BCH,再 由AC=CB, 故RtΔACD∽= RtΔCBH(ASA), 則CH=AD=BH=CD= 2(“十字”模型) .由AC//BG,故ΔACE∽ΔBHE,則則即CE=

點(diǎn)評(píng): 幾何計(jì)算一般采用勾股定理(建方程)、三角形相似、三角函數(shù)、等積法等方法, 而題中CE不在直角三角形中,則不能直接用勾股定理和三角函數(shù)求解,其所在三角形在原圖中也很難找到與之相似的三角形,等積法也很難行得通,這就需要作輔助線,那么輔助線如何作? 這里“CE⊥AD于點(diǎn)F,且ΔABC是等腰直角三角形”就是突破口,這是正方形中“十字”模型1 的典型特征,由此引領(lǐng)本題如何作輔助線構(gòu)建圖形解題.

變式1如圖6, 在等腰RtΔABC中, ∠ACB= 90°,AC=BC= 4, 點(diǎn)D、M分別是BC、AC上的點(diǎn), 且滿足BD=CM= 1,CE⊥DM于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)E,求CE的長(zhǎng).

分析: 因?yàn)椤癈E⊥DM于點(diǎn)F,且ΔABC是等腰直角三角形,點(diǎn)D、M分別是BC、AC上的點(diǎn)”,這是正方形中的“十字”模型2,可根據(jù)此模型構(gòu)建圖形解題.

圖6

圖7

解如圖7, 以CA、CB為鄰邊構(gòu)造正方形ACBG,并延長(zhǎng)CE交BG于點(diǎn)H.由四邊形ACBG是正方形, 則∠ACB= ∠CAG= 90°,BC//AG, 由BC= 4,BD= 1, 則CD= 3, 在RtΔCDM中 根 據(jù) 勾 股定 理得DM=由CE⊥DM于點(diǎn)F, 則∠CFD= 90°, 則∠CDF+ ∠FCD= 90°, 并由∠FCD+ ∠ACH= 90°, 可得∠ACH= ∠CDF, 故ΔACH∽ΔCDM, 則可 得CH=由BC//AG,故ΔBEC∽ ΔAEH, 則= 3, 則

點(diǎn)評(píng): 本題情況和題1 類似,CE的長(zhǎng)度很難求出,需要作輔助線,構(gòu)建圖形.同樣這里“CE⊥AD于點(diǎn)F,且ΔABC是等腰直角三角形”,顯然這是正方形中“十字”模型,通過(guò)構(gòu)造出正方形,發(fā)現(xiàn)這是正方形中的“十字”模型2,根據(jù)這個(gè)模型,將所求線段化歸到三角形中利用相似關(guān)系求出.

變式2如圖6, 在等腰RtΔABC中, ∠ACB= 90°,AC=BC=4,點(diǎn)D在BC上的點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),點(diǎn)M在AC邊上,滿足BD=CM,CE⊥DM于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)E,求的值.

分析: 因?yàn)镃E⊥DM于點(diǎn)F,且ΔABC是等腰直角三角形,這是正方形中的“十字”模型2,可根據(jù)此模型構(gòu)圖解題.

解如圖7, 以CA、CB為鄰邊構(gòu)造正方形ACBG,延長(zhǎng)CE交BG于點(diǎn)H.由四邊形ACBG是正方形, 則∠ACB= ∠CAG= 90°,且BC//AG.設(shè)BD=CM=x,由BC= 4,則CD= 4?x,在RtΔCDM中根據(jù)勾股定理得DM=由CE⊥DM于點(diǎn)F,則∠CFD= 90°,則∠CDF+∠FCD= 90°,再由∠FCD+∠ACH=90°,則∠ACH=∠CDF,故ΔACH∽ΔCDM, 則即則CH=由BC//AG, 故ΔBEC∽ ΔAEH, 則即, 則CE=

點(diǎn)評(píng): 本題是變式1 當(dāng)中問(wèn)題的一般化,D、M都是動(dòng)點(diǎn),但任滿足BD=CM,從變式1 可以發(fā)現(xiàn)CE=DM,那么本題中關(guān)鍵就是求出CE、DM的數(shù)量關(guān)系,如果僅從原有圖形思考很難有所進(jìn)展,顯然要作輔助線構(gòu)圖,這與變式1的模型相同,也是正方形中的“十字”模型2,可根據(jù)此模型構(gòu)建圖形,由于D、M都是動(dòng)點(diǎn),可設(shè)BD=CM=x,便于求出CE、DM的數(shù)量關(guān)系,解決問(wèn)題.

變式3如圖8,在ΔABC中,AB=AC,∠ABC=60°,點(diǎn)D在AB邊上(不與點(diǎn)A、B重合),點(diǎn)E在AC邊上,滿足CE=AD,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)H,求值.

分析: 因?yàn)椤包c(diǎn)D在AB邊上(不與點(diǎn)A、B重合),點(diǎn)E在AC邊上AH⊥DE于點(diǎn)F,且ΔABC是等邊三角形,”,這是矩形中“十字”模型,可根據(jù)此模型將問(wèn)題劃歸到矩形中借助矩形中“十字”模型來(lái)解決問(wèn)題.

圖8

圖9

解如圖9, 以BC為邊, 點(diǎn)A對(duì)邊上一點(diǎn)構(gòu)造矩形BCSR, 延長(zhǎng)DE交BE、CR于M、P, 過(guò)點(diǎn)M, 作MN⊥CS于點(diǎn)N, 在CS上取點(diǎn)Q, 使EP=EQ, 過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G.由于AG⊥BC于點(diǎn)G, 則AG⊥MN, 則∠OMN= ∠OAF, 由于MN⊥CS于點(diǎn)N,則∠MNP= 90°, 則∠MNP= ∠AGH, 則ΔMNP∽ΔAGH, 則由AG//CS, 則∠AOD= ∠EPQ.由EP=EQ,則∠EPQ= ∠EQP,則∠AOD= ∠EQP.由∠DAO= ∠ECQ= 30°,AD=CE,故ΔDAO∽= ΔECQ(AAS),則OD=EQ,則OD=EP.由OM=OP,則OD+MD=OE+EP,即MD=OE,則MD+EP=OD+OE, 則DE=

點(diǎn)評(píng): 本題和變式2 類似,也是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中求邊的比值,直接求非常困難, 因此要依托于圖形, 而點(diǎn)D在AB邊上(不與點(diǎn)A、B重合),點(diǎn)E在AC邊上AH⊥DE于點(diǎn)F,且ΔABC是等邊三角形,這是矩形中“十字”模型,則根據(jù)此模型構(gòu)造出矩形和直角三角形,再根據(jù)圖形關(guān)系求出值.

3 結(jié)語(yǔ)

在解題中模型的作用實(shí)際上是解題思路的引領(lǐng),每一種模型都可以推導(dǎo)出確定的結(jié)果,借助模型能更好的發(fā)現(xiàn)題目中的規(guī)律, 能透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì).在幾何問(wèn)題中有的條件(圖形)給的非常隱晦,很難明白其用意,不知如何轉(zhuǎn)化,那么問(wèn)題就難以解決,像以上四道題,每道題都給了“垂直”,而“垂直”是“十字”模型的必要條件,這樣可以試用“十字”模型構(gòu)建圖形,通過(guò)“十字”模型引領(lǐng)輔助線作法,巧妙構(gòu)圖,化難為易,將四道題都解決了.