有關(guān)三角形的內(nèi)心與外心基本圖形探究

湖北省武漢市魯巷中學(xué)(430074) 熊 燕

初中數(shù)學(xué)中幾何知識(shí)涉及面廣、知識(shí)點(diǎn)多,幾何圖形紛繁復(fù)雜、千變?nèi)f化,一直以來(lái)都是初中生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).然而復(fù)雜的幾何圖形往往卻是由一些簡(jiǎn)單的基本圖形組合而成.初中數(shù)學(xué)教材中有不少內(nèi)涵豐富、具有很強(qiáng)探究性的基本圖形,如果能進(jìn)一步有效挖掘,不但能鞏固基礎(chǔ)知識(shí),增強(qiáng)學(xué)生變式能力,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),還能培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯思維、形象思維、發(fā)散思維和創(chuàng)新思維.因此,筆者在日常教學(xué)中有意識(shí)地對(duì)一些基本的幾何圖形模型進(jìn)行提煉和探究,并對(duì)這些基本的圖形模型和基本結(jié)論的應(yīng)用進(jìn)行專題訓(xùn)練,以提高學(xué)生解決幾何綜合題的能力.

1 經(jīng)典習(xí)題展示

練習(xí)1.(2013 年武漢市元月調(diào)考第10 題) 如圖1, 點(diǎn)I和O分別是ΔABC的內(nèi)心和外心, 則∠AIB和∠AOB的關(guān)系為( )

圖1

A.∠AIB=∠AOB

B.∠AIB /=∠AOB

C.2∠AIB ?=180°

D.2∠AOB ?=180°

簡(jiǎn)解點(diǎn)O是ΔABC的外心, 所以∠C=又因點(diǎn)I是ΔABC的內(nèi)心, 所以∠IAB=進(jìn)而得到結(jié)論.

評(píng)析遇到三角形的外心,聯(lián)想到圓心角與圓周角的兩倍關(guān)系,遇到三角形的內(nèi)心,聯(lián)想到內(nèi)心的定義,即三條角平分線的交點(diǎn),進(jìn)而靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題.本題主要考查圓周角定理和三角形內(nèi)心和外心的相關(guān)性質(zhì),以及三角形內(nèi)角和定理,解決初中數(shù)學(xué)中的計(jì)算問(wèn)題.

練習(xí)2.(人教版九年級(jí)上冊(cè)教材習(xí)題24.2 第14 題)如圖2,在RtΔABC中,∠C= 90°,AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為c、a、b,求ΔABC的內(nèi)切圓半徑r.

簡(jiǎn)解一如圖2, 過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F, 連接OA,OB,OC.因?yàn)閳AO是三角形的內(nèi)切圓, 所以O(shè)D=OE=OF=r, 又因?yàn)镾ΔABC=SΔAOB+SΔBOC+SΔAOC=在RtΔABC中,SΔABC=所以進(jìn)而得到結(jié)論

圖2

簡(jiǎn)解二如圖2, 過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F, 則∠ODC=∠OFC= ∠C= 90°, 所 以 四邊形ODCF是矩形, 又因?yàn)镺D=OF, 所以四邊形ODCF是正方形, 由切線長(zhǎng)定理可知,AD=AE,CD=CF,BF=BE, 所以BC+AC ?AB= 2CD= 2OD, 即a+b ?c= 2r,進(jìn)而得到結(jié)論r=

補(bǔ)充如圖3 求RtΔABC的外接圓半徑R.

簡(jiǎn)解取線段AB的中點(diǎn)G,連接CG, 在RtΔABC中,AG=BG=CG=A、B、C三點(diǎn)在以點(diǎn)G為圓心的圓上,所以圓G是ΔABC的外接圓,其半徑R=

圖3

評(píng)析遇到直角三角形的內(nèi)心問(wèn)題,聯(lián)想到三角形面積公式和切線長(zhǎng)定理,善于運(yùn)用割補(bǔ)法計(jì)算三角形的面積,遇到直角三角形的外心問(wèn)題,聯(lián)想到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長(zhǎng)的一半”和“三點(diǎn)共圓”等初中數(shù)學(xué)幾何性質(zhì),解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.本題通過(guò)兩種不同的解法, 得到直角三角形內(nèi)切圓半徑r的兩個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式, 其本質(zhì)是一樣的.(注: 要證r=成立, 只需證(a+b+c)·(a+b ?c) = 2ab成立, 即證a2+b2=c2成立,以上結(jié)論顯然成立)本題是對(duì)教材上的習(xí)題的再創(chuàng)造,充分體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)試題來(lái)源于教材又高于教材.

練習(xí)3.(人教版九年級(jí)上冊(cè)教材復(fù)習(xí)題24 第13 題) 如圖4, 點(diǎn)E是ΔABC的內(nèi)心,AE的延長(zhǎng)線和ΔABC的外接圓相交于點(diǎn)D.求證:DE=DB.

圖4

簡(jiǎn)解連接BE, 因?yàn)辄c(diǎn)E是ΔABC的內(nèi)心, 所以∠DAC= ∠DAB, ∠ABE= ∠CBE, 又因?yàn)榛D=弧CD, 所以∠DAC= ∠DBC, 即∠DAB= ∠DBC, 又∠DBE= ∠DBC+∠CBE, ∠DEB= ∠DAB+∠ABE,所以∠DBE=∠DEB,進(jìn)而得到結(jié)論DE=DB.

評(píng)析初中數(shù)學(xué)幾何中遇到三角形的內(nèi)心,聯(lián)想到內(nèi)心的定義,即三條角平分線的交點(diǎn),進(jìn)而靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題.本題根據(jù)內(nèi)心定義和圓周角的相關(guān)性質(zhì),解決初中數(shù)學(xué)幾何中的證明問(wèn)題.

2 基本圖形提煉

基本圖形一:如圖5,ΔABC中,∠A=α,點(diǎn)I是ΔABC的內(nèi)心,則∠BIC=90°+如圖6,ΔABC中,∠A=α,點(diǎn)O是ΔABC的外心,則∠BOC=2α.

圖5

圖6

基本圖形二: 如圖7, 在RtΔABC中,∠C=90°,⊙O為ΔABC的內(nèi)切圓, 切點(diǎn)分別為D、E、F,若邊BC、CA、AB的長(zhǎng)分別為a、b、c, 則ΔABC的內(nèi)切圓半徑r=外接圓半徑

圖7

推廣: 如圖8, 在ΔABC中, 邊BC、CA、AB的長(zhǎng)分別為a、b、c, 先用割補(bǔ)法或雙勾股法求出ΔABC的面積S,再計(jì)算ΔABC的內(nèi)切圓半徑

圖8

基本圖形三: 如圖9, 點(diǎn)E是ΔABC的內(nèi)心,AE的延長(zhǎng)線和ΔABC的外接圓相交于點(diǎn)D, 則DE=DB=DC.(B、E、C三點(diǎn)在以D為圓心,DB長(zhǎng)為半徑的⊙D上)

圖9

3 基本圖形應(yīng)用

例1(人教版九年級(jí)上冊(cè)教材24.2.2 練習(xí)第2 題)ΔABC的內(nèi)切圓半徑為r,ΔABC的周長(zhǎng)為l,求ΔABC的面積.(提示: 設(shè)ΔABC的內(nèi)心為O,連接OA,OB,OC.)

圖10

圖11

分析問(wèn)題中要求解ΔABC的面積,根據(jù)上述基本圖形二,很自然地聯(lián)想到連接OA,OB,OC,將大三角形分割為三個(gè)小三角形,因此,這里采用割補(bǔ)法求面積.

解析如圖11, 設(shè)ΔABC的內(nèi)心為O, 連接OA,OB,OC,則OA=OB=OC=r,SΔABC=SΔAOB+SΔBOC+

評(píng)析本題屬于教材中的練習(xí)題,主要考查三角形的周長(zhǎng)、面積和內(nèi)切圓半徑之間的數(shù)量關(guān)系,運(yùn)用基本圖形二的推廣,可以快速解決.

例2(2019 年武漢市中考第9 題)如圖12,AB是⊙O的直徑,M、N是弧AB(異于A、B) 上兩點(diǎn),C是弧MN上一動(dòng)點(diǎn),∠ACB的角平分線交⊙O于點(diǎn)D,∠BAC的平分線交CD于點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí), 則C、E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的比是( )

圖12

分析如圖13, 連接EB, 根據(jù)上述基本圖形三, 易知點(diǎn)E在以D為圓心DA長(zhǎng)為半徑的圓上, 其運(yùn)動(dòng)軌跡是弧GF, 點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧MN, 由題意∠MON= 2∠GDF, 再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可解決問(wèn)題.

圖13

解析如圖13,連接EB、AD、BD、OM、ON、DM、DN,DM、DN分別與⊙D交于點(diǎn)G、F,設(shè)OA=r,則因?yàn)锳B是直徑,所以∠ACB= 90°,因?yàn)镃E、AE分別是∠ACB、∠BAC的角平分線,所以E是ΔABC的內(nèi)心,根據(jù)上述基本圖形一,易知∠AEB= 135°.因?yàn)椤螦CD= ∠BCD,所以弧AD=弧BD, 即AD=BD, 因?yàn)锳B是直徑, 所以∠ADB= 90°, 所以AD=BD=根據(jù)上述基本圖形三, 易知點(diǎn)E在以D為圓心DA長(zhǎng)為半徑的圓上, 其運(yùn)動(dòng)軌跡是弧GF, 點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧MN, 由題意可知∠MON= 2∠GDF, 設(shè)∠GDF=α, ∠MON= 2α, 故弧MN長(zhǎng)=弧GF長(zhǎng)=所以弧MN長(zhǎng)/弧GF長(zhǎng)=

評(píng)析本題考查弧長(zhǎng)公式,圓周角定理,三角形內(nèi)心的有關(guān)性質(zhì),解題的關(guān)鍵是理解題意,正確尋找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,屬于中考選擇題中的壓軸題.

例3(2012 年武漢市元月調(diào)考改編)如圖14,BC是⊙O的直徑,半徑為R,A為半圓上一點(diǎn),I為ΔABC的內(nèi)心,延長(zhǎng)AI交BC于D點(diǎn), 交⊙O于點(diǎn)E, 作IF ⊥BC, 連接AO,BI.下列結(jié)論: ①∠BAE=45°; ②4∠AIB?∠BOA=360°; ③BC=為定值,其中正確的結(jié)論有_______.

圖14

圖15

分析①利用三角形內(nèi)心的定義解答即可; ②根據(jù)上述基本圖形一和圓周角定理可得結(jié)論; ③根據(jù)上述基本圖形三和等腰直角三角形性質(zhì)可得正確性; ④過(guò)E點(diǎn)作角兩邊的垂線, 可以由三角形全等及等腰直角三角形性質(zhì), 得到AB+AC=可得④正確; ⑤根據(jù)上述基本圖形二得到直角三角形內(nèi)切圓半徑公式,再結(jié)合④的結(jié)論,可證得⑤正確.

解析①因?yàn)锽C是⊙O的直徑, 所以∠BAC=90°, 又因?yàn)镮為ΔABC的內(nèi)心, 所以AE平分∠BAC,即∠BAE= 45°, 正確; ②根據(jù)上述基本圖形一, 因?yàn)镮為ΔABC的內(nèi)心, 所以∠BIA= 90°+即4∠BIA= 360°+ 2∠C, 又因?yàn)椤螧OA= 2∠C, 所 以4∠AIB?∠BOA=360°,正確; ③如圖15,連接BE、EC,根據(jù)上述基本圖形三,易知BE=EI=EC,因?yàn)锽C是⊙O的直徑, 所以∠BEC= 90°, 所以BC=正確; ④過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于M,EN⊥AC于N,則四邊形ENAM是矩形,∠ENC= 90°,∠EMB= 90°,由①可知, ∠BAE= 45°, 所以AM=EM, 所以四邊形ENAM是正方形, 所以AM+AN=√EM=EN, 又因?yàn)椤螩EN+ ∠NEB= 90°,∠MEB+ ∠NEB= 90°,所以∠CEN= ∠MEB, 所以ΔCEN∽= ΔBEM, 所以CN=BM, 所以AB+AC=正確; ⑤根據(jù)上述基本圖形二, 易知IF為RtΔABC內(nèi)切圓半徑,IF=即AB+AC=BC+2IF=2R+2IF,即IF+R=由④可知,AB+AC=所以,正確.

評(píng)析本題是中考數(shù)學(xué)填空題中多結(jié)論試題,綜合考查了與圓有關(guān)的知識(shí),直角三角形內(nèi)切圓的半徑公式,利用直角三角形的內(nèi)切圓的圓心是內(nèi)角平分線的交點(diǎn),并作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解決本題的難點(diǎn).靈活應(yīng)用上述三個(gè)基本圖形的有關(guān)結(jié)論,對(duì)解決本題提供了幫助.

4 結(jié)語(yǔ)

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“解題的成功,要靠正確的轉(zhuǎn)化.”在教學(xué)中,特別是在復(fù)雜的幾何圖形分析的過(guò)程中,幫助學(xué)生從典型題目中總結(jié)提煉出基本圖形,學(xué)會(huì)從復(fù)雜的幾何圖形中拆分出基本圖形,或者需要添加輔助線來(lái)解決問(wèn)題時(shí),構(gòu)造基本圖形能快速地解決問(wèn)題,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力和邏輯推理能力.