有理數(shù)乘法“負(fù)負(fù)得正”教學(xué)再思考*

廣東省中山市遠(yuǎn)洋學(xué)校(528403) 陳曉明

廣東省中山市民眾中學(xué)(528441) 楊良畏

1 教學(xué)困惑分析

有理數(shù)乘法難教原因就是說不清楚“負(fù)負(fù)得正”這個(gè)法則,或者說生活中沒有較好的情境去解說這個(gè)法則.人教版教材曾嘗試用“蝸牛爬行”的情境,一只蝸牛沿直線爬行,它現(xiàn)在的位置恰好在l上的點(diǎn)O.如果蝸牛一直以每分鐘2厘米的速度向右(左)爬行,3 分鐘后(前)它在什么位置.顯然,對于剛上初一的學(xué)生來說,要理解這個(gè)情境是很困難的,第一種方式本質(zhì)上是用一個(gè)有理數(shù)知識建模解決實(shí)際問題的過程,涉及到時(shí)空因素,而且“時(shí)”包括未來、現(xiàn)在和過去,“空”包括左右兩個(gè)方向, 這種情境對于初一學(xué)生來說很復(fù)雜,對抽象思維能力要求較高,反而對學(xué)習(xí)造成干擾.

在教學(xué)中, 很多教師為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)有理數(shù)乘法法則,創(chuàng)設(shè)了生活化的數(shù)學(xué)情境, 作為一面旗幟來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)法則.筆者在教學(xué)前也詢問了許多有經(jīng)驗(yàn)的教師, 如何處理這個(gè)問題? 大多數(shù)教師都不能很好的用引例說明這個(gè)問題, 即便能舉出個(gè)例子勉強(qiáng)說明負(fù)數(shù)乘正數(shù)和正數(shù)乘負(fù)數(shù)的例子, 但負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)這個(gè)就沒有較好生活實(shí)例能夠解釋清楚, 至少不是那么容易讓學(xué)生理解.“負(fù)負(fù)得正”的教學(xué)是“世界性難題”, 能夠把它說清楚確實(shí)很困難.史寧中教授在文獻(xiàn)[1] 中提出: 從“任何數(shù)與零相乘均等于零”出發(fā), 推算如下: 0 = (?1)×0 = (?1)×[(?1) + (+1)] =(?1)×(?1)+(?1)×(+1)=(?1)×(?1)+(?1).

第三個(gè)等號是用到了乘法的分配律, 第四個(gè)等號是負(fù)數(shù)乘正數(shù), 根據(jù)小學(xué)規(guī)定乘法是數(shù)自身連加的縮寫類比得到.從減法定義可知, 只有(?1)+(+1) 才能等于0, 所以,(?1)×(?1) = +1.但是,我們知道乘法分配律應(yīng)該是在乘法法則之后才加以擴(kuò)充學(xué)習(xí)的,以前小學(xué)只是非負(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)乘法分配律,所以這種教法也是有瑕疵的.但這種想法給予我們一種思考,那就是若按照這種思路走下去,我們規(guī)定的“負(fù)負(fù)得正”它是合理的,這種創(chuàng)造使得乘法運(yùn)算從自然數(shù)集拓展到有理數(shù)集,不僅保持運(yùn)算結(jié)果的統(tǒng)一性,還保留了相應(yīng)的乘法交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律.實(shí)際上,符號法則“負(fù)負(fù)得正”是一種數(shù)學(xué)創(chuàng)造,為的是在保持?jǐn)?shù)學(xué)算術(shù)運(yùn)算律的條件下使運(yùn)算能和諧自如,它是不能“證明”的.在數(shù)學(xué)發(fā)展史上,經(jīng)過很長一段時(shí)間數(shù)學(xué)家才認(rèn)識到這一點(diǎn).負(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,尤其是負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù),是超越經(jīng)驗(yàn)的,用任何具體的例子來解釋都有很大的局限性.因此,我們教師只需要簡單的說明這種法則是合理的,這是一種規(guī)定性的結(jié)果.基于此, 很多教材舍棄了這種“勻速直線運(yùn)動狀況分析”情境教學(xué)模式,選擇了“從正數(shù)×正數(shù)出發(fā)的歸納推理”.現(xiàn)在最新版的人教版教材就是采用歸納推理教學(xué)模式,舍棄以前的“蝸牛爬行”情境教學(xué)模式.

2 人教版教材處理有理數(shù)乘法解析

最新人教版教材舍棄“勻速直線運(yùn)動狀況分析”情境教學(xué)模式,選擇了“從正數(shù)×正數(shù)出發(fā)的歸納推理”.對于這種取舍,筆者認(rèn)為教材編委也是經(jīng)過深思熟慮的,讀者不難發(fā)現(xiàn)人教版最新教材, 從有理數(shù)的概念到運(yùn)算法則和運(yùn)算律,始終堅(jiān)持“歸納式”呈現(xiàn)內(nèi)容.這樣做的目的,主要是為了體現(xiàn)以數(shù)學(xué)知識發(fā)展過程為載體進(jìn)行“思維的教學(xué)”這一數(shù)學(xué)課程的核心任務(wù),使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中,不僅學(xué)會知識,而且受到研究問題的思想方法訓(xùn)練, 從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,逐步發(fā)展獨(dú)立解決問題的能力.

教材在處理有理數(shù)乘法之前就已經(jīng)釋放出信息, 讓學(xué)生對數(shù)學(xué)乘法有初步了解.在學(xué)習(xí)有理數(shù)加減法后,人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級上冊第26 頁習(xí)題1.3 第12 題: 計(jì)算(?2) + (?2), (?2) + (?2) + (?2),(?2)+(?2)+(?2)+(?2),(?2)+(?2)+(?2)+(?2)+(?2).

猜想下列各式的值: (?2)×2,(?2)×3,(?2)×4,(?2)×5.你能進(jìn)一步猜想出負(fù)數(shù)乘正數(shù)的法則嗎?

初一學(xué)生在小學(xué)就已經(jīng)學(xué)過,求幾個(gè)相同加數(shù)的和用乘法.沿用這個(gè)規(guī)定,(?2)+(?2)就可以記作(?2)×2 這是根據(jù)已學(xué)經(jīng)驗(yàn),用具體到抽象的方法,猜想乘法法則.這道習(xí)題的設(shè)置,讓學(xué)生提前了解了乘法法則,雖然是一部分,但可以讓學(xué)生很容易理解“負(fù)數(shù)乘正數(shù)”這一法則.但筆者對這道題目有一些看法,筆者認(rèn)為這道題目應(yīng)當(dāng)舍去.這是基于教材后面的編寫考慮的.

首先,這道題目會干擾我們后續(xù)有理數(shù)乘法的教學(xué),教材對有理數(shù)乘法教學(xué)的處理是采用歸納推理的教學(xué)方法.教材構(gòu)建了如下歸納過程:

觀察3×3 = 9,2×3 = 6,1×3 = 3,0×3 = 0 說規(guī)律(隨著前一個(gè)乘數(shù)逐次減1,乘積逐次遞減3).以問題“要使這個(gè)規(guī)律在引入負(fù)數(shù)后仍然成立,那么應(yīng)有(?1)×3=____,(?2)×3 =____,(?3)×3 =____”引導(dǎo)學(xué)生歸納.學(xué)生可能沒有發(fā)現(xiàn)規(guī)律之前就已經(jīng)根據(jù)前面習(xí)題提供的經(jīng)驗(yàn),直接作出了答案.這樣就不利于我們教學(xué)設(shè)想,會打亂我們教學(xué)節(jié)奏,更不利于后面“負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)”歸納教學(xué).

其次,在這道習(xí)題里面,很容易讓學(xué)生得出2×(?2)結(jié)果,其實(shí)很多教師在習(xí)題講解時(shí),根據(jù)乘法的交換律得出了“正數(shù)乘負(fù)數(shù)”這一有理數(shù)運(yùn)算法則,也破壞了后面的有理數(shù)乘法歸納探索過程.其實(shí),這種心急的教法也是不妥當(dāng)?shù)?因?yàn)橛欣頂?shù)乘法交換律是在有理數(shù)乘法之后.

這道題習(xí)題的存在, 確實(shí)對于我們后續(xù)教學(xué)有點(diǎn)影響,筆者認(rèn)為編者將這道題放置在有理數(shù)加減法習(xí)題后的原因就是為了讓學(xué)生提前了解有理數(shù)乘法法則,但這應(yīng)該是基于后面有理數(shù)乘法法則教學(xué)探討方式是“蝸牛爬行”的“勻速直線運(yùn)動狀況分析”情境教學(xué)模式,這道習(xí)題可以幫助學(xué)生理解這種教學(xué)模式,但是在新編教材選擇了“從正數(shù)×正數(shù)出發(fā)的歸納推理”教學(xué)模式下,沒有起到積極作用,反而干擾了后續(xù)有理數(shù)乘法歸納探索教學(xué).筆者認(rèn)為若舍棄“勻速直線運(yùn)動狀況分析”情境教學(xué)模式,最好也將這道習(xí)題舍去,不必讓學(xué)生提前了解到有理數(shù)乘法法則,保持一點(diǎn)神秘感,更有利于我們后續(xù)教學(xué),也有利于學(xué)生歸納推理能力的培養(yǎng).

3 有理數(shù)乘法的進(jìn)一步思考

教師能夠?qū)⒂欣頂?shù)乘法中“負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)”講清楚,是非常厲害的.筆者聽過很多教師講解“負(fù)負(fù)得正”的教學(xué),大多數(shù)老師仍舊是采用“蝸牛爬行”的情境教學(xué),即使現(xiàn)在教材舍去了這種教學(xué)情境,但許多老教師還是采用這種方式教學(xué).筆者認(rèn)為他們也是無奈之舉,有其他教師來聽課,不設(shè)置一點(diǎn)情境來講解新課,有點(diǎn)不接地氣,而且前面有理數(shù)加減法也是這種教學(xué)情境,視覺上學(xué)生方便理解.有一部分老師抱著這樣心理,不管學(xué)生是否理解這種情境方式,只要后面會用乘法法則解決問題就行.確實(shí),有理數(shù)乘法法則能夠講清楚是很困難的,但是學(xué)生用起來卻一點(diǎn)都不陌生;有理數(shù)加減法教起來很容易,但做題時(shí),學(xué)生很容易弄錯(cuò)符號,尤其是加減混合運(yùn)算時(shí)候.

文獻(xiàn)[2] 提出區(qū)別于教材的教法, 在自然數(shù)集上, 乘數(shù)是數(shù)自身連加的縮寫.對于“乘數(shù)是負(fù)數(shù)”情形, 從負(fù)數(shù)的意義入手, 負(fù)數(shù)與正數(shù)表示相反意義的量, 乘數(shù)為正數(shù)時(shí)表示“有理數(shù)自身的連加”, 那么乘數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)就可以表示“被乘數(shù)自身的連減”.如4×(?3)表示3 個(gè)4 連減, 即4×(?3) =?4?4?4 =?12;(?4)×(?3)表示3 個(gè)?4連減, 即(?4)×(?3) =?(?4)?(?4)?(?4) = 12 這種解釋也讓人眼前一亮,確實(shí)是比較好的一種解釋,這種理解是基于“正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量”的理解.但是這種解釋是不符合數(shù)學(xué)運(yùn)算定義的法則.這種定義是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?n個(gè)數(shù)定義一種運(yùn)算, 只需(n ?1)運(yùn)算符號連接起來.如a×a×b×n×e×y這6 個(gè)字母相乘, 只用5 個(gè)“×”, 而不是文獻(xiàn)中的×a×a×b×n×e×y這種情形,而且這種表達(dá)是錯(cuò)誤的, 再如后續(xù)學(xué)習(xí)的微積分運(yùn)算符號是不能隨意將“∫”置前.基于此, 4×(?3) 表示3 個(gè)4 連減, 應(yīng)當(dāng)是4×(?3)=4?4?4 若表示4×(?3)=?4?4?4 則第一數(shù)應(yīng)表示的是“負(fù)4”而不是“減4”.就算這種解釋牽強(qiáng)通過,但對于初一學(xué)生來說是非常抽象和混亂的,尤其的運(yùn)算符號和正負(fù)號的混亂.所以,筆者不建議這種方式去進(jìn)行教學(xué),若真的進(jìn)行這種教學(xué),筆者認(rèn)為不一定有學(xué)生能夠像文中作者所說那樣,學(xué)生能夠理解和發(fā)現(xiàn)這種算法,筆者認(rèn)為這是難度很高的,一線教師應(yīng)該清楚這一點(diǎn).

筆者在觀摩有理數(shù)乘法教學(xué)時(shí), 發(fā)現(xiàn)有很多教師, 選擇了“從正數(shù)×正數(shù)出發(fā)的歸納推理”這一教學(xué)模式.新教師基本也是采用歸納法進(jìn)行引入教學(xué).筆者在這里發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的教學(xué)現(xiàn)象, 當(dāng)執(zhí)教教師將觀察算式展示如下: (?3)×3 =____, (?3)×2 =____, (?3)×1 =____,(?3)×0 =____,(?3)×(?1) =____,(?3)×(?2) =____,(?3)×(?3)=____.

學(xué)生不僅回答了前面4 個(gè)式子的答案,而且也回答了后面3 個(gè)式子的答案.教師問學(xué)生是如何知道答案的,學(xué)生的回答出乎意料,又在意料之中,學(xué)生說是根據(jù)“負(fù)負(fù)得正”得到后面三個(gè)式子的答案,因?yàn)楹芏鄬W(xué)生在預(yù)習(xí)課本后或者在輔導(dǎo)班培訓(xùn)后早就知道了有理數(shù)的乘法法則.這種教學(xué)方式就會顯得尷尬,沒有按照老師的問題設(shè)計(jì)意圖走,這也是很多新教師遇到的尷尬情境,尤其是在公開課時(shí)候會影響課堂效果.其實(shí),這種錯(cuò)誤并不能怪我們學(xué)生先知先覺有理數(shù)乘法法則,我們常說教師是導(dǎo)演,學(xué)生演的方向錯(cuò)誤,基本上是我們教師導(dǎo)的問題.若稍微改變一下,效果就不一樣,學(xué)生思路肯定會按照我們問題設(shè)計(jì)意圖走.

4 有理數(shù)乘法法則歸納推理教學(xué)細(xì)節(jié)處理

下面構(gòu)建如下課堂歸納過程:

展示3×3 = 9,2×3 = 6,1×3 = 3,0×3 = 0,后面的式子千萬不要展示出來,如果展示出來,學(xué)生很有可能就不會按照教師思路走,很有可能根據(jù)有理數(shù)乘法法則說出答案,這是我們不希望聽到的,此時(shí)教師要體現(xiàn)導(dǎo)演的作用,引導(dǎo)學(xué)生按照我們提供的方向走,讓學(xué)生觀察式子,說規(guī)律(隨著前一個(gè)乘數(shù)逐次減1,乘積逐次遞減3).當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律后,教師再展示(?1)×3 =____,要使這個(gè)規(guī)律在引入負(fù)數(shù)后仍然成立,那么(?1)×3 =?3 就順其自然出來了,注意以設(shè)問方式進(jìn)行,引導(dǎo)學(xué)生歸納得出結(jié)果.順著這個(gè)思路,應(yīng)有(?1)×3=?3,(?2)×3=?6,(?3)×3=?9.

同樣的方式處理“負(fù)數(shù)乘正數(shù)”后,指出:“從算式左右各數(shù)的符號和絕對值兩個(gè)角度觀察上述算式,可以歸納: 正數(shù)乘正數(shù),積為正數(shù);正數(shù)乘負(fù)數(shù),積是負(fù)數(shù);負(fù)數(shù)乘正數(shù),積是負(fù)數(shù).積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的積.”這其實(shí)同之前有理數(shù)加減法類似,先確定符號,然后再確定結(jié)果的絕對值.

利用上面歸納的結(jié)論計(jì)算下面的算式: (?3)×3=____,(?3)×2=____,(?3)×1=____,(?3)×0=____,此時(shí)有一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),如前面一樣,不要急于展示式子(?3)×(?1)=____,(?3)×(?2) =____, (?3)×(?3) =____, 否則學(xué)生會按照他的“負(fù)負(fù)得正”立馬給出答案.教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律后,再一個(gè)一個(gè)的千呼萬喚始出來,最后引導(dǎo)學(xué)生歸納: 負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù),積為正數(shù),乘積的絕對值等于各數(shù)絕對值的乘積.

這樣做的目的就是阻止學(xué)生根據(jù)前面習(xí)題提供的經(jīng)驗(yàn),以防直接作出了答案.這樣利于我們教學(xué)設(shè)想,學(xué)生會按照我們教學(xué)節(jié)奏,層層遞進(jìn),最終歸納發(fā)現(xiàn)有理數(shù)乘法法則.