從“貓抓老鼠”談利用中點解決線段最值問題

廣東省廣州市南沙區(qū)教育發(fā)展中心(511458) 黃安錦

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 版)》強調(diào)學(xué)生親歷知識的發(fā)展過程,能將現(xiàn)實問題抽象并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,并體會其中的數(shù)學(xué)思想方法,在獲得四基的同時,四能得到培養(yǎng),最終發(fā)展成終身學(xué)習(xí)所需的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).最值問題是學(xué)生初中階段必須掌握的重要內(nèi)容,也是近年各地中考的熱點,此類問題一般具有涉及知識面廣、命題類型多、生活應(yīng)用性強等特征,對學(xué)生的綜合解題能力要求也較高.部編版八年級上冊“13.4 課題學(xué)習(xí)——最短路徑問題”重點描述了將軍飲馬和造橋選址兩類問題,這是最常見的線段最值問題,主要依據(jù)是“兩點之間線段最短”.深入探究后我們發(fā)現(xiàn),“線外一點到線上動點最短距離為垂線段距離”,“點心所在直線上可以找到點和圓上的點間最長距離或最短距離”也是解決線段最值問題的常用方法.在剛結(jié)束廣東省2020 年中考中也出現(xiàn)了一道以“貓抓老鼠”為問題背景的線段最值問題,本文以該題的解題模型分析為契點,談?wù)劸€段最值問題的解題策略.

1 題目再現(xiàn)

有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑, 一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠, 等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓、老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點,如下圖1,∠ABC= 90°,點M、N分別在射線BA、BC上,MN長度始終不變,MN= 4,E為MN的中點, 點D到BA、BC的距離分別為4 和2.在此滑動過程中,貓與老鼠的距離DE的最小值為____.

試題分析: 本題涉及直角三角形的基本性質(zhì)、線段的最短距離,對學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想進(jìn)行了考查.此題看起來就是求兩點之間的最短距離,很多學(xué)生看到題目的同時“兩點之間,線段最短”的結(jié)論就出來了,但在對試題進(jìn)行深入了解后深嘆解決問題的方法沒想象中那般簡單,老鼠所在的E點是MN上的一個動點,而試題中并未直接給出E點的運動軌跡,E點隨著梯子MN的滑動而發(fā)生改變,與常見的“將軍飲馬”中的在定直線上找動點的方向大相徑庭,無法找到解題的關(guān)鍵突破后導(dǎo)致失分.

圖1

圖2

圖3

解題分析: 本題的解題關(guān)鍵在于如何確定點E的運動軌跡,題目中給出了幾個非常重要的信息: ①ΔABC是直角三角形; ②點E是斜邊MN上的中點; ③MN= 4,斜邊長度為定值.我們不難發(fā)現(xiàn),BE為RtΔMBN斜邊MN上的中線,則BE=點B與點E間的距離為定值,隨著MN的移動,點E的運動軌跡為圓弧(如上圖2).貓與老鼠的距離為點D到⊙B上點E的距離,利用“點到圓的位置關(guān)系”可以判斷,當(dāng)BD交⊙B于點E時,DE取得最小值(如上圖3),答案也油然于紙上,DE=

2 利用中點解決線段最值問題策略

常見的幾何圖形通常會作為線段最值問題的常見載體,而其中涉及線段中點的線段最值問題也是各地命題中的“香餑餑”,這類問題的解題關(guān)鍵往往與三角形的中線或者中位線相關(guān),如何找出動點的運動軌跡從而構(gòu)建出解決問題的數(shù)學(xué)模型則為解決這類問題的難點.像前面中考題中出現(xiàn)的動點是定長動線段的重點, 且該線段為某直角三角形的斜邊,這類問題只要緊緊抓住“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一基本性質(zhì),基本可以確定該點的運動軌跡為以直角頂點為圓心,以中線長為半徑的圓或某段圓弧上,在點到圓的位置關(guān)系及三角形三邊的關(guān)系往往能輕松破解這類線段最值問題,如2020 年廣東省中考中出現(xiàn)的“貓抓老鼠”問題就屬此類,下面通過幾類變式練習(xí)對解決以三角形為載體的線段最值問題的策略進(jìn)行探索.

變式1如圖4,在坐標(biāo)系xOy中,點A和點B分別為x軸正半軸和y軸正半軸上的點,且AB=4,點C為線段AB的中點,點D為(3,4).當(dāng)OC+CD最小時,求此時點C的坐標(biāo).

圖4

圖5

圖6

解題分析: 從題中不難發(fā)現(xiàn),本問題與例題異曲同工,問題以更直觀的平面直角坐標(biāo)系來描述兩點之間的位置關(guān)系,求OC+CD取得最小值時點C.問題的關(guān)鍵在于定點D與定長線段AB中點E間的距離關(guān)系,顯然,點E的運動軌跡在以點O為圓心,以斜邊AB長度的一半為半徑的圓弧上,利用三角形三邊關(guān)系可知,OC+CD ＞OD(如圖5),當(dāng)點O、C、D共線時,OC+CD取得最小值，利用勾股定理不難求出OC+CD=OD=5,再利用ΔOCH和ΔODG相似的基本性質(zhì),可求得點C的坐標(biāo).

解如圖6,因為點C是RtΔAOB斜邊AB上的中點,所以O(shè)C== 2,過點O,以2 為半徑作圓,連接OD,交⊙O于點C.分別過點C、點D作CH⊥x軸于點H,DG⊥x軸于點G.

因為點D為(3,4),所以O(shè)G=3,DG=4,在RtΔDOG中,OD=當(dāng)點O、C、D共線時,OC+CD取得最小值, 最小值為OD= 5.又因為∠COH= ∠DOG, ∠CHO= ∠DGO= 90°, 所以ΔOCH∽ ΔODG.所以即解得所以此時點C的坐標(biāo)為

拓展思考: 若把上述條件中“當(dāng)OC+CD最小時”改為“當(dāng)OC+CD取得最值時”,結(jié)論會發(fā)生怎樣的變化呢?

變式2如圖7, 在ΔABD中, ∠ABD= 90°,AB=BD= 4,點A和點B分別在x軸和y軸上運動,求在運動過程中OD的最大值.

圖7

圖8

圖9

解題分析: 從題中不難發(fā)現(xiàn),ΔAOB和ΔABD都是直角三角形,且在點A和點B運動過程中斜邊AB為定長,與變式1 區(qū)別在于點D的位置會隨著AB的運動而變化,求點D的運動軌跡似乎太困難,我們不妨從其他地方入手.如圖8,點D的位置取決于AB的位置,動線段AB長度為定值,且為RtΔAOB的斜邊,則AB的中點C必在⊙O上,半徑r= 2.在ΔOCD中我們知道,OC+CD ＞OD,所以當(dāng)點O、C、D三點共線時,OD=OC+CD,此時OD有最大值(如圖9).

解如圖8, 在AB上找出它的中點C, 連接OC、CD,因為在RtΔAOB中,AB= 4, 所以O(shè)C=BC=AC== 2.在RtΔBCD中,BC= 2,BD=AC= 4,所以CD=當(dāng)點O、C、D三點共線時,OD有最大值,OD=OC+CD=2+

拓展思考: 在運動過程中,OD有最小值,如果有,求出它的最小值.

變式3如圖10,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(6,0)和點B(0,8)分別在x軸和y軸上,點C為⊙A上的一個動點,已知⊙A的半徑為4.連接BC,點D為BC的中點,求點D到原點O的最值.

圖10

圖11

圖12

圖13

解題分析: 這個問題討論的是定點O和從動點D間的最短距離.從題中我們可以發(fā)現(xiàn),ΔAOB是一個確定的直角三角形,點C為⊙A上的動點,自然可以聯(lián)想到點D為BC上的從動點,且點D的位置隨著點C繞⊙A運動的過程而發(fā)生改變,所以所求線段OD也是動線段.如圖11,從題目已知點D為BC的中點,ΔABC與RtΔAOB存在公共邊AB且AB為RtΔAOB的斜邊,我們不妨大膽在AB上找出它的中點E,易知DE為ΔABC的中位線,OE為RtΔAOB斜邊上的中線,OE和DE的長不難求得, 再利用三角形三邊關(guān)系得出OE+DE ＞OD, 當(dāng)點O、E、D三點共線時,OD取得最值(如圖12、13).

解如圖11,連接AC,取AB得中點E,連接OE、DE.因為點D為BC的中點,點E為AB的中點,所以DE//AC,DE== 2.在RtΔAOB中,OA= 6,OB= 8,所以AB== 10,OE== 5.在ΔDOE中, 根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”可知:OE+DE ＞OD.

(1)如圖12,當(dāng)點O、E、D三點共線,且點E在線段OD上時,OD有最大值,此時OD=OE+DE=5+2=7;

(2)如圖13,當(dāng)點O、E、D三點共線,且點D在線段OE上時,OD有最小值,此時OD=OE ?DE=5?2=3;所以點D到原點O的最大值為7,最小值為3.

拓展思考: 若點A和點B分別是坐標(biāo)軸上的動點,運動過程中保持AB= 10,其他條件不變,此時BC邊上的中點D到原點O的距離是否存在最值? 最值是多少?