層層遞進,深入探究
——以一道浙江中考題為例

浙江省杭州市杭州外國語學校(310023) 傅旭丹

2020 年杭州市的中考第23 題跟2019 年一樣仍然是圓的綜合題型,難度較大,需要學生有一定的數(shù)學積累以及技巧性的處理.筆者與學生一起,在課堂上探究本題的多種解法時作了幾個變式拓展,記下與同行分享.

1 原題呈現(xiàn)

(2020 杭州市中考)如圖1,已知AC,BD為⊙O的兩條直徑, 連接AB,BC,OE ⊥AB于點E, 點F是半徑OC的中點,連接EF.

(1) 設⊙O的半徑為1, 若∠BAC=30°,求線段EF的長.

圖1

(2)連接BF,DF,設OB與EF交于點P,

①求證:PE=PF.

②若DF=EF,求∠BAC的度數(shù).

由于第一小題比較容易,筆者著重探究第二小題兩問的解法與變式.

參考答案: ①作FG ⊥AB于點G, 與BO交于點H,連接EH.通過證明OE與FH平行且相等可得四邊形OEHF是平行四邊形, 故PE=PF.②由于FG平行于OE、BC,F為OC中點, 故FG既是高線又是中線, 所以EF=FB=DF;又O是BD的中點,因此FO ⊥BD,于是∠BAC=45°.

2 解法探究

這是一道平面幾何綜合題,命題者將輔助線、特殊三角形和圓的基本性質完美地結合在一起,比以往中考題更加靈活.參考答案看起來簡潔明了,似乎難度并不大.但學生不一定能馬上想到輔助線,進入既定“軌道”.筆者引導學生一起思考并補充,整理了幾種不同解決方案.

方案一:

①如圖2, 取OA中點I, 連接IE.由I、E分別是OA、AB的中點可得IE平行于OB; 再由O是IF的中點可知,P平分EF, 即PE=PF.

②過點F作FG ⊥AB于點G,做法與參考答案一樣.

圖2

以上最后一問的解法,關鍵在于證明EF=BF.由此筆者整理了以下兩種通過構造全等三角形來證明線段相等的方案.

圖3

圖4

方案二:

①如圖3, 過F作FG//AB, 連接CD.因為F是OC的中點, 故FG=由垂徑定理可知,=FG,再由FG//BE得ΔFGP與ΔEBP全等,故PE=PF.

②通過SAS可證明ΔAEF∽= ΔGFB,得到EF=FB以后同參考答案.

方案三:

①同以上任何一種.

②如圖4, 通過SAS可證明ΔEOF∽= ΔBMF, 得到EF=FB以后同參考答案.

事實上,不管是哪種解決方案, 學生必須先能結合所學知識找到合適的輔助線,這對很多初中生來說非常困難,此時解析法很有可能可以幫上大忙.由題意可知, 四邊形ABCD是矩形,所以如圖5 建立平面直角坐標系.于是有以下方案.

圖5

方案四:

①設B(c,0),D(0,d),則C(c,d),利用待定系數(shù)法可求得直線EF與BD的解析式分別為聯(lián)立求出交點為再利用兩點間距離公式可得PE=PF.

②由EF=DF得因此c=d,于是∠BAC=45°.

相比之下,解析法在求證第一個結論時計算顯得有些繁瑣,但很快能得到第二個結論.解題過程中對學生的思維要求相對較低,不失為一種好的方案.眾所周知,歷年中考數(shù)學壓軸題有以下設計特點: 知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關系復雜、思路難覓、解法靈活.一般情況我們能從多個角度來解題,涉及的知識點和方法有所不同.本題就有以上優(yōu)秀壓軸題應有的所有氣質,不得不說命題人很高明.教師平時多給學生講解此類問題,探究一題多解,可以在解題過程中復習鞏固各項知識點,提高學生解題興趣并提升思維品質.

3 變式拓展

在探究一題多解的同時,筆者讓學生思考能否將本題做改編.可以固定題中直徑AC的位置,BD在轉動,由于F位置不變,E在改變,所以DF與EF的長度都隨著BD發(fā)生變化.于是筆者打算探究一下DF與EF的長度之比.

接著方案四的解析法, 由于EF=當d /= 0 時,λ=因為當d= 0 時,λ= 3.綜上所述,λ ∈本題最后一問就是當λ= 1 時求∠BAC的度數(shù),那么λ取其它值時∠BAC是幾度呢?

變式1已知AC,BD為⊙O的兩條直徑, 連接AB,BC,OE ⊥AB于點E, 點F是半徑OC的中點, 連接EF,BF,DF,設OB與EF交于點P,若DF=2EF,求∠BAC的度數(shù).(答案: tan ∠BAC=

變式2已知AC,BD為⊙O的兩條直徑, 連接AB,BC,OE ⊥AB于點E, 點F是半徑OC的中點, 連接EF,BF,DF,設OB與EF交于點P,若∠BAC= 60°,求DF:EF.(答案:

以上兩個問題用幾何法解起來比較困難,解析法通過將已知條件轉化為點的坐標之間的關系,能輕松解決.事實上,圖形當中還有兩條動線段DE與CE(DE=CE).我們同樣可以探究DE與EF的長度比值對∠BAC的影響.

當d /= 0 時,κ=因為當d= 0 時,κ= 2.綜上所述,κ ∈于是筆者給出以下兩個變式,讀者可以自行計算.

變式3已知AC,BD為⊙O的兩條直徑, 連接AB,BC,OE ⊥AB于點E, 點F是半徑OC的中點, 連接EF,BF,DF,設OB與EF交于點P,若DF=求∠BAC的度數(shù).(答案: 45°)

變式4已知AC,BD為⊙O的兩條直徑, 連接AB,BC,OE ⊥AB于點E, 點F是半徑OC的中點, 連接EF,BF,DF,設OB與EF交于點P,若∠BAC= 60°,求DE:EF.(答案:

做完以上變式, 學生繼續(xù)挖掘原題中可以變化的條件,提出如果將F變?yōu)榫€段OC的三等分點,我們是否可以做相應的探究呢?

圖6

圖7

圖8

如圖6,F,G是OC的三等分點,E,H是AB的三等分點.找到線段OA的三等分點I,J, 連接IE,JH.根據(jù)平行線分線段成比例定理不難證明FP:PE= 2 : 1,GQ:QH=1:2.與F為OC的中點時同理,我們可以證明圖中EF=FB,于是當DF=EF時∠BAC= 45°.事實上,若DG=GH,∠BAC大小不變.這些探究學生自己能完成,如果探究到此為止,那么也就跟原題大同小異并沒有什么新意.筆者發(fā)現(xiàn)圖中GH與GB長度也相等,那么GH和EF的長度有何關系呢?

變式5已知AC,BD為⊙O的兩條直徑,連接AB,BC.E,H是AB的三等分點,點F,G是半徑OC的三等分點,連接EF,BF,DF,GH,GB, 設OB與EF、GH分別交于點P、Q.

(1)求證:FP:PE=2:1,GQ:QH=1:2.

(2)若DF=EF,求∠BAC的度數(shù).

(3)若GH=EF,求∠BAC的度數(shù).

關于第三問, 當GH=EF時,BF=BG.過B作BK ⊥OC于點K,則K為FG的中點.設CK=a, 則AK= 3a,由射影定理可得BK=于是tan ∠BAC=故∠BAC=30°.更一般地,我們有如下結論.

推論如圖8, 已知AC,BD為⊙O的兩條直徑,連 接AB,BC.E1,E2,··· ,En?1是AB的n等分點,點F1,F2,··· ,Fn?1是半徑OC的n等分點,設OB與E1F1,E2F2,···En?1Fn?1分別交于點P1,P2,··· ,Pn?1.則有以下結論:

①FiPi:PiEi=(n ?i):i,其中i=1,2,··· ,n ?1.

②若DF=EiF i(i=1,2,···n ?1), 則∠BAC=45°.

③n為奇數(shù)時, 若對于某個i= 1,2,··· ,有EiF i=En?iFn?i, 則∠BAC= 30°;n為偶數(shù)時, 若對于某個i= 1,2,··· ,?1, 有EiF i=En?iFn?i, 則∠BAC=30°.

4 一點反思

對于一線教師來說,中考、高考題是不可多得的寶貴資源,如何用好這個資源是我們永恒的課題.真題是考試的精華所在, 它將考試范圍內的知識點以題目的形式展現(xiàn)出來,這也是命題專家智慧的結晶.真題充分體現(xiàn)該題命題思路和意圖,教師應該帶領學生通過分析題目的關鍵要點,了解相關內容的意義,學會從命題者的角度分析問題,尋找解決問題的切入口,培養(yǎng)“題感”.要在課堂上講好一道題,教師需引導學生從多方面思考問題,找到多種解題方法,從而盡可能全面地復習所學知識點.比如用幾何法解本題時,要求學生有非常強的應變能力,靈活度大.此時看看能否建立直角坐標系,將平面幾何問題轉化為點、線段、角度的計算問題,思維上的要求就低了很多.同時,也可以讓學生嘗試改編題目,自己編、自己解,這種體驗非常有意思.學生提出將中點改成三等分點后,相應問題的探究其實跟之前大同小異.學生可以再次理清求證思路,加深理解.教師在此基礎上,可以適當開拓新的問題,這樣不僅可以激發(fā)學生的解題興趣,也更有解題的成就感,提高思維的靈活度.另一方面,教師也能在教學活動中積累“功力”,提升專業(yè)素養(yǎng).