數(shù)形結合思想在中職數(shù)學解題中的應用

韋忠厚

【摘 要】本文針對數(shù)形結合思想在中職數(shù)學教學中應用比較少的情況，論述中職教師應將數(shù)形結合思想貫穿教學全過程，將數(shù)形結合思想與函數(shù)問題、集合問題、方程問題、空間問題等進行多點對接，提出整合數(shù)形結合思想教學資源、優(yōu)化數(shù)形結合思想的教學設計、落實數(shù)形結合思想教學活動、創(chuàng)新數(shù)形結合思想訓練對策等教學建議。

【關鍵詞】中職數(shù)學 數(shù)形結合思想 解題應用

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）42-0130-02

數(shù)形結合思想是一種將數(shù)量關系與圖形形象相結合，將抽象知識與具體形象相互轉化的數(shù)學方法。數(shù)形結合思想既是優(yōu)化數(shù)學知識演繹，促進學生對數(shù)學新知識的認知和理解的重要數(shù)學思想，也是學生用以分析和解決數(shù)學問題的有效方法。教學中，教師應立足數(shù)形結合思想的本質內涵，圍繞數(shù)學知識的特點和課堂教學的目標要求，靈活運用數(shù)形結合思想設計多樣的教學活動，有效引導學生在更深層次上把握數(shù)形結合思想的應用，豐富學生解決數(shù)學問題的技巧和方法，提高學生的學習能力和學習效率。

一、整合數(shù)形結合思想教學資源解決函數(shù)問題

中職數(shù)學學科的大部分教學內容與數(shù)量關系和圖形關系有關，這為在教學中滲透數(shù)形結合思想提供了豐富的對接點和融合點。教師要研究教材、深潛生活，從中挖掘有助于在教學中滲透數(shù)形結合思想的教學元素，加強數(shù)形結合思想教學資源的整合與投放，為學生應用數(shù)形結合思想解決數(shù)學問題創(chuàng)造更多契機。特別是在教學函數(shù)時，教師應積極尋找合適的函數(shù)教學的切入點，做好數(shù)形結合思想教學資源的開發(fā)整合和靈活投放，從而引導學生一一厘清函數(shù)表達式與函數(shù)圖形的數(shù)形關系，將抽象的函數(shù)問題變?yōu)橹庇^、易懂的數(shù)學圖形，降低函數(shù)問題的分析難度，幫助學生快速找到解決問題的思維突破口，提高學生解決函數(shù)問題的效率。

函數(shù)教學具有很強的拓展性，教師可根據(jù)學生數(shù)學能力發(fā)展的需求，引入不同考查類型、運用不同解題思路和方法的函數(shù)問題，鍛煉并提高學生運用數(shù)形結合思想解決問題的能力。如人教版中職數(shù)學必修1《基本初等函數(shù)》這一章節(jié)，涵蓋了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)三種函數(shù)的教學內容。教師在開展教學活動時，應根據(jù)每種函數(shù)的具體性質和特點，廣泛整合數(shù)形結合思想教學資源，引導學生運用這一思想解決相應的函數(shù)問題。在具體教學中，教師可操作如下：在新知演繹環(huán)節(jié)，教師向學生展示代表性較強的幾組函數(shù)圖形，讓學生觀察、比較函數(shù)表達式和函數(shù)圖象的對應關系，理解函數(shù)的數(shù)圖關系特點，從而更加深入地理解函數(shù)的內涵;在課堂訓練環(huán)節(jié)，教師進一步篩選數(shù)形結合思想的訓練資源，開展“根據(jù)函數(shù)表達式繪制相應的函數(shù)圖形”和“根據(jù)函數(shù)圖象推導函數(shù)表達式”兩個維度的訓練活動，深化學生對函數(shù)性質、函數(shù)圖象等的認知，強化數(shù)形結合思想的運用。

在本章節(jié)的教學中，教師圍繞章節(jié)教學主要目標，系統(tǒng)整合與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等核心知識相關的數(shù)形結合思想教學資源，并在新知教學中利用這些感性認知素材增強學生學習數(shù)學的直觀體驗，促進數(shù)學新知的生成，確保學生能夠準確構建三種函數(shù)的認知體系;在課堂訓練環(huán)節(jié)，設計正向、逆向兩個維度的訓練活動，有效增強了學生使用數(shù)形結合思想構建函數(shù)問題解題模型的能力。

二、優(yōu)化數(shù)形結合思想的教學設計解決集合問題

數(shù)形結合是一種涵蓋領域非常廣的數(shù)學學習思想方法，在利用這一思想教學不同數(shù)學知識、解決不同類型數(shù)學問題時，教師要立足教學實際、學生學情，不斷調整、優(yōu)化課堂教學策略和指導方法，教會學生運用數(shù)形結合思想的方法，最大限度地發(fā)揮數(shù)形結合思想的教學價值、實用價值。集合問題是中職數(shù)學的重要教學內容，教師指導學生運用數(shù)形結合思想分析集合問題時，需要準確把握不同集合的性質，教會學生正確畫出集合的數(shù)軸圖、文氏圖等，讓學生學會運用指向性更明確的數(shù)形結合思想辨別、區(qū)分其中的關鍵解題要素，幫助學生構建多種類型的集合問題的解題模型，使學生能夠快速、準確地解決集合問題。

數(shù)軸圖、文氏圖是解決集合問題常見的兩種圖形，教師應根據(jù)集合問題的考查特點，剖析這兩種圖形所適用的集合問題類型，合理選用兩種圖形分析和解決集合問題，提高學生數(shù)形結合思想的應用能力。如題：“設集合A={x|x≤3}，B={x|x<1}，求A∩B，A∪B分別為？”這一問題的考查維度局限于數(shù)量層面，數(shù)軸圖能夠直觀反映其中的數(shù)量關系。解題時，教師首先要求學生根據(jù)題意分別畫出集合A、集合B的數(shù)軸圖，然后觀察兩個圖形所包含的數(shù)學信息，學生很快便找出A∩B，A∪B對應的區(qū)域。而文氏圖則適合用于解決更為復雜的集合問題，如題：“某班有50人報名參加兩門學科競賽，參加A學科競賽的人數(shù)為33人，參加B學科競賽的人數(shù)為30人，且兩門學科競賽都參加的人數(shù)比都不參加的人數(shù)的3倍少3人，求只參加B學科競賽的有多少人？”解決這一問題時，教師著重引導學生使用文氏圖正確分析不同集合間的交集、并集關系，獲取已知條件中的數(shù)量關系從而解決問題。

教師根據(jù)集合問題考查維度的差異性，有針對性地教學生運用數(shù)軸圖和文氏圖分析、解決不同類型的集合問題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結合思想在解決集合問題方面的獨特優(yōu)勢，提高了學生對數(shù)形結合思想的重視程度，強化了學生解決集合問題的思維訓練，使學生能夠根據(jù)不同問題靈活選擇不同數(shù)形結合方法。

三、落實數(shù)形結合思想教學活動解決方程問題

很多數(shù)學應用題的解決都需要使用方程式分析、表達題目所呈現(xiàn)的數(shù)量關系，并畫出對應的圖形才可解決問題。教師應以這些數(shù)學應用題為抓手，加強數(shù)形結合思想教學活動的組織與落實，讓學生在運用數(shù)形結合思想解決問題的過程中碰撞出更多智慧的火花。在中職數(shù)學中，有很多數(shù)學應用題都存在容易被忽視的隱性條件，這對學生的綜合性思維與分析性思維提出了更高要求，教師在開展數(shù)形結合思想教學活動時要做好思維啟發(fā)，著重引導學生學會利用數(shù)學圖形挖掘題目中的隱性解題要素，避免學生解題時出現(xiàn)錯誤答案或遺漏正確答案。

解決方程問題需要學生綜合分析題目中的數(shù)據(jù)，但是題目涉及的數(shù)據(jù)往往都比較錯綜復雜，學生要想快速厘清數(shù)量關系，采取數(shù)形結合的方法是一條捷徑。如有這樣一道題目：“某地區(qū)為盤活資本，決定投資建設線路板廠和機械加工廠。經預算，如果引進新工藝，線路板廠和機械加工廠可能獲得的最大盈利率分別是95%和80%，可能產生的最大虧損率分別為30%和10%。在最多出資100萬元的情況下，要求確保可能出現(xiàn)的資金虧盈不超過18萬元，如何投資兩個工廠才能實現(xiàn)可能利潤的最大化？”面對此類與生活息息相關的“最優(yōu)化”問題，筆者要求學生自主思考、確定題干提供的數(shù)量關系，然后根據(jù)條件列出線性約束條件和設定目標方程，將方程問題轉化為函數(shù)問題，并繪制相關圖形構建解題模型。隨后，筆者組織學生交流分享思考路徑、解題方法、解題思路和過程，分享自己關于運用數(shù)形結合思想解決方程問題的感受和自身的理解。

教學中，教師要尊重學生的學習主體地位，在設計教學活動時賦予學生充足的思考時間和廣闊的思維空間，增強學生運用數(shù)形結合思想解決數(shù)學問題的活力。在該例題教學中，教師依托生活實際問題，設計更具自主性、探究性的互動學習活動，讓學生在交流討論和說理表達中深入學習數(shù)形結合思想，并在思維的多元交互中彌補自身解題思維、解題方法的不足，豐富了學生解決方程問題的思路和方法，提高了學生解決數(shù)學問題的能力。

四、創(chuàng)新數(shù)形結合思想訓練方式解決幾何空間問題

滲透數(shù)形結合思想，強化學生數(shù)學解題能力，是一個系統(tǒng)化的教學工程，需要連貫性較強的教學規(guī)劃。也就是說，教師應創(chuàng)新數(shù)形結合思想訓練方式，圍繞特定的數(shù)形結合思想應用方法開展長期、系統(tǒng)的教學，不斷深化學生對數(shù)形結合思想的理解和應用，給學生帶來更具持續(xù)性的思維訓練?？臻g問題是中職數(shù)學的重要內容，學生在處理一些復雜的空間圖形時，只是簡單地從圖形角度入手，難以發(fā)現(xiàn)解決問題的關鍵點，容易陷入解題的“死胡同”。教師依托典型性較強的空間問題，指導學生運用數(shù)形結合思想，將抽象復雜的空間問題轉化成代數(shù)計算問題，降低了復雜空間圖形的分析難度，能夠有效提高學生解決空間問題的效率。

如在《函數(shù)模型及其應用》這一小節(jié)的內容中，存在很多“裁剪鐵板”“菜園用地規(guī)劃”等關于空間利用的生活問題，解決這類問題需要學生靈活構建函數(shù)計算模型。要想實現(xiàn)這一教學目標，教師在展開相關例題教學時，可借助信息技術向學生呈現(xiàn)這些復雜生活問題所涉及的圖形元素，開展直觀教學活動，讓學生根據(jù)問題信息利用電腦或教學交互機繪制相關圖形，并認真觀察圖形素材，在反復繪制、觀察、糾正的過程中，發(fā)現(xiàn)有利于解決問題的定性關系，然后構建與問題條件密切相關的函數(shù)模型，將空間問題轉化為代數(shù)問題，助力學生解決空間問題。

教學中，教師利用信息技術創(chuàng)新了數(shù)形結合思想的訓練模式，用直觀教學活動助推學生探索解決空間問題的有效方案，在直觀圖形和定性關系相互轉化中找到正確的解題切入點，提高了學生數(shù)學解題思維訓練的品質。此外，教師還可以進一步拓展數(shù)形結合思想訓練的范圍，設計更多的課后數(shù)學學習實踐活動，讓學生結合生活現(xiàn)象、生活問題自主發(fā)掘數(shù)學問題，加深學生運用數(shù)形結合思想的實踐體驗，促進學生數(shù)形結合思想的有效內化。

總而言之，中職數(shù)學學科涉及的知識內容非常廣泛，對學生的思維品質要求更高，要想提高學生學習數(shù)學的效率，教師需要充分調動學生的學習積極性，教會學生更多行之有效的學習方法和應用技巧。而數(shù)形結合思想可以輔助學生從數(shù)量關系和圖象兩個維度理解、運用數(shù)學知識，豐富學生解決數(shù)學問題的方法和手段，從而達成深度學習的目標。在教學中，教師要加強數(shù)形結合思想與函數(shù)問題、集合問題、方程問題、空間問題的多點對接，教會學生運用數(shù)形結合思想更加有效地分析和解決不同類型的數(shù)學問題，增強學生數(shù)形結合思想解決實際問題的應用能力，凸顯了數(shù)形結合思想在數(shù)學教學和學習中的實用價值，推動學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展。

【參考文獻】

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（責編 施景茗）