在解題教學(xué)中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的實(shí)踐與思考

【摘要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確將數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)納入課程目標(biāo)，并提出基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。研究者在分析一道數(shù)學(xué)高考模擬題中學(xué)生的得分情況、題目背景、解法探究的基礎(chǔ)上，提出解題教學(xué)活動(dòng)中積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的三個(gè)教學(xué)思考：解題思維障礙的突破、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累、運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】解法探究;活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);運(yùn)算素養(yǎng);思維障礙

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確將數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)納入課程目標(biāo)，并提出基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。那什么才是數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？有研究者指出，所謂數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，就是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲取的經(jīng)得起推敲的感悟體驗(yàn)。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動(dòng)中，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)知識(shí)、解題方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思學(xué)習(xí)的能力，進(jìn)而內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中如何有效地幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，本文以一道高考數(shù)學(xué)模擬題的解題教學(xué)為例進(jìn)行分析和研究。

一、試題呈現(xiàn)

例題（2020年蘇錫常鎮(zhèn)高考數(shù)學(xué)模擬題）某地為改善旅游環(huán)境進(jìn)行景點(diǎn)改造（如圖1）。如圖2，將兩條平行觀光道l1和l2通過(guò)一段拋物線形狀的棧道AB連通（道路不計(jì)寬度），l1和l2所在直線的距離為0.5（百米），對(duì)岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5（百米）（其中A為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸垂直于l3，且交l3于M），在堤岸線l3上的E，F(xiàn)兩處建造建筑物，其中E，F(xiàn)到M的距離均為1（百米），且F恰在B的正對(duì)岸（即BF⊥l3）。

（1）在圖2中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求棧道AB的方程。

（2）游客（視為點(diǎn)P）在棧道AB的何處時(shí)，觀測(cè)EF的視角（∠EPF）最大？請(qǐng)?jiān)诘冢?）題的坐標(biāo)系中，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

本題主要考查拋物線的方程、兩角和與差的三角公式、基本不等式與導(dǎo)數(shù)求最值等內(nèi)容，考查解析法研究三角問(wèn)題，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本題以實(shí)際應(yīng)用為背景，考查學(xué)生的建模能力以及解決實(shí)際問(wèn)題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

二、考情分析

以下是筆者所在市區(qū)4530名學(xué)生的答題得分情況（見(jiàn)表1和表2）。

從表2可以看出，第（2）題的平均分只有2.29分，難度系數(shù)為0.25。從閱卷情況來(lái)看，學(xué)生得分低的主要原因是：大部分學(xué)生選擇了余弦函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)求角的最值，只有極少數(shù)學(xué)生能求出式子（y²₀-2y0+3）/√{（y²₀-2y0+5）²-8y0}的最值;還有部分學(xué)生選擇了正切函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，但目標(biāo)函數(shù)的式子求錯(cuò)，導(dǎo)致不能得到正確結(jié)果。

本題的文化背景是米勒視角問(wèn)題，對(duì)于很多學(xué)生來(lái)說(shuō)還是比較熟悉的，在平時(shí)的教學(xué)中也多次涉及。筆者本以為這是一道得分率比較高的試題，但從學(xué)生的實(shí)際得分情況來(lái)看，學(xué)生的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)并沒(méi)有達(dá)到教師預(yù)想的水平。于是，筆者在講解本題之前，先向?qū)W生展示這道題的源流。

三、題目溯源

題1（1986年高考全國(guó)卷） 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上給定兩定點(diǎn)A，B，試在x軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上求點(diǎn)C，使∠ACB取得最大值。

題2（蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修5第102頁(yè)習(xí)題）如圖4，有一壁畫，最高點(diǎn)A處離地面4 m，最低點(diǎn)B處離地面2 m。若從離地高1.5 m的C處觀賞它，則離墻多遠(yuǎn)時(shí)，視角θ最大？

題3（米勒問(wèn)題） 15世紀(jì)時(shí)，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家米勒提出一個(gè)有趣的問(wèn)題：在地球表面什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)？即在什么部位，視角最大？米勒提出的最大視角問(wèn)題是數(shù)學(xué)史上100個(gè)著名的極值問(wèn)題之一。

以上三道試題都可以看作是例題的題源，它們都有著共同的問(wèn)題結(jié)構(gòu)。

四、基于學(xué)情的教學(xué)實(shí)踐

（一）學(xué)情調(diào)查

為了開(kāi)展更有針對(duì)性的教學(xué)，筆者對(duì)所在學(xué)校的766名高三學(xué)生做了問(wèn)卷調(diào)查，學(xué)生在解該題時(shí)暴露的思維障礙點(diǎn)主要有：（1）兩角和的正切公式記憶不準(zhǔn)確;（2）對(duì)二分之一次型函數(shù)的解題方法不熟練;（3）不會(huì)處理含有根號(hào)和分式的函數(shù);（4）解題過(guò)程中思維定式現(xiàn)象比較多。

（二）教學(xué)過(guò)程

1.展示學(xué)生答卷，積累規(guī)范答題經(jīng)驗(yàn)

例題的第（1）問(wèn)比較常規(guī)，從答題情況來(lái)看，學(xué)生的得分率很高。在教學(xué)過(guò)程中，筆者首先請(qǐng)學(xué)生講解其正確的解題過(guò)程，然后引導(dǎo)學(xué)生反思如何建立平面直角坐標(biāo)系更合理。

解：以A為原點(diǎn)，l1所在的直線為x軸，AM所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖5）。

由題意可知A（0，0），B（1，1/2），

設(shè)拋物線方程為x2=2py（p>0），則1=2p×1/2，解得p=1。

所以棧道AB的方程為x2=2y（0≤x≤1）。

2.拓展解題思路，積累分式函數(shù)解題經(jīng)驗(yàn)

在第 （2）問(wèn)的解題教學(xué)過(guò)程中，筆者關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生如何對(duì)∠EPF的三角函數(shù)進(jìn)行選擇。不少學(xué)生表示受以前解類似題的經(jīng)驗(yàn)啟發(fā)，如果主動(dòng)添加輔助線，即過(guò)點(diǎn)P作PH⊥l3于點(diǎn)H，則∠EPF=∠EPH+∠FPH，這樣會(huì)容易想到通過(guò)選擇角的正切研究?jī)山呛偷恼?。這樣做的原因有兩個(gè)方面：一是容易列出兩個(gè)角的正切函數(shù);二是兩角和的正切公式涉及的三角函數(shù)只有正切，沒(méi)有根號(hào)，較容易求出最值。

解法1：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥l3于點(diǎn)H，設(shè)P（x0，y0），∠EPH=α，∠FPH=β，則∠EPF=α+β，tanα=1+x02-y0，tanβ=1-x02-y0，所以tan（α+β）=2（2-y0）（2-y0）2-1+x20=2（2-y0）（2-y0）2-1+2y0。令t=2-y0∈[XC左中.TIF;%80%80，JZ]32，2[XC右中.TIF;%80%80，JZ]，則00，所以α+β∈[DK][XC括1.TIF，JZ]0，π2[XC括2.TIF，JZ]。因?yàn)閥=tanx在[XC括1.TIF，JZ]0，π2[XC括2.TIF，JZ]上遞增，所以當(dāng)tan（α+β）最大時(shí)，α+β最大，即∠EPF最大。此時(shí)y0=2-3，x0=3-1，即P[DK]（3-1，2-3）。

在該解題過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生積累解題要有預(yù)判性的相關(guān)基本經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于如何合理選擇目標(biāo)函數(shù)研究∠EPF，一般有以下方法：一是如果一個(gè)分母是二次形式，分子是一次形式的分式函數(shù)，可以利用換元化歸出例如t+3t的式子，再用基本不等式求出最值即可;二是從解題規(guī)范性看，在解題中應(yīng)說(shuō)明正切函數(shù)的單調(diào)性。

3.克服思維障礙，提升處理復(fù)雜根式的能力

從學(xué)生的問(wèn)卷調(diào)查以及批卷過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生選擇利用向量的夾角公式，得到∠EPF的余弦函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)20-2y0+3（y20-2y0+5）2-8y0，或者利用等面積法得到∠EPF的正弦函數(shù)表達(dá)式2[DK]（2-y0）（-1-x0）2+（2-y0）2·（1-x0）2+（2-y0）2。因?yàn)椴簧賹W(xué)生在三角或者向量中求角的相關(guān)最值問(wèn)題，用得較多的目標(biāo)函數(shù)是余弦函數(shù)或者是正弦函數(shù)，所以當(dāng)學(xué)生看到此題后，不假思索的就用余弦函數(shù)或者正弦函數(shù)求解最大角，但對(duì)于上述兩個(gè)式子，由于學(xué)生缺乏相關(guān)的整體換元的經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)致無(wú)法求解。因此，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生積累對(duì)根式的處理以及整體換元化簡(jiǎn)式子的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于上述兩個(gè)式子，在分母上有兩個(gè)根號(hào)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用平方差進(jìn)行化簡(jiǎn)，而分子上沒(méi)有根號(hào)，此時(shí)要把根號(hào)外的式子通過(guò)平方放進(jìn)根號(hào)內(nèi)，同時(shí)還要注意觀察如何進(jìn)行整體換元。最后讓學(xué)生在對(duì)比分析解法1的過(guò)程后，靈活進(jìn)行解題預(yù)判，改進(jìn)解題方法。

解法2：設(shè)P[DK]（x0，y0）（其中0≤x0≤1，0≤y0≤12），則x20=2y0。

從而cos∠EPF=PE·PF|PE|·|PF|=y20-2y0+3（y20-2y0+5）2-8y0

=（y20-2y0+3）2（y20-2y0+3）2+4（y20-2y0+3）+4-8y0

=11+4（y0-2）2（y20-2y0+3）2。

令t=2-y0，則t∈[XC左中.TIF;%80%80，JZ]32，2[XC右中.TIF;%80%80，JZ]，所以（2-y0）（y20-2y0+3）=tt2-2t+3=1t+3t-2≤123-2。

（余下過(guò)程略）

解法3：設(shè)P[DK]（x0，y0）（其中0≤x0≤1，0≤y0≤12），則x20=2y0。

設(shè)∠EPF=θ，由△EPF的面積可知12·EF·|2-y0|=12PF·PE·sinθ，

則sinθ=2·[DK]（2-y0）PE·PF=2[DK]（2-y0）（y20-2y0+5）2-8y0，令t=2-y0，則t∈[XC左中.TIF;%80%80，JZ]32，2[XC右中.TIF;%80%80，JZ]，

所以sinθ=2t（t2-2t+5）2-8（2-t）=2t2+9t2-4[XC括1.TIF，JZ]t+3t[XC括2.TIF，JZ]+14=2[XC括1.TIF，JZ]t+3t[XC括2.TIF，JZ]2-4[XC括1.TIF，JZ]t+3t[XC括2.TIF，JZ]+8。

令s=t+3t≥23>2，所以當(dāng)t+3t=23時(shí)，即t=3時(shí)，（sinθ）max=220-83。

又PE·PF=（2-y0）2+x20-1=y20-2y0+3>0。

（余下過(guò)程略）

在教學(xué)中，不少教師覺(jué)得這兩種解法太麻煩，沒(méi)有解法1簡(jiǎn)潔，于是選擇不做具體講解，但如有學(xué)生選擇利用余弦函數(shù)或者正弦函數(shù)進(jìn)行解答，筆者認(rèn)為應(yīng)該要肯定學(xué)生的想法。解題教學(xué)絕不僅僅是解出題目，而是要在解題教學(xué)過(guò)程中幫助學(xué)生積累相應(yīng)的解題經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)通過(guò)對(duì)比，讓學(xué)生進(jìn)一步積累解題要有預(yù)見(jiàn)性的經(jīng)驗(yàn)。

4.溯源數(shù)學(xué)文化背景，積累優(yōu)化運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)

從題目溯源可知，該例題的背景是米勒問(wèn)題，而處理米勒問(wèn)題的幾何方法就是研究過(guò)已知兩點(diǎn)的圓與目標(biāo)點(diǎn)所在直線相切時(shí)視角最大，而此時(shí)的目標(biāo)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，但幾何方法是否可行，教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)過(guò)曲線與曲線相切的概念進(jìn)行解題。

解法4：（用米勒原理解題）

如圖6，設(shè)過(guò)E，F(xiàn)兩點(diǎn)的圓方程C：（x-a）2+（y-b）2=r2，r>0。

因?yàn)镋，F(xiàn)兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，所以a=0，即圓C：x2+（y-b）2=r2，r>0。

當(dāng)圓C與拋物線相切時(shí)，∠EPF最大。

根據(jù)曲線相切的定義[1]，可知圓C與拋物線相切，即兩曲線都過(guò)點(diǎn)P，且在點(diǎn)P處的切線相同。

因?yàn)閥=12x2，y′=x，拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為k1=x0。

此時(shí)直線PC斜率為k2=y0-mx0，兩曲線在點(diǎn)P處切線相同，所以y0-bx0·x0=-1，b=y0+1。

又圓C過(guò)點(diǎn)E，P，有（-1）2+（2-b）2=r2，x02+（b-y0）2=r2，且x20=2y0，解得y0=2±3。

因?yàn)閥0∈[XC左中.TIF;%80%80，JZ]0，12[XC右中.TIF;%80%80，JZ]，所以取y0=2-3，此時(shí)圓C方程為x2+（y-3+3）2=5-23。

（余下過(guò)程略）

因此，在解題教學(xué)中，教師應(yīng)和學(xué)生進(jìn)行題目的追本溯源，這樣不僅可以幫助學(xué)生積累解決這類問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，還可以在溯源過(guò)程中沉淀數(shù)學(xué)文化，在培育運(yùn)算核心素養(yǎng)的過(guò)程中積累優(yōu)化運(yùn)算的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)。

五、教學(xué)啟示

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程尤其是高三教學(xué)過(guò)程中，解題教學(xué)是積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有效載體。但在解題教學(xué)課堂中，筆者發(fā)現(xiàn)還存在就題論題，就題解題的情況;只講解題思路，缺乏對(duì)運(yùn)算過(guò)程的評(píng)價(jià)與方法優(yōu)化的思考;按照教師自己的理解以及參考答案進(jìn)行講解，沒(méi)有基于學(xué)情幫助學(xué)生突破解題思維障礙點(diǎn)等。綜合上述教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為在解題教學(xué)過(guò)程中，要合理設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，幫助學(xué)生突破解題思維障礙點(diǎn)，讓學(xué)生獲得相應(yīng)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培育學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（一）突破解題思維障礙點(diǎn)

學(xué)生在解決該例題時(shí)，最大的思維障礙在于選用余弦函數(shù)表達(dá)式后無(wú)法進(jìn)行下一步的求解。在教學(xué)過(guò)程中，教師既要肯定學(xué)生的想法，按照學(xué)生的思路將題目解完，幫助學(xué)生積累對(duì)復(fù)雜式子處理的經(jīng)驗(yàn)，也要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題方法的比較。教師要先了解學(xué)生對(duì)基本知識(shí)、基本方法的掌握情況，有針對(duì)性地強(qiáng)化“三基”，從而積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，然后立足學(xué)生的思維特點(diǎn)，開(kāi)展一題多解教學(xué)，讓學(xué)生獲得解題靈活性與預(yù)見(jiàn)性的經(jīng)驗(yàn)。

（二）獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

有研究者指出，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程如圖7所示[2]。

在解題教學(xué)之前，教師應(yīng)充分了解學(xué)生做題過(guò)程中的思路、困難、易錯(cuò)點(diǎn)等;在課堂教學(xué)中，從學(xué)生的視角出發(fā)，梳理學(xué)生的初始性經(jīng)驗(yàn)，然后從學(xué)生不同的解題視角解決相應(yīng)問(wèn)題，幫助學(xué)生形成再生性經(jīng)驗(yàn);在對(duì)比各種解法之后，讓學(xué)生充分討論解決類似題的常見(jiàn)解題方法以及最優(yōu)解，在探討中加深對(duì)知識(shí)的理解，激發(fā)學(xué)生探究解題的興趣，幫助學(xué)生形成概括性經(jīng)驗(yàn)以及經(jīng)驗(yàn)圖式。

（三）培養(yǎng)運(yùn)算核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將運(yùn)算素養(yǎng)的水平分為三個(gè)層次：（1）能夠在熟悉的情境中了解運(yùn)算對(duì)象，提出運(yùn)算問(wèn)題，并用運(yùn)算結(jié)果說(shuō)明問(wèn)題;（2）能夠在關(guān)聯(lián)的情境中了解運(yùn)算對(duì)象，提出運(yùn)算問(wèn)題，并能夠借助運(yùn)算探討問(wèn)題;（3）能夠在綜合情境中把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問(wèn)題，明確運(yùn)算方向，構(gòu)建運(yùn)算程序，能夠用程序思想理解和解釋問(wèn)題。以上三個(gè)水平層次分別對(duì)應(yīng)運(yùn)算素養(yǎng)的三個(gè)要求：熟悉運(yùn)算、轉(zhuǎn)化運(yùn)算、創(chuàng)新運(yùn)算。

就該例題而言，解法1構(gòu)建∠EPF的正切函數(shù)，式子簡(jiǎn)單易算，是高中生必須掌握的分式模型之一，這表明學(xué)生已經(jīng)熟悉運(yùn)算了;有一部分學(xué)生選擇了構(gòu)建∠EPF的余弦函數(shù)，得到式子y20-2y0+3（y20-2y0+5）2-8y0后無(wú)法進(jìn)行后續(xù)的求解，通過(guò)教師課堂教學(xué)的闡述和學(xué)生的討論，學(xué)生可進(jìn)一步積累處理y20-2y0+3（y20-2y0+5）2-8y0，2[DK]（2-y0）（y20-2y0+5）2-8y0等式子的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)達(dá)到了轉(zhuǎn)化運(yùn)算的要求;解法4是視角問(wèn)題的幾何解釋，思考的過(guò)程多一點(diǎn)，代數(shù)運(yùn)算過(guò)程少一點(diǎn)，解題的正確率高一點(diǎn)，這表明達(dá)到了創(chuàng)新運(yùn)算的要求。

張奠宙教授曾說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并不構(gòu)成一個(gè)單獨(dú)的維度，而是填充在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想之間的粘合劑。因此，學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累應(yīng)滲透在平時(shí)教學(xué)的每一節(jié)課中，對(duì)照教學(xué)目標(biāo)，設(shè)置合適的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷相應(yīng)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，獲得自己獨(dú)立的觀點(diǎn)，培育學(xué)生的核心素養(yǎng)。

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（責(zé)任編輯：陸順演）

【作者簡(jiǎn)介】李小峰，高級(jí)教師，新青年數(shù)學(xué)教師工作室骨干成員，主要研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)。