巧探古今生活，浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化

王進(jìn)敬　余慶純

【摘要】在“銳角的三角比的意義”課例教學(xué)中，研究者將校園生活中的“不可測(cè)問題”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，基于多元視角探索不同的解決方案，從一般三角形的全等、相似到直角三角形的相似，自然引出銳角三角比，揭示銳角三角比學(xué)習(xí)的必要性;借助古代的特色計(jì)時(shí)工具日晷進(jìn)行古今對(duì)照，揭示銳角三角比、銳角三角函數(shù)等初高中相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的共性，突出學(xué)習(xí)銳角三角比的重要性。實(shí)踐表明，“銳角的三角比的意義”教學(xué)浸潤(rùn)知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂、多元文化等維度的數(shù)學(xué)文化，深刻地揭示了數(shù)學(xué)史的六類教育價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】銳角的三角比;正切;余切;數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)文化

基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化，可以劃分為知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂與多元文化五個(gè)維度。但有研究表明，數(shù)學(xué)文化的五個(gè)維度在教學(xué)實(shí)踐中運(yùn)用并不均衡[1]，因此，在教學(xué)中，教師需立足教育現(xiàn)實(shí)，挖掘數(shù)學(xué)史素材，優(yōu)化課例教學(xué)。

“銳角的三角比的意義”是滬教版數(shù)學(xué)教科書九年級(jí)上冊(cè)第二十五章第一節(jié)的內(nèi)容。《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》在“學(xué)習(xí)內(nèi)容與要求”中指出，要利用直角三角形定義的銳角三角比，建立直角三角形中邊與角的聯(lián)系，它是定量地研究三角形的基本工具。在銳角三角比的學(xué)習(xí)中，注重概念的理解[2]。經(jīng)過實(shí)踐研究發(fā)現(xiàn)，“銳角的三角比的意義”教學(xué)大多從直角三角形的相似入手，通過尋找規(guī)律，得出銳角三角比的定義。在滬教版教科書的“設(shè)計(jì)說明”中也明確提出，在三角形及相似三角形中，主要從定性方面研究三角形（或兩個(gè)三角形）的特征與性質(zhì);在銳角三角比中，主要從定量方面研究直角三角形。銳角三角比的概念是三角函數(shù)概念的基礎(chǔ)。然而，在滬教版教科書中，其以正切為切入點(diǎn)，利用梯子的傾斜程度、測(cè)量金字塔的高度為背景引出銳角三角比，并未真正揭示三角比與一般相似三角形的根本聯(lián)系，沒有揭示學(xué)習(xí)銳角三角比概念的必要性。

鑒于此，本研究從學(xué)生熟悉的校園場(chǎng)景入手，設(shè)計(jì)一系列“不可測(cè)問題”，借鑒20世紀(jì)上、中葉英美教科書中的銳角三角函數(shù)的引入方式，選擇性地進(jìn)行教學(xué)重構(gòu)，在分析問題、解決問題的過程中追本溯源，突出銳角三角比學(xué)習(xí)的必要性和重要性。

基于HPM視角，擬訂“銳角的三角比的意義”的教學(xué)目標(biāo)如下。

（1）經(jīng)歷銳角三角比概念的形成過程，經(jīng)歷將校園生活中“不可測(cè)問題”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，學(xué)會(huì)抓住事物的本質(zhì)屬性。

（2）掌握銳角三角比的概念，能根據(jù)直角三角形中兩邊的長(zhǎng)，求解銳角三角比的值。

（3）在概念形成的探究過程中，體會(huì)初中和高中數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活之間的緊密聯(lián)系，培育善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的理性精神，增強(qiáng)“學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的實(shí)用數(shù)學(xué)觀，欣賞多元的數(shù)學(xué)文化。

一、史料運(yùn)用

20世紀(jì)上、中葉美英教科書中，已有銳角三角函數(shù)豐富的引入方式。其中，有一個(gè)“水管求長(zhǎng)”的生活情境：假設(shè)A地為水源，B為房屋，A、B之間以一片沼澤地分隔開來，現(xiàn)要用一根水管將A處的水流引到B處，問需要多長(zhǎng)的水管（即計(jì)算AB的長(zhǎng)度）。若沼澤地的位置相對(duì)特殊（如圖1），則能夠找到一點(diǎn)C，使得∠ACB=90°，且AC、BC的長(zhǎng)度均易于測(cè)量。通過測(cè)量AC、BC的長(zhǎng)度，運(yùn)用勾股定理可得出AB的長(zhǎng)度。但若沼澤地的位置相對(duì)一般（如圖2），因無法直接找到點(diǎn)C使得∠ACB=90°，則需要通過構(gòu)造直角三角形的方式，測(cè)出AC和BC的長(zhǎng)度以及∠ACB的度數(shù)，若能求得圖中AD和CD的長(zhǎng)度，即可求出AB的長(zhǎng)度[3]。于是，可以得到“已知直角三角形的斜邊和一個(gè)銳角，可求出直角邊”的解決方法。

日晷是中國(guó)古代經(jīng)典的計(jì)時(shí)器物之一，其是銳角三角比運(yùn)用于社會(huì)生產(chǎn)、生活中的重要體現(xiàn)。為了研究日晷如何記錄節(jié)氣、測(cè)量，假設(shè)點(diǎn)S表示太陽，GN為日晷的晷針，AN為正午的晷影（如圖3），記錄每天正午的晷影長(zhǎng)度。一年中，晷影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天是冬至，晷影長(zhǎng)度最短的那一天就是夏至。當(dāng)晷影長(zhǎng)度達(dá)到最長(zhǎng)之后，逐日變短，直到最短，然后又逐日變長(zhǎng)，直到最長(zhǎng)，共經(jīng)歷一個(gè)完整的回歸年。觀察Rt△ANG，在∠A不變的情況下，當(dāng)晷影AN由長(zhǎng)變短，∠A的對(duì)邊與鄰邊、鄰邊與對(duì)邊之比是固定的;當(dāng)∠A變大時(shí)，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值GN/AN變大;當(dāng)∠A變小時(shí)，比值GN/AN變小，即∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值隨∠A的變化而變化（如圖3）。

在我國(guó)許多地方，保存著相對(duì)完整的古代日晷，比如北京故宮的日晷、江蘇常州天寧寺的日晷，以及復(fù)旦大學(xué)和上海交通大學(xué)等校園里的日晷等。依據(jù)晷面擺放的位置、角度與使用地區(qū)的不同，古代日晷常分成多種不同的類型，其應(yīng)用范圍也不盡相同。按照晷面擺放的位置進(jìn)行分類，可分為赤道式、地平式、垂直式三類日晷。

（1）赤道式日晷（如圖4），又稱為斜晷，其晷面與赤道面平行，晷針平行于地球自轉(zhuǎn)軸且兩端分別指向天北極（北極星）、天南極，晷針與平坦地面所形成的角度代表當(dāng)?shù)氐牡乩砭暥?，如北京故宮的日晷就是赤道式日晷。

（2）地平式日晷（如圖5），其晷面與平坦地面相互平行，晷針分別指向天北極（北極星）與天南極，晷針與晷面之間的夾角代表當(dāng)?shù)氐牡乩砭暥?。在北京故宮博物院里，收藏著清朝順治年間的一個(gè)新法地平日晷。其晷面上分別刻著時(shí)刻線、節(jié)氣線;晷針是可起落的三角形晷針;靠近晷針的一側(cè)安放著一個(gè)指南針，便于測(cè)定方向。

（3）垂直式日晷（如圖6），又稱為立晷或豎晷，其晷盤面垂直于平坦的地平面。大多數(shù)垂直式日晷安置在房屋的墻壁、石碑等建筑物向陽的豎直方位上，如江蘇常州天寧寺的垂直式日晷（又稱為面東西日晷），其是清代陽湖（今常州武進(jìn)）知縣張作楠所制。此外，在歐洲許多國(guó)家的建筑外墻上，常常會(huì)附建有各式各樣、顏色各異的垂直式日晷。

鑒于此，基于20世紀(jì)早期美英教科書中銳角三角函數(shù)的引入方式，創(chuàng)設(shè)“不可測(cè)問題”情境，借助相似三角形的相似比進(jìn)行深入探究，引入銳角三角比的概念，借助古代的特色計(jì)時(shí)工具日晷進(jìn)行古今對(duì)照，自然地揭示銳角三角比從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)變化過程中所蘊(yùn)含的函數(shù)思想本質(zhì)，突出學(xué)習(xí)銳角三角比的重要價(jià)值，感悟數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活的社會(huì)角色，揭示數(shù)學(xué)與天文學(xué)之間的學(xué)科聯(lián)系，展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化之魅。

（五）課堂小結(jié)

本節(jié)課建構(gòu)了三角形邊與角的轉(zhuǎn)化橋梁，學(xué)生學(xué)習(xí)了正切、余切等銳角三角比，根據(jù)直角三角形中兩邊的長(zhǎng)求解銳角三角比的值，感悟初中和高中數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活之間的緊密聯(lián)系。

三、學(xué)生反饋

課后，教師對(duì)兩個(gè)教學(xué)班的61名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下。

1.本節(jié)課中，你印象最深的環(huán)節(jié)是什么？為什么？

大部分學(xué)生對(duì)銳角三角比的引入過程印象深刻（如圖18），其原因有三個(gè)方面：第一，傳統(tǒng)課堂大部分采用“輸入—被動(dòng)接受”的學(xué)習(xí)方式，缺乏知識(shí)探究的過程，不能很好地解答學(xué)習(xí)銳角三角比的必要性，而本節(jié)課以校園中“不可測(cè)問題”的探究，引入銳角三角比，重構(gòu)式地展現(xiàn)了對(duì)銳角三角比的思考和探究過程。第二，以校園實(shí)際問題為例，將現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析問題、解決問題，真正做到學(xué)以致用。隨著問題條件越來越一般化，難度越來越大，對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用程度也越來越高，不僅具有挑戰(zhàn)性，而且需要觸類旁通，并建構(gòu)體系化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。第三，很多學(xué)生表示喜歡探究式學(xué)習(xí)的氛圍，在分析問題、解決問題過程中與同學(xué)進(jìn)行多次互動(dòng)，使得探究式學(xué)習(xí)富有生機(jī)活力。

還有一些學(xué)生表示對(duì)介紹日晷的視頻印象深刻，其原因主要是日晷與所學(xué)的銳角三角比的知識(shí)聯(lián)系緊密，激發(fā)了其學(xué)習(xí)興趣與動(dòng)力，使其體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活;還有的學(xué)生覺得教師制作的微視頻條理清晰，有理有據(jù)，與學(xué)習(xí)內(nèi)容很貼切，有力地論述了古人設(shè)計(jì)日晷時(shí)的高超智慧。

2.在日后旅游或參觀時(shí)，是否會(huì)更加關(guān)注日晷？為什么？

在問卷調(diào)查中，大部分學(xué)生表示會(huì)更加關(guān)注日晷，其主要原因是理解了日晷的實(shí)踐運(yùn)用與數(shù)學(xué)本質(zhì)的聯(lián)系，激發(fā)其深入探究的學(xué)習(xí)興趣。其次，對(duì)于現(xiàn)在的學(xué)生，電子手表是他們?nèi)粘５挠?jì)時(shí)工具，而日晷這一古老的計(jì)時(shí)工具是如何工作的、日晷與電子手表相比哪個(gè)更加準(zhǔn)確等問題，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與求知欲望。此外，有一部分學(xué)生還提到以前很困惑日晷的計(jì)時(shí)原理，現(xiàn)在終于解開謎團(tuán)，深刻感受到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。

四、文化分析

“銳角的三角比的意義”課例教學(xué)以史為源，古為今用，重構(gòu)式地融入知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂、多元文化等，浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化的芬芳。

（1）知識(shí)源流。借鑒20世紀(jì)上、中葉英美教科書中的銳角三角函數(shù)的引入方式，選擇性地進(jìn)行教學(xué)重構(gòu)，以校園生活為背景，引導(dǎo)學(xué)生基于不同實(shí)際情境，探究系列“不可測(cè)問題”的解決方法，在分析問題、解決問題的過程中掌握銳角三角比的概念定義，學(xué)會(huì)根據(jù)直角三角形中兩邊的長(zhǎng)求解銳角三角比的值，揭示學(xué)習(xí)銳角三角比的必要性。銳角三角比不僅探析了三角形角度與邊的比值關(guān)系，而且為學(xué)生今后學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)。

（2）學(xué)科聯(lián)系。銳角三角比是天文觀測(cè)、航海測(cè)量等跨學(xué)科內(nèi)容的基礎(chǔ)，能助力學(xué)生進(jìn)行跨學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)與方法運(yùn)用。

（3）社會(huì)角色。以微視頻的形式展現(xiàn)日晷與銳角三角比的密切聯(lián)系，突出銳角三角比在社會(huì)生活中的實(shí)際運(yùn)用，展現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活、服務(wù)于生活的重要角色。

（4）審美娛樂。正切、余切等銳角三角比，定量地刻畫了直角三角形中銳角的角度與兩直角邊長(zhǎng)度之間的緊密聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美。

（5）多元文化?；?0世紀(jì)早期英美教科書，創(chuàng)設(shè)校園生活中“不可測(cè)問題”的活動(dòng)探究，引出銳角三角比的概念;再以日晷介紹古代人們運(yùn)用銳角三角比的知識(shí)，制作日晷來測(cè)量時(shí)間、記錄節(jié)氣等，古為今用，洋為中用，展現(xiàn)多元數(shù)學(xué)文化的交融。

五、教學(xué)反思

“銳角的三角比的意義”課例教學(xué)揭示了數(shù)學(xué)史的六類教育價(jià)值。

（1）知識(shí)之諧。全等三角形、相似三角形主要從定性的角度研究了三角形的性質(zhì)，而銳角三角比主要從定量的角度研究了三角形中邊與角的數(shù)量關(guān)系，奠定了銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。借鑒20世紀(jì)早期美英教科書中的銳角三角函數(shù)的引入方式，設(shè)計(jì)校園“不可測(cè)問題”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，通過構(gòu)造全等三角形、借助中位線或平行線等構(gòu)造相似三角形等方式來分析問題、解決問題，體現(xiàn)了銳角三角比與相似三角形（包括全等三角形）的本質(zhì)聯(lián)系，突出學(xué)習(xí)銳角三角比的必要性;正切、余切等銳角三角比隨著銳角的變化而變化，有助于理解銳角三角比是三角函數(shù)的雛形，體現(xiàn)知識(shí)之諧。

（2）方法之美。在“不可測(cè)問題”的解決過程中，展現(xiàn)了從一般到特殊的演繹推理（從一般三角形的相似到直角三角形的相似）與從特殊到一般的類比推理（從解直角三角形到解一般三角形）等數(shù)學(xué)思想方法的有機(jī)統(tǒng)一，培養(yǎng)學(xué)生有邏輯、有條理地分析問題、解決問題，揭示方法之美。

（3）探究之樂。通過活動(dòng)探究，從多維角度將校園“不可測(cè)問題”轉(zhuǎn)化為“可測(cè)問題”進(jìn)行深度分析，經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程。發(fā)現(xiàn)當(dāng)直角三角形中的銳角固定時(shí)，銳角α的對(duì)邊銳角α的鄰邊是一個(gè)定值;當(dāng)直角三角形中的銳角變化時(shí)，銳角α的對(duì)邊銳角α的鄰邊比值也隨之變化，滲透函數(shù)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，品味探究樂趣。

（4）能力之助。借助校園生活中的“不可測(cè)問題”情境，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域來分析問題、解決問題，這是綜合運(yùn)用數(shù)字知識(shí)、技能、思想方法等進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理（數(shù)學(xué)化）的過程。這不僅有助于培育學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)與交流，發(fā)展問題解決能力，而且有效地提升了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（5）文化之魅。基于20世紀(jì)美英教科書中的銳角三角函數(shù)引入方式，展現(xiàn)中西方多元文化的交融。其次，通過播放微視頻，介紹江蘇常州天寧寺、復(fù)旦大學(xué)和上海交通大學(xué)等地的日晷，揭示銳角三角比在中國(guó)古代傳統(tǒng)計(jì)時(shí)器具日晷中的應(yīng)用價(jià)值，貫古連今，傳承中國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化。

（6）德育之效。情感方面，以“不可測(cè)問題”情境引導(dǎo)學(xué)生親近數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，激起學(xué)習(xí)興趣;理性方面，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法等來分析、解決“不可測(cè)問題”，培育學(xué)生善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的理性精神;信念方面，引導(dǎo)探索日晷背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)與人文故事，增強(qiáng)文化自信。

參考文獻(xiàn)：

[1]余慶純，汪曉勤.基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵實(shí)證研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020（3）：68-74.

[2]上海市教育委員會(huì).上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）[M].上海：上海教育出版社，2004.

[3]盧成嫻，汪曉勤.20世紀(jì)上、中葉美英教科書中的銳角三角函數(shù)引入方式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（2）：45-48.

（責(zé)任編輯：陸順演）

【作者簡(jiǎn)介】王進(jìn)敬，高級(jí)教師，上海市數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地HPM工作室骨干成員;余慶純，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院在讀博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。

【基金項(xiàng)目】上海高校“立德樹人”人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項(xiàng)目——數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的研究（A8）