追求有寬度的課堂

【摘要】追求有寬度的課堂，教師應注重學科知識之間的內在聯系，注重學科之間的融合，注重將教學內容從課內向課外延伸，注重線上優(yōu)質教學資源與線下課堂教學的融合，創(chuàng)設豐富、有趣的問題情境，引導學生不斷激發(fā)潛能，體會數學的趣味性、學法的多樣性和應用的廣泛性。

【關鍵詞】有機融合;適度延伸;有寬度的課堂

什么是寬度？《現代漢語詞典（第7版）》的解釋是：寬窄的程度;橫的距離（長方形多指兩條長邊之間的距離）。而追求有寬度的課堂，筆者認為不僅是對數學學科知識層面和范圍的拓寬，更是對數學課程標準規(guī)定范圍和學生可接受程度知識的適度拓展，以及學科知識之間的有機融合。此外，教師還要善于利用線上教學資源，拓寬學生獲取知識的渠道，引導學生把課內的共同學習延伸至課外的主動探究[1]。

一、注重知識之間的內在聯系，把握知識的寬度

幾何學家伍鴻熙教授提出數學的五個基本原則：（1）每個數學概念必須精確定義，而定義構成邏輯推理的基礎;（2）數學表述要精確，在任何時候，哪些已知哪些未知都要很清楚;（3）每一個結論都是邏輯推理的結果，推理是數學的命脈，是解決問題的平臺;（4）數學是連貫的，數學的概念和方法組成了一個邏輯嚴密的整體;（5）數學是目標明確的，每個數學概念和方法都有其目的。章建躍博士指出，以上這五個原則可以作為判斷數學課是否教數學的基本標準。筆者認為第（4）個原則恰恰說明，明晰數學知識的內在聯系對學生整體把握數學概念和方法是至關重要的。數學教學必須注重數學的整體性，這是由數學的學科特點決定的。這種整體性，既體現在數學概念及其反映的數學思想方法上，又體現在各部分內容的有機聯系上。從教的角度說，教師只有把握好整體性，才能精準把握教學目標，把數學教得本質而自然，教學行為才能“準”“精”“簡”，從而充分發(fā)揮數學的育人功能;從學的角度看，注重整體性，才能了解知識的源頭、發(fā)展和去向，掌握不同內容的聯系性，學生既學到“好數學”，又學得興趣盎然[2]，從而體會數學知識的真正寬度?，F筆者以人教版數學七年級上冊“有理數的混合運算”的教學為例進行說明。

有理數的混合運算是有理數知識系統(tǒng)的重要內容，是有理數運算學習要求最終落實的關鍵。它既是小學數學四則混合運算的延伸，又是實數混合運算的基礎，更是學生今后學習代數式、方程、不等式和函數等代數內容的運算基礎。而教材關于有理數的混合運算的編寫是非常簡潔的，即教材首先呈現了有理數的混合運算順序，然后出示一道解題過程很簡單的例題和兩道有理數的混合運算題?；谟欣頂档幕旌线\算的重要作用，筆者認為教師應根據學生的實際合理地選編和處理教材，用適當的方式和方法引導學生去經歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程，領悟運算的本質。因此，筆者先以學生熟悉的“24點”游戲引入，即“請用加、減、乘、除中的若干種運算（可用括號）將4個自然數：3、4、5、6列成一個算式，使得計算結果恰好等于24”。然后通過“自然數版24點”游戲讓學生回顧小學加減乘除四則混合運算法則，接著通過變式得到的“有理數版24點”游戲引入新課。教師引導學生通過引例去經歷有理數混合運算法則的產生過程，并通過尋找和比較有理數混合運算的順序與整數四則混合運算的順序的聯系和區(qū)別去理解有理數混合運算法則的合理性、連貫性，彰顯有理數混合運算和整數四則混合運算的內在聯系，充分體現了學生的主體性和教師的主導作用。

追求有寬度的課堂，要求教師不能只是照本宣科，而是要把知識教“活”，把解題方法教“活”，讓學生能舉一反三，觸類旁通。教師要想把知識教“活”，關鍵不在于形式上是否按教材的順序和內容講授，而是必須吃透教材，弄清數學知識和方法的來龍去脈，理解知識的本質，了解知識發(fā)生、發(fā)展的過程，根據學生的實際合理地選編和處理教材。比如，可以引導學生去分析思考新知與舊知有何關聯，探究發(fā)現如何通過舊知引入新知，由未知索求已知;或是由此及彼，由表及里，由淺入深，從而在問題解決中揭示知識之間的內在聯系，把握知識的寬度。

二、加強學科知識之間的融合，拓寬知識的維度

數學的許多內容與其他學科知識有著密切的聯系，其他學科的知識應成為呈現學生學習數學內容的現實素材。蘇聯心理學家克魯切茨基曾指出，科學發(fā)展的特點是更傾向于數學化，這不僅適用于物理學、天文學和化學，還適用于像近代生物學、考古學、醫(yī)學、氣象學、經濟學、設計規(guī)劃、語言學以及其他有關科學。數學的方法和思考方式已經滲透到各個方面，很難找到有哪個知識領域和數學完全無關。正如數學家柯爾莫哥洛夫所說的，原則上，數學應用的領域是無限的。

“實際問題與二次函數”是人教版數學九年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第二十二章第三節(jié)的內容。教學伊始，教師首先引導學生復習利用二次函數解決實際問題的一般思路：建立平面直角坐標系—找出點的坐標—求出拋物線的解析式—求出點的坐標（解決實際問題），然后創(chuàng)設情境引入新課。

問題1：如圖1，一名籃球運動員在距離籃圈中心4 m（水平距離）處跳起投籃，籃球準確落入籃圈。已知籃球運行的路線為拋物線，當籃球運行的水平距離為2.5 m時，籃球達到最大高度，且最大高度為3.5 m。如果籃圈中心距離地面3.05 m，那么籃球在該運動員出手時的高度是多少？

首先，教師引導學生認真審題，在圖中標出相應的數據，分析題目中所蘊含的信息量。

學生小組討論交流：你知道哪些有效的信息;如何解決實際問題，你有什么方法嗎？

然后，教師引導學生利用“建立平面直角坐標系—求出拋物線的解析式—求點的坐標”的思路解決該實際問題。

在學生求出籃球距離地面的高度后，教師繼續(xù)引導學生分析籃球距離地面的高度與哪些有關，引出以下問題。

問題2：該運動員的身高為1.7 m，跳投中，球在頭頂上方0.25 m處出手，問球出手時，他距離地面的高度是多少？

教師提示學生運動員距離地面的高度也就是運動員跳起的高度。

教師小結：運動員投籃是否命中，與運動員的身高、跳起的高度，以及與籃圈中心（水平距離）的遠近都有關系。

變式：在一場籃球比賽中，小明跳起投籃，如圖2，已知球出手時離地面高（20/9） m，與籃圈中心的水平距離為8 m，當球出手后水平距離為4 m時到達最大高度4 m，設籃球運動的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3 m。問此球能否投中？

學生獨立思考后，小組合作交流。學生得出簡單的結論后，教師再輔助動畫演示，以直觀形象的方式幫助理解有困難的學生。

本節(jié)課以籃球運動為背景，融合二次函數求解析式的問題，并有機滲透運用函數解決實際問題的建模思想。對學生來說，本節(jié)課的問題雖然有一定的難度，但在實際教學中，筆者發(fā)現學生學得津津有味，學習的熱情高漲。筆者認為，這也是源于問題的背景材料引起了學生強烈的探究欲望和學習興趣。近代分科教學讓學科之間相互割裂，無法讓學生形成更加全面、整體性的認識。為了彌補分科教學的缺陷，在教學中，教師應注重學科知識的融合，尤其是在學科知識的應用中融合。為了幫助學生真正理解數學知識，教師應注重數學知識與學生生活經驗的聯系、與學生學科知識的聯系，多組織學生開展實驗、操作和嘗試等活動，引導學生進行觀察、分析和抽象概括，體會數學應用的廣泛性。

三、注重課內學習向課外延伸，拓展學習的空間

義務教育階段的教師要有教學質量的“保底”意識。其意思是下要“保底”，但上不“封頂”。例如對于大多數學生而言，在日常教學中，教師應根據數學課程標準規(guī)定的要求組織教學，必須為學生，尤其是學習有困難的學生打下走向未來的必備學科知識基礎，這就是“保底”。但對于學習成績優(yōu)秀的學生，尤其是一些智力超常的學生，教師應不失時機地結合課內教學內容適度向課外延伸，通過成立數學課外活動小組等形式，盡可能滿足他們對數學學習的個性化需求，激勵他們不斷去攀登自己的數學“小高峰”。

筆者認為每一所學校，每一門學科，尤其是數學學科應指導學生成立數學課外活動小組。組織數學課外活動小組并開展數學研究活動，這不僅有利于促進學生課內學習向課外學習延伸，更有利于提高課內數學教學質量，發(fā)現和培養(yǎng)數學人才。當然活動的有效性主要取決于活動內容或課題的選擇、活動的方式以及教師的水平。有經驗的教師，經常會在課內教學的結尾提出一些富有挑戰(zhàn)性的問題，引導學生帶著問題走出課堂，讓學生體會數學學習的挑戰(zhàn)性。比如在學完一元一次方程、二元一次方程組之后，教師可以將不定方程作為學生課外研究的內容，并研究諸如《孫子算經》中的問題：“今有物不知其數，三三數之余二，五五數之余三，七七數之余二，問物幾何？”研究這些內容后，既可以深化課內學習內容，又擴展了學生的認識領域。又比如可以為有需要的學生補充用十字相乘法、添項法、拆項法進行因式分解;利用數學課外活動小組，在課內學習三角形的內容之后繼續(xù)研究梅涅勞斯定理及其逆定理、塞洼定理等;在學習圓的內接四邊形內容后，還可以研究托勒密定理;在學習了解直角三角形內容后，還可以研究正弦定理和余弦定理;等等。追求有寬度的課堂，應注重課內學習向課外延伸，教師應為學生向更高層次的發(fā)展提供必要的啟示、指導[3]。

四、加強線上線下教學的融合，拓寬教學的空間

隨著科技和時代的進步，教育的方式也在發(fā)生變化。教室、學校已不再是學習的唯一場所，互聯網為教育教學提供了多元可能。如何將線上教學資源和線下課堂教學有機融合必定成為教師教學改革的方向。比如，如何將城市優(yōu)質的教育資源與鄉(xiāng)村教育資源共享以縮小城鄉(xiāng)教育的差距;城市優(yōu)質的線上教學與鄉(xiāng)村線下教學如何有機融合;學校日常教學一般以線下教學為主，但在2020年新冠肺炎疫情等特殊時期，教師開展個性化輔導或組織學科教學輔導時，如何采用線上教學與線下檢查相結合的方式;等等。教育部基礎教育課程教材發(fā)展中心劉月霞副主任指出，當死記硬背所獲得的知識“百度”一下即知即得時，學生應該學什么、怎么學的焦慮感逐漸上升。世界改變了，我們的學校卻被卡在過去的某個時間點上，停滯不前[4]。未來已來，大勢所趨，教師只有既注重日常線上教學資源的開發(fā)和運用，又注重線下教學方法的改進和提升，不斷拓寬教學的空間，方能成為一名專業(yè)而優(yōu)秀的教師。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“數學課程標準”）指出，數學素養(yǎng)是現代社會每一個公民都應該具備的基本素養(yǎng)。作為促進學生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發(fā)揮數學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力不可替代的作用[5]。數學課程標準規(guī)定的數學知識和能力要求是全體適齡兒童都必須達到的基本要求。如果學不好數學，或者不學數學，學生的知識結構就不完整，思維發(fā)展就會存在某種缺陷。因此，教師應注重學科知識的融合和學習空間的拓展，盡量創(chuàng)設豐富、有趣的問題情境，讓學生體會學好數學的必要性及數學應用的廣泛性。數學教師應當以發(fā)展學生數學學科核心素養(yǎng)為目標，適度拓展知識和能力要求，并善于將學生的思維引向課外、引向更高的層次，引導學生去挑戰(zhàn)自己的數學才能[6]。

追求有寬度的課堂，應做到注重學科知識之間的內在聯系，注重學科之間的融合，注重將教學內容從課內向課外延伸，注重線上優(yōu)質教學資源與線下課堂教學的融合;呈現的教學素材應貼近學生現實，創(chuàng)設豐富、有趣的問題情境，讓學生用問題導學，帶著更高層次的問題走出課堂，引導學生不斷地去挑戰(zhàn)自我，激發(fā)潛能，體會數學的趣味性、學法的多樣性和應用的廣泛性。

參考文獻：

[1]戴啟猛.基于初中數學“四度六步”教學法的理論基礎與實踐架構[J].中小學課堂教學研究，2020（3）：22-26，39.

[2]章建躍.章建躍數學教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[3]鄭毓信.數學·哲學·教育：我的“跨界”教育人生[J].中小學課堂教學研究，2019（4）：58-66.

[4]劉月霞，郭華.深度學習：走向核心素養(yǎng)[M].北京：教育科學出版社，2018.

[5]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[6]戴啟猛.創(chuàng)造更加精彩的課堂：初中數學“四度六步”教學法的20年實踐與探索[J].廣西教育，2020（5）：15-19.

（責任編輯：陸順演）

【作者簡介】戴啟猛，南寧市教育科學研究所所長，正高級教師，廣西特級教師，廣西八桂教育家搖籃工程學員，廣西師范大學教育學部特聘研究員。