考點(diǎn)透視思路突破 視角切換多解探究

楊曉艷

[摘 ?要] 解析幾何中的角問(wèn)題是高考的重點(diǎn)題型，該類(lèi)問(wèn)題常以圓錐曲線與直線為背景，構(gòu)建幾何角，探究角之間的數(shù)量關(guān)系. 合理轉(zhuǎn)化角是解題的關(guān)鍵，文章以一道解析幾何倍角關(guān)系問(wèn)題為例，開(kāi)展問(wèn)題透視，多解探究，并總結(jié)角轉(zhuǎn)化策略，結(jié)合實(shí)例拓展探究，同時(shí)基于教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行解后反思，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;離心率;斜率;傾斜角;方法

[?]考題再現(xiàn)，問(wèn)題透視

1. 問(wèn)題呈現(xiàn)

考題：（2021年八省聯(lián)考數(shù)學(xué)卷第21題）雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)B在C上，當(dāng)BF⊥AF時(shí)，

AF

=

BF

.

（1）求C的離心率;

（2）若B在第一象限，證明：∠BFA=2∠BAF.

2. 問(wèn)題透視

上述是一道關(guān)于雙曲線與直線的解析幾何綜合題，考題共分兩問(wèn)，第一問(wèn)求雙曲線的離心率，考查離心率的相關(guān)知識(shí);第二問(wèn)則是關(guān)于倍角關(guān)系的證明題，問(wèn)題依托雙曲線的頂點(diǎn)A、焦點(diǎn)F、曲線上的動(dòng)點(diǎn)B構(gòu)建了∠BFA和∠BAF，考查圓錐曲線中的角計(jì)算和倍角轉(zhuǎn)化知識(shí).

對(duì)于第一問(wèn)，解析關(guān)鍵是從條件中提取關(guān)于a，b，c的一組關(guān)系，然后結(jié)合a2+b2=c2來(lái)逐步推導(dǎo). 而第二問(wèn)的難點(diǎn)主要有兩個(gè)：一是如何轉(zhuǎn)化圓錐曲線中的幾何角，二是如何構(gòu)建倍角關(guān)系. 解析時(shí)需要理清問(wèn)題圖像，把握?qǐng)D像特征，問(wèn)題所涉∠BFA和∠BAF為△ABF的內(nèi)角，而該三角形較為特殊，探究倍角關(guān)系可將其放置在對(duì)應(yīng)三角形中，利用與“數(shù)”“形”結(jié)合緊密的三角函數(shù)來(lái)間接構(gòu)建.

[?]思路構(gòu)建，逐問(wèn)突破

（1）可設(shè)雙曲線的半焦距為c，則右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（c，0），點(diǎn)B位于雙曲線上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為

c，±

. 又知

AF

=

BF

，則=a+c，故c2-ac-2a2=0，即e2-e-2=0，解得e=2，所以雙曲線C的離心率為2.

（2）點(diǎn)B位于第一象限，可設(shè)點(diǎn)B（x，y），其中x>a，y>0，因?yàn)殡p曲線的離心率e=2，則c=2a，b=a，可求得雙曲線的漸近線方程為y=±x，所以∠BAF∈

0，

，∠BFA∈

0，

，可推知點(diǎn)A（-a，0），點(diǎn)F（2a，0）.

①當(dāng)x>a，x≠2a時(shí)，根據(jù)正切與直線斜率關(guān)系可得tan∠BFA=-k=-= -，tan∠BAF=k=，所以tan2∠BAF====-=tan∠BFA. 因?yàn)?∠BAF∈

0，

，所以∠BFA=2∠BAF.

②而當(dāng)x=2a時(shí)，由（1）問(wèn)可得∠BFA=，∠FAB=，所以∠BFA=2∠BAF.

綜上可知，∠BFA=2∠BAF.

[?]切換視角，多解探究

上述在探究第（2）問(wèn)的倍角關(guān)系時(shí)基于三角形引入了正切函數(shù)，并基于直線斜率與正切值的關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化求解，從而完成了證明. 實(shí)際上對(duì)于該問(wèn)還可以采用不同的方法加以突破，多解探究的視角有兩個(gè)：一是采用不同的方式設(shè)定點(diǎn)B的坐標(biāo);二是從不同視角處理其中的角問(wèn)題. 下面詳細(xì)探究，全面呈現(xiàn)多解思路.

多解探究1——設(shè)定參數(shù)方程

上述基于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)定了點(diǎn)B的坐標(biāo)，實(shí)際計(jì)算時(shí)運(yùn)算量較大，此時(shí)可考慮利用雙曲線的參數(shù)方程，設(shè)定點(diǎn)B的參數(shù)坐標(biāo)，即點(diǎn)B（asecθ，atanθ），則根據(jù)原解法的思路可得tan∠BFA= -k=-=，tan∠BAF=k==，則tan2∠BAF=，整理可得tan2∠BAF=，即tan2∠BAF=tan∠BFA，結(jié)合角的取值范圍可確定∠BFA=2∠BAF.

評(píng)析：上述利用雙曲線的參數(shù)方程，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)B的參數(shù)坐標(biāo)，后續(xù)計(jì)算有兩個(gè)優(yōu)勢(shì)：一是優(yōu)化了運(yùn)算過(guò)程，二是避免了分類(lèi)討論. 其中所涉角為三角形內(nèi)角是隱含條件，在倍角證明時(shí)要充分利用.

多解探究2——平面向量轉(zhuǎn)化

在處理解析幾何角的問(wèn)題時(shí)除了可以利用直線斜率與正切關(guān)系外，還可以利用向量對(duì)角的反映，利用向量運(yùn)算來(lái)推導(dǎo)關(guān)鍵條件.

設(shè)點(diǎn)B（x，y），由圓錐曲線的定義可得BF=2x-a，作∠BFA的角平分線，與AB交于點(diǎn)M. 由三角形的內(nèi)角平分性質(zhì)可得===，則可得向量關(guān)系=，即x+a=（x-x），可解得x==，所以有MA=MF，則∠BFA=2∠BAF.

評(píng)析：上述在計(jì)算證明倍角問(wèn)題時(shí)引入了向量，利用向量運(yùn)算推導(dǎo)出關(guān)鍵條件：MA=MF，該種方法是解析幾何常用的幾何法，核心思想是把握問(wèn)題的幾何特征，結(jié)合解析運(yùn)算挖掘幾何性質(zhì).

[?]方法總結(jié)，拓展探究

1. 方法總結(jié)

上述倍角問(wèn)題可以歸結(jié)為解析幾何角問(wèn)題，所涉兩角的顯著特點(diǎn)是角的一邊與坐標(biāo)方向相一致，故可結(jié)合角與直線的傾斜角聯(lián)系來(lái)轉(zhuǎn)化構(gòu)建，即用點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示所要研究的角的正切值. 實(shí)際上解析幾何中的角問(wèn)題還有如下三種情形，對(duì)于不同情形可采用不同的轉(zhuǎn)化方法.

情形一：當(dāng)角的兩邊所在直線的斜率容易求得時(shí)，可將角看作是兩條直線的夾角，或一條直線到另一直線的旋轉(zhuǎn)角，此時(shí)可以利用到角與夾角公式來(lái)求解，所涉公式均與直線的斜率相關(guān)，故需要討論直線的斜率不存在的情形.

情形二：當(dāng)一個(gè)角是銳角、直角或鈍角時(shí)，可將該角視為是兩個(gè)向量的夾角，則可將角條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，需要關(guān)注的是兩個(gè)向量的夾角的大小范圍為[0，π].

情形三：當(dāng)問(wèn)題所涉為三角形的內(nèi)角時(shí)，可聯(lián)系三角形的其他邊、角條件，利用三角形的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化角問(wèn)題.

2. 拓展探究

問(wèn)題：設(shè)橢圓C：+y2=1的右焦點(diǎn)為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C交于點(diǎn)A和B，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）.

（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程;

（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，試證明：∠OMA=∠OMB.

解析：（1）由題意可知右焦點(diǎn)F（1，0），直線l的方程為x=1，分析可得點(diǎn)A

1，

或

1，-

，所以直線AM的方程為y=-x+或y=x-.

（2）①當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°.

②當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.

當(dāng)l與x軸不垂直也不重合時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-1） （k≠0），設(shè)點(diǎn)A（x，y）、點(diǎn)B（x，y），則x，x<2，直線MA和MB的斜率之和可表示為k+k=+=. 聯(lián)立y=k（x-1）與+y2=1，整理可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，由根與系數(shù)關(guān)系可得x+x=，xx=，所以2kxx-3k（x+x）+4k=0，從而有k+k=0，故直線MA和MB的傾斜角互補(bǔ)，所以有∠OMA=∠OMB.

綜上可知，∠OMA=∠OMB.

評(píng)析：上述證明圓錐曲線中的角相等，對(duì)應(yīng)角可視為是兩條直線的傾斜角，故解析時(shí)充分利用了直線斜率的特殊結(jié)論，即若兩直線的斜率之和為0，則兩條直線的傾斜角互補(bǔ). 另外對(duì)于解析幾何中的垂直問(wèn)題，可用直線斜率之積為-1來(lái)加以證明，斜率的構(gòu)建思路與上述總結(jié)的方法相似.

[?]解后反思，教學(xué)建議

上述深入探究了解析幾何中角的問(wèn)題，并總結(jié)了相應(yīng)的構(gòu)建思路，向量法、斜率法是常見(jiàn)的解析方法. 挖掘問(wèn)題本質(zhì)，注重知識(shí)關(guān)聯(lián)，總結(jié)問(wèn)題解法是解題探討的關(guān)鍵，下面基于教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行深入反思.

1. 透視考點(diǎn)，挖掘本質(zhì)

透視問(wèn)題考點(diǎn)，挖掘問(wèn)題本質(zhì)是解題探究的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，解析幾何綜合題所涉考點(diǎn)較為眾多，審題環(huán)節(jié)時(shí)要深刻理解題意，把握問(wèn)題的考查方向、知識(shí)要點(diǎn). 可提取問(wèn)題的關(guān)鍵詞，結(jié)合圖像理解問(wèn)題的構(gòu)建思路，然后關(guān)聯(lián)教材知識(shí)點(diǎn)，定位問(wèn)題考點(diǎn). 如上述考題證明解析幾何中的倍角關(guān)系，實(shí)則考查的是等角關(guān)系構(gòu)建，解析過(guò)程用到了直線斜率，故本質(zhì)上是關(guān)于直線傾斜角與斜率的問(wèn)題. 教學(xué)中建議引導(dǎo)學(xué)生逐句審題，全方位思考，定位考點(diǎn)，重點(diǎn)剖析突破.

2. 知識(shí)關(guān)聯(lián)，形成體系

解析幾何兼具代數(shù)與幾何兩大知識(shí)模塊的特征，解析過(guò)程要充分把握曲線的函數(shù)與幾何屬性，從“形”的角度審視圖像，從“數(shù)”的角度逐步推理. 同時(shí)關(guān)注問(wèn)題的知識(shí)關(guān)聯(lián)，挖掘定義的幾何意義，如離心率的幾何意義、斜率運(yùn)算中特值的幾何意義等. 教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生充分探究圓錐曲線的知識(shí)考點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)知識(shí)的研究方法，分析圖形變化，推導(dǎo)定理公式，立足知識(shí)聯(lián)系，構(gòu)建完整的知識(shí)體系.