例談如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中提升學(xué)生的觀察能力

沈凱

[摘 ?要] 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角去觀察生活，充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，從而激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情. 為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)需要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力. 文章從觀察能力培養(yǎng)的重要性出發(fā)，以期通過正確的觀察方法來全面提升學(xué)生的綜合素質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 觀察能力;觀察方法;綜合素質(zhì)

培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力是重要的教學(xué)目標(biāo)之一，是提高學(xué)生解題能力的需要，也是提高學(xué)生綜合素質(zhì)的需要. 筆者就如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察提出了一些淺見，以期共鑒.

[?]培養(yǎng)觀察能力的重要性

觀察是解決問題的前提，任何題目都蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)涵，隱藏著解題方法和解題策略，只有認(rèn)真觀察題目特征，才能發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)屬性，從而結(jié)合已學(xué)知識(shí)有效解決問題[1]. 因此，在解決問題時(shí)，要認(rèn)真地觀察，找出已知與結(jié)論之間的聯(lián)系，解決問題也就變得水到渠成了.

例1：如圖1，橢圓的中心原點(diǎn)為O，離心率e=，其一條準(zhǔn)線的方程為x=2.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足=+2，點(diǎn)M，N為橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率乘積為-. 是否存在兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)，使得PF+PF為定值？若存在，請(qǐng)求出F和F的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.

題目分析：（1）由離心率e==，由準(zhǔn)線方程=2，求得a=2，c=，所以b=. 由此可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.

（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），M（x，y），N（x，y），由=+2可得P（x+2x，y+2y）. 又因?yàn)镸，N為橢圓上的點(diǎn)，且OM與ON的斜率乘積為-，所以+=1，+=1，·=-. 根據(jù)已知條件，學(xué)生可以很輕松寫出這些關(guān)系式，然而下面如果將這些已知條件進(jìn)行有效的串聯(lián)呢？大部分學(xué)生顯得有些無從下手. 要使隱藏條件被解讀，教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注結(jié)論“存在兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)，使得PF+PF為定值”，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其實(shí)為關(guān)于點(diǎn)P的軌跡方程，該軌跡方程為橢圓. 接下來根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從代數(shù)的角度進(jìn)行求解得x2+2y2=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2=（x+2y）+4（x+2y）+（4x1x2+8y1y2）=20，即點(diǎn)P所在的橢圓方程的焦點(diǎn)是F1（-，0），F(xiàn)2（，0），這兩點(diǎn)即為所求的定點(diǎn).

本題第（1）問直接根據(jù)橢圓的相關(guān)性質(zhì)可以順利得到答案. 在解第（2）問時(shí)學(xué)生也可以通過所學(xué)知識(shí)寫出已知條件符合的關(guān)系式，然而因未充分考慮結(jié)論使得在求解過程中出現(xiàn)了思維障礙，這時(shí)教師有效地引導(dǎo)，讓其關(guān)注結(jié)論，通過觀察數(shù)形特點(diǎn)并挖掘已知與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，從而找到解決問題的方法. 觀察在本題求解過程中起到了鋪路架橋的作用. 因此，在解決問題時(shí)要善于觀察，通過觀察找到問題的本質(zhì)特征，從而使得問題迎刃而解.

[?]培養(yǎng)觀察能力的方法

學(xué)生認(rèn)識(shí)到了觀察的重要性后，要培養(yǎng)學(xué)生如何觀察，怎樣觀察才是有效的. 正確的觀察方法是培養(yǎng)學(xué)生觀察能力的重要組成內(nèi)容[2]. 筆者認(rèn)為，可以從關(guān)鍵詞出發(fā)，找到各對(duì)象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合等有效手段找到內(nèi)在規(guī)律和結(jié)構(gòu)特征，從而形成解決問題的思路.

1. 觀察關(guān)鍵詞

通過觀察關(guān)鍵詞，可以掌握題目的整體脈絡(luò)，通過猜測(cè)對(duì)象之間的數(shù)量關(guān)系，聯(lián)系已有認(rèn)知和已有經(jīng)驗(yàn)來解決問題.

例2：若等比數(shù)列{a}滿足：a+a+a+a+a=3，a+a+a+a+a=12，則a-a+a-a+a的值是________.

題目分析：分析代數(shù)式并結(jié)合已知可以得出：a+a+a+a+a是等比數(shù)列{a}的前5項(xiàng)之和，那么a+a+a+a+a和a-a+a-a+a是否也可以看作是某數(shù)列的前5項(xiàng)之和呢？通過觀察它們的特點(diǎn)，結(jié)合通項(xiàng)及等比數(shù)列的性質(zhì)，可以將a+a+a+a+a看作是等比數(shù)列{a}的前5項(xiàng)之和，a-a+a-a+a看作是等比數(shù)列{（-1）n+1a}的前5項(xiàng)之和. 若設(shè)等比數(shù)列{a}的公比為q，則等比數(shù)列{a}的公比為q2，等比數(shù)列{（-1）n+1a}的公比為 -q，找到了公比之間存在的數(shù)量關(guān)系，可以根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式進(jìn)行求解.

求解過程：根據(jù)分析可知q≠1，由等比數(shù)列前n項(xiàng)求和公式可得a+a+a+a+a==3，a+a+a+a+a==3·=12，即=4. 所以a-a+a-a+a==4.

在本題求解過程中，根據(jù)題目的特點(diǎn)分析出其都為某等比數(shù)列的前5項(xiàng)之和，通過公比q存在的數(shù)量關(guān)系而進(jìn)行求解. 在解決問題時(shí)有時(shí)候要根據(jù)觀察進(jìn)行大膽猜測(cè)，在運(yùn)算過程中再觀察從而找到對(duì)應(yīng)關(guān)系. 仔細(xì)觀察，大膽嘗試是解決問題的有效手段.

2. 觀察結(jié)構(gòu)特征

很多問題在求解時(shí)不能直接預(yù)判解題過程，需要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征，邊觀察，邊分析，邊聯(lián)想，從而結(jié)合所學(xué)知識(shí)找到最終的解決方案.

例3：已知f（x）是定義在[-2，2]上的函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，x（x≠x），恒有>0，且f（x）的最大值為1，則滿足f（logx）<1的解集為________.

題目分析：根據(jù)已知條件無法求出f（x）的具體表達(dá)式，因此若要求解必須利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性. 那么從已知條件>0中，是否可以找到關(guān)于函數(shù)f（x）的單調(diào)性成了解答此題的關(guān)鍵. 由>0進(jìn)行分析，若x-x>0，則f（x）-f（x）>0;若x-x<0，則f（x）-f（x）<0，由此可以得出f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù).

求解過程：由>0可知，函數(shù)f（x）在[-2，2]上是增函數(shù). 因?yàn)閒（x）的最大值為1，即f（2）=1，所以不等式f（logx）<1，可以轉(zhuǎn)化為f（logx）

x<2，

-2≤log

x≤2，解得≤x<4，所以f（logx）<1的解集為

，4.

在本題的求解過程中，根據(jù)已知條件分析出求解本題需從函數(shù)的單調(diào)性入手，從而根據(jù)所學(xué)知識(shí)得出函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，單調(diào)性求出后結(jié)合函數(shù)的定義域一邊計(jì)算一邊觀察，最終求得答案.

3. 觀察內(nèi)在規(guī)律

若想解決問題需要通過觀察問題發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律，深入挖掘已知條件和結(jié)論，從而根據(jù)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決復(fù)雜的問題.

例4：若f（a+b）=f（a）·f（b），且f（1）=2，則+++…+=________.

題目分析：觀察后發(fā)現(xiàn)，，…，是數(shù)列

的項(xiàng)，因此+++…+即為數(shù)列

的前2010項(xiàng)中1005項(xiàng)的和，若要解答此題則需要尋找數(shù)列的通項(xiàng). 由已知f（a+b）=f（a）·f（b），f（1）=2，令a=n，b=1，則f（n+1）=f（n）· f（1）=2f（n），即=2，所以+++…+=2×1005=2010.

題目乍看起來感覺無從下手，但經(jīng)過對(duì)結(jié)論的仔細(xì)觀察和分析從而得到找數(shù)列的通項(xiàng)的方法，題目也就迎刃而解了. 這樣帶著明確的目的去已知條件中尋找和構(gòu)建，使得解題變得輕松自然了.

4. 觀察圖形特征

圖形中往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)量關(guān)系，而如何找到這些數(shù)量關(guān)系就需要學(xué)生的觀察能力. 通過觀察圖形特征，聯(lián)系幾何性質(zhì)，可以將題目中的數(shù)量關(guān)系用更加直觀的圖形語言進(jìn)行表達(dá)，這樣不僅可以簡(jiǎn)化解題過程，也使得抽象的問題更加形象化，增加學(xué)生解題的信心.

例5：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C是圓心在第二象限，半徑為2的圓，該圓與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O. 圓C與橢圓+=1相交于一點(diǎn)，其到橢圓左焦點(diǎn)F及右焦點(diǎn)F的距離之和為10.

（1）求圓C的方程;

（2）圓C上是否存在這樣的一點(diǎn)Q（異于原點(diǎn)），使得QF=OF. 若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.

題目解析：第（1）問根據(jù)已知條件很容易求得圓C的方程為（x+2）2+（y-2）2=8. 在解答第（2）問時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)存在這樣的點(diǎn)Q，使得QF=OF. 點(diǎn)F（4，0），設(shè)Q（x，y），根據(jù)待定系數(shù)法列方程組（x-4）2+y2=16，

（x+2）2+（y-2）2=8，解得x=，y=，或x=0，y=0. 因?yàn)辄c(diǎn)Q異于原點(diǎn)，因此得點(diǎn)Q

該方法思路簡(jiǎn)單，但是計(jì)算復(fù)雜，本題是否可以根據(jù)圖形特征，通過數(shù)形結(jié)合來簡(jiǎn)化計(jì)算過程呢？為了通過數(shù)形結(jié)合來尋找更優(yōu)的方案，首先根據(jù)已知條件及圓的方程繪制圖形（如圖2）. 觀察圖形可知，在四邊形COFQ中，CO=CQ，OF=QF，因此CF垂直且平分OQ，因此點(diǎn)O與點(diǎn)Q關(guān)于直線CF對(duì)稱，即將點(diǎn)Q轉(zhuǎn)化為點(diǎn)O關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn).

由已知可以求得橢圓的方程為+=1，F(xiàn)（4，0）. 直線CF的方程為y-2= -（x+2），即x+3y-4=0. 設(shè)點(diǎn)Q（x，y），則

=3，

+-4=0，解得x=，y=. 所以存在這樣的Q點(diǎn)，且其坐標(biāo)為

通過數(shù)形結(jié)合，將代數(shù)問題與幾何問題完美地融合，大大地降低了計(jì)算量，這樣不僅降低了因復(fù)雜計(jì)算而出錯(cuò)的概率，也大大提升了解題效率. 同時(shí)，通過數(shù)形結(jié)合，將在圓C上的點(diǎn)Q轉(zhuǎn)化為點(diǎn)O關(guān)于直線CF2對(duì)稱的問題. 多種方法的應(yīng)用，不僅找到了最優(yōu)的方案，也使得學(xué)生的思維得到了有效的拓展，提升了思維的活力.

[?]對(duì)培養(yǎng)觀察能力的思考

學(xué)生觀察能力的培養(yǎng)在教學(xué)中的意義是不言而喻的，那么在培養(yǎng)觀察能力的時(shí)候應(yīng)注意什么呢？

首先，要培養(yǎng)學(xué)生的觀察意識(shí). 在教學(xué)中要結(jié)合教學(xué)實(shí)例，讓學(xué)生通過對(duì)比、數(shù)形結(jié)合、類比等方法，感受觀察為解題帶來的簡(jiǎn)便快捷，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生觀察的興趣. 學(xué)生觀察的興趣被調(diào)動(dòng)了，其學(xué)習(xí)也就變得更加主動(dòng)了，觀察的意識(shí)也就被激發(fā)了，觀察能力會(huì)在不斷的積累中日益提升.

其次，引導(dǎo)學(xué)生有目的性地觀察. 若毫無目的地觀察，只是盲目地將已知條件及隱含條件一個(gè)個(gè)羅列，會(huì)大大增加觀察和解題的負(fù)擔(dān)，解題效率會(huì)降低. 只有帶有目的性地觀察，學(xué)生才能根據(jù)條件和結(jié)論有意識(shí)、有選擇地搜索與之相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合知識(shí)點(diǎn)之間的特征和規(guī)律來提高觀察效率和解題效率.

最后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納和總結(jié). 觀察能力的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期積累的過程，在日常教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成總結(jié)、歸納的習(xí)慣，將觀察經(jīng)驗(yàn)和心得等分類匯總，使得觀察更加深刻、全面和準(zhǔn)確，這將是學(xué)生寶貴的知識(shí)財(cái)富.

總之，觀察能力的培養(yǎng)不能急于求成，要在日常的教學(xué)中不斷地滲透并堅(jiān)持不懈地對(duì)其進(jìn)行行之有效的訓(xùn)練，進(jìn)而使學(xué)生養(yǎng)成愛觀察、會(huì)觀察的好習(xí)慣，形成良好的觀察品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

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[2] ?劉術(shù)青，田炳娟. 轉(zhuǎn)變高中數(shù)學(xué)教學(xué)理念，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)[J]. 才智，2011（08）.