從數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)的視角談抽象思維能力培養(yǎng)

付欣

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)的視角下進(jìn)行抽象思維能力的培養(yǎng)是高效的. 文章介紹了概念教學(xué)設(shè)計(jì)與抽象思維能力的含義，并以“曲線與方程”一課為例，闡述了數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)視角下抽象思維能力培養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐及思考.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)概念教學(xué);抽象思維能力;曲線與方程;培養(yǎng)

[?] 問題的提出

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師不僅需要關(guān)注學(xué)科知識(shí)，還需要關(guān)注到學(xué)生的感知、體驗(yàn)和思維，更需要關(guān)注到學(xué)生抽象思維的發(fā)展. 這是因?yàn)楦咧猩哪X力勞動(dòng)已經(jīng)具有一定的特征，抽象思維已經(jīng)逐漸成形，這就對(duì)教師知識(shí)傳授的質(zhì)量提出了較高的要求. 那么，該從哪個(gè)角度切入呢？數(shù)學(xué)概念教學(xué)于知識(shí)的傳授和抽象思維的提升來(lái)說(shuō)意義重大. 筆者認(rèn)為，從數(shù)學(xué)概念教學(xué)的視角下加以培育是高效的.

[?] 數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)與抽象思維能力

數(shù)學(xué)概念是在實(shí)踐中高度概括而成的，是知識(shí)體系的基本元素，是數(shù)學(xué)抽象的起點(diǎn). 正是由于概念的高度概括，才使得數(shù)學(xué)概念難教和難學(xué)[1].

抽象思維是一種以概括和推理的形式進(jìn)行的一種思維，就是從具體事物中抽象和概括出共同的、本質(zhì)的方面，而舍棄非本質(zhì)的、個(gè)別的方面. 從學(xué)生的思維發(fā)展的進(jìn)程可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生都是由形象思維逐步向抽象思維過(guò)渡的，這是高中生思維發(fā)展的需求. 不同的概念內(nèi)容中的概括和抽象適合抽象思維教學(xué)，這樣還能完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[?] 抽象思維能力培養(yǎng)的案例及反思

正是由于概念教學(xué)是發(fā)展學(xué)生抽象素養(yǎng)的重要載體，以探究為方式的概念教學(xué)是發(fā)展學(xué)生抽象思維能力的有效方式. 因此，教師在概念教學(xué)中應(yīng)力求從教學(xué)內(nèi)容本身去探尋概括和抽象的“食糧”， 推動(dòng)抽象思維的發(fā)展. 下面結(jié)合“曲線與方程”一課為例，從以下方面來(lái)談如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力.

1. 獨(dú)特的情境——數(shù)學(xué)抽象的起始點(diǎn)

師：大家來(lái)看這張圖片，有沒有一種熟悉感？（PPT展示百歲山廣告的插圖）

生1：認(rèn)識(shí)，這是百歲山.

師：這個(gè)廣告的背后有著一個(gè)沁人心脾的故事，大家有沒有興趣聽一聽？

生（齊）：有.

師：數(shù)學(xué)家笛卡爾和瑞典公主克里斯汀相愛了，但卻無(wú)法得到國(guó)王的祝福. 笛卡爾無(wú)奈，就書信一封給公主，信中只有這樣的一個(gè)公式“x2+（y-）2=1”，你們猜這個(gè)公式是什么意思？代表一個(gè)什么圖形？

生：不知道. （大家一臉茫然）

師：聰明的公主在建立坐標(biāo)系和作圖之后，得到了一條動(dòng)人的心形線，立刻感動(dòng)得淚流滿面. （學(xué)生立刻發(fā)出“哇”的一聲歡呼）

師：事實(shí)上，一條曲線對(duì)應(yīng)一個(gè)方程，今天這節(jié)課就讓我們一起來(lái)了解二者之間是一種什么樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系……

反思：在給出概念時(shí)，越能讓學(xué)生覺得“很有意思”，就越利于概念的構(gòu)建，可以促進(jìn)學(xué)生更多的數(shù)學(xué)思考，更大可能地讓抽象發(fā)生. 因此，在教學(xué)過(guò)程中采用獨(dú)特而有趣的情境可以激活聯(lián)想，讓學(xué)生感覺到概念的“回味無(wú)窮”，從而為進(jìn)一步抽象奠基，使得之后的構(gòu)建與抽象水到渠成.

2. 歸納和類比——數(shù)學(xué)抽象的著力點(diǎn)

師：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線平分第一和第三象限，試著寫一寫它的直線方程.

生2：x-y=0.

師：無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成了一條直線，那么方程x-y=0的解就有無(wú)數(shù)個(gè). 這些點(diǎn)與方程的解有何關(guān)系？

生3：直線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.

生4：坐標(biāo)是方程的解的點(diǎn)在直線上.

師：設(shè)點(diǎn)M（x，y）在直線上，則有

x=

y. 又因?yàn)閤-y=0平分第一和第三象限，則有x=y，x-y=0，滿足方程x-y=0.

反之，滿足方程x-y=0的解（x，y）有x-y=0，則有x=y，所以（x，y）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上.

師：在平面直角坐標(biāo)系中，試求出以（a，b）為圓心、以r為半徑的圓的方程.

生5：（x-a）2+（y-b）2=r2.

師：設(shè)點(diǎn)M（x，y）在圓上，則有=r，平方后可得（x-a）2+（y-b）2=r2，則圓上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解.

（x，y）為方程（x-a）2+（y-b）2=r2的任意一解，開方則有=r，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上.

師：之前所學(xué)的橢圓+=1中，也可以得出與直線和圓相同的結(jié)論，這就是我們熟悉的特殊曲線，從中可以得到更一般的情形.

反思：“曲線與方程”的概念難懂、抽象，其外延對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)更是陌生的，而課堂中若教師不能給予學(xué)生足夠的時(shí)空思辨，則會(huì)導(dǎo)致掌握不透或理解不清. 通過(guò)復(fù)習(xí)一系列曲線與其方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，在類比中抽象和概括，從特殊到一般地進(jìn)行概括，從而自我建構(gòu)起概念.

3. 反例指引——數(shù)學(xué)抽象的助推點(diǎn)

師：曲線：過(guò)點(diǎn)（1，1）的直線，其斜率為1;方程：=1. 上述曲線與方程可以相互表示嗎？

生6：不能.

師：為什么？

生6：因?yàn)辄c(diǎn)（1，1）并不在直線上.

師：由此可見，多一個(gè)是不行的.

師：曲線：△AOB中AB上的中線，且O（0，0），A（1，0），B（0，2）;方程：x-y=0. 上述曲線與方程可以相互表示嗎？

生7：不能. △AOB的中線是一條線段，而方程x-y=0所表示的是一條直線.

師：由此可見，少一個(gè)也是不行的. 所以，只有在一一對(duì)應(yīng)的情況下才能確定.

反思：從直觀到抽象的過(guò)程，需要理解其內(nèi)涵和外延. 而“曲線與方程”定義中兩個(gè)關(guān)系的規(guī)定是本節(jié)課的難點(diǎn)問題，學(xué)生需充分認(rèn)識(shí)到二者缺一不可. 事實(shí)上，學(xué)生的腦海中早已積累了實(shí)際模型，也具備了感性認(rèn)知，這里以反例為指引充分揭示其中的矛盾，促使學(xué)生在探究中獲得對(duì)概念的理解，在反例的溝通中生成對(duì)概念的應(yīng)用. 這樣感悟而得的思維才是深刻的，這樣逐步抽象得出的結(jié)果才是具有價(jià)值的，才能讓學(xué)生理解深刻.

4. 開展探究活動(dòng)——數(shù)學(xué)抽象的生長(zhǎng)點(diǎn)

例題：證明：圓心是M（3，4），半徑是5的圓的方程為（x-3）2+（y-4）2=25，并判斷點(diǎn)O（0，0），A（-1，0），B（1，2）是否在該圓上.

反思：探究活動(dòng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，建構(gòu)主義更加強(qiáng)調(diào)“做中學(xué)”，因此，學(xué)生積極的參與和獨(dú)立的思考是不可或缺的，教師不可以將抽象的結(jié)論直接拋出，而應(yīng)讓學(xué)生通過(guò)自主參與，利用自己的深度思考，去發(fā)現(xiàn)和習(xí)得知識(shí)，形成抽象的結(jié)果. 這里，數(shù)學(xué)知識(shí)資源豐富，運(yùn)用好合作學(xué)習(xí)和分組匯報(bào)的方式，讓學(xué)生在積極思維和自主探究中進(jìn)行抽象思維的碰撞，積蓄抽象思維的深度力量，獲得深刻的抽象經(jīng)驗(yàn).

[?] 一些感悟

1. 把握概念教學(xué)的內(nèi)容，凸顯直觀到抽象的過(guò)程

高中生有著近十年的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，并掌握了一定量的知識(shí)，具有一定的抽象能力. 教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主探究，凸顯直觀到抽象的過(guò)程，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促使學(xué)生能夠自主地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，更好地孕育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的生長(zhǎng).

2. 不能將抽象思維能力孤立培養(yǎng)

任何方法都不是孤立存在的，只有抽象沒有類比也無(wú)價(jià)值可言，因此在概念教學(xué)中要努力讓學(xué)生經(jīng)歷“類比+概括+抽象”的數(shù)學(xué)活動(dòng). 在概念教學(xué)中，注重發(fā)展抽象思維能力時(shí)也應(yīng)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探究和歸納概括的應(yīng)用與價(jià)值有清醒的認(rèn)識(shí).

3. 只有經(jīng)歷探究過(guò)程，才能積淀有價(jià)值的抽象活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

教學(xué)的過(guò)程就是經(jīng)驗(yàn)改造和積累的過(guò)程，在抽象思維培養(yǎng)的過(guò)程中，教師的情境創(chuàng)設(shè)需獨(dú)特而開放，給學(xué)生足夠的探究和思考的時(shí)空，讓學(xué)生自主自發(fā)地進(jìn)行抽象. 在抽象的過(guò)程中發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用，讓學(xué)生在不斷經(jīng)歷豐富的抽象過(guò)程中積淀充滿感悟的抽象經(jīng)驗(yàn)[2].

總之，抽象素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，而需要以概念課教學(xué)為依托，在教學(xué)過(guò)程中水到渠成地孕育. 通過(guò)概念課教學(xué)[3]. 讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，讓學(xué)生在體驗(yàn)數(shù)學(xué)情境、類比歸納、聯(lián)系反例和經(jīng)歷探究活動(dòng)的過(guò)程中提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1] ?李祎，曹益華. 概念的本質(zhì)與定義方式探究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（6）.

[2] ?張永明. 高中生數(shù)學(xué)抽象概括能力培養(yǎng)的途徑與策略[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（5）.

[3] ?甘小生，李朝暉. 在探究中培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力——以《平行與垂直》教學(xué)為例[J]. 湖北教育（教育教學(xué)），2017（3）.

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