勻變速直線運(yùn)動(dòng)與等差數(shù)列

摘要：從勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式出發(fā)，從一般的情況入手，對(duì)它們做恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理就可以構(gòu)造出一系列的等差數(shù)列，它與初速度和加速度的具體值的大小無關(guān)，事實(shí)上也與初速度和加速度的方向無關(guān)。但是當(dāng)僅考慮具體問題的計(jì)算時(shí)，所得的值是依賴于初速度和加速度的。

關(guān)鍵詞：勻變速直線運(yùn)動(dòng)；位移公式；等差數(shù)列

中圖分類號(hào)：G424.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）19-0103-02

對(duì)高中學(xué)生及大學(xué)理科學(xué)生來說，數(shù)學(xué)和物理是相對(duì)較難掌握的學(xué)科，相對(duì)而言，高中教學(xué)、大學(xué)理科教學(xué)中數(shù)學(xué)、物理是花時(shí)較多，而成績(jī)提高較為困難的學(xué)科，作為教師來說，怎樣改變這種狀況呢？我采用用物理材料構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的方法實(shí)施教學(xué)，效果較好，現(xiàn)以勻變速直線運(yùn)動(dòng)與等差數(shù)列舉例如下。

一、用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式構(gòu)造等差數(shù)列

我們知道，在物理中，若物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)初速度為V■，加速度a，則t時(shí)刻物體的位移為：S=V■t+■at2。如果我們考慮前一秒內(nèi)、前二秒內(nèi)、前三秒內(nèi)、前四秒內(nèi)……前n秒內(nèi)的位移，則它們分別為：V■+■a、2V■+■a、3V■+■a、4V■+■a、…nV■+■a；如果我們考慮第一秒內(nèi)，第二秒內(nèi)，第三秒內(nèi)，第四秒內(nèi)……第n秒內(nèi)的位移，則它們分別為：V■+■a、V■+■a、V■+■a、V■+■a…V■+■a，從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來分析上述數(shù)列{an}，我們將第n項(xiàng)記為an，則有an=V■+■a。因?yàn)椋篴n+1-an=V■+■a-（V■+■a）=a，所以它們構(gòu)成了首項(xiàng)為a1=V■+■a，公差為d=a（注意，從物理的觀點(diǎn)看，這里d和a的僅是數(shù)值上相等），通項(xiàng)公式為an=V■+■a的等差數(shù)列。其中第n項(xiàng)的含義為做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在第n秒內(nèi)發(fā)生的位移。數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，我們利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，公式中，a1=V■+■a，d=a則：sn=■n=v0 n+■an2{an=a1+（n-1）d}。其含義則為物體在前n秒內(nèi)發(fā)生的位移，所得結(jié)論與物理教材上的結(jié)論完全一致（這時(shí)，t=n）。事實(shí)上，如果我們選取的時(shí)間間隔為固定值Δt，并來討論物體在前Δt秒內(nèi)、前2Δt秒內(nèi)、前3Δt秒內(nèi)、前4Δt秒內(nèi)、……前nΔt秒內(nèi)的位移，則它們分別為：V■Δt+■a（Δt）2、2VΔt0+■a（Δt）2、3V■Δt+■a（Δt）2、4V■Δt+■a（Δt）2、…nV■Δt+■a（Δt）2，如果我們考慮第一個(gè)Δt秒內(nèi)，第二個(gè)Δt秒內(nèi)，第三個(gè)Δt秒內(nèi)，第四個(gè)Δt秒內(nèi)、……第n個(gè)Δt秒內(nèi)的位移，則它們分別為：V■Δt+■a（Δt）2、V■Δt+■a（Δt）2、V■Δt+■a（Δt）2、V■Δt+■a（Δt）2、…V■Δt+■a（Δt）■，從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來分析上述數(shù)列{bn}，我們將第n項(xiàng)記為bn，則有bn=V■Δt+■a（Δt）2，因?yàn)椋篵n+1-bn=V■Δt+■a（Δt）2-（V■Δt+■a）（Δt）2=a（Δt）2。所以它們構(gòu)成了首項(xiàng)為b1=V■Δt+■a（Δt）2，公差為d=a（Δt）■，通項(xiàng)公式為bn=V■Δt+■a（Δt）2的等差數(shù)列。其中第n項(xiàng)的含義為做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在第n個(gè)Δt秒內(nèi)發(fā)生的位移。物理學(xué)家伽利略在研究落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（它是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例）時(shí)，曾假設(shè)物體速度的變化對(duì)時(shí)間來說是均勻的，并通過數(shù)學(xué)推理和實(shí)驗(yàn)研究得出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。通過我們上面的計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，相連的單位時(shí)間內(nèi)后一個(gè)時(shí)間比前一個(gè)時(shí)間增加的位移是相同的，其值為a（Δt）2，如果單位時(shí)間取Δt=1秒，則相連的單位時(shí)間內(nèi)后一個(gè)時(shí)間比前一個(gè)時(shí)間增加的位移僅就數(shù)值上來說即為a，由于a（Δt）■是位移的差值，所以單位與位移的單位相同，所以a的單位仍是m/s■，這是加速度的另一個(gè)物理意義。同時(shí)說明位移對(duì)時(shí)間來說是均勻增加的。同樣對(duì)于數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，因?yàn)?，b1=V0+■a，bn=V0Δt+■a（Δt）2，d=a（Δt）2則：sn=■n=nV0Δt+■an2（Δt）2{an=a1+（n-1）d}，其和為前nΔt時(shí)間內(nèi)的位移，我們令t=nΔt，則我們同樣可以可得到sn=V0t+■at2，仍然與前述的物理教材上的結(jié)論一致。我們用等差數(shù)列的知識(shí)理解了勻變速直線運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，又用等差數(shù)列的知識(shí)處理了勻變速直線運(yùn)動(dòng)中的位移問題。同時(shí)，對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式及應(yīng)用也有了進(jìn)一步的熟悉和了解。在這里，物理知識(shí)構(gòu)成了數(shù)學(xué)知識(shí)的素材，數(shù)學(xué)知識(shí)則變成了解決物理問題的工具。物理知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)的緊密關(guān)系在此例子中得到了深刻的體現(xiàn)。

二、幾個(gè)推論

1.初速度為0的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的第一秒內(nèi)、第二秒內(nèi)、第三秒內(nèi)、第四秒內(nèi)、……第n秒內(nèi)的位移的比是1∶3∶5∶7∶……（2n-1）。證明：因?yàn)閍n=V0+■a，根據(jù)題意V0=0，所以a1=■a、a2=■a、a3=■a、a4=■a、…an=■a，所以a1∶a2∶a3∶a4：…an=■a∶■a∶■a∶■a∶…■a=1∶3∶5∶7∶…■。所以初速度為0的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的第一秒內(nèi)、第二秒內(nèi)、第三秒內(nèi)、第四秒內(nèi)、……第n秒內(nèi)的位移的比是1∶3∶5∶7：……（2n-1）。

2.初速度為0的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的前一秒內(nèi)、前二秒內(nèi)、前三秒內(nèi)、前四秒內(nèi)、……前n秒內(nèi)的位移的比為1∶4∶9∶16∶……n2證明：我們可以將一般勻變速直線運(yùn)動(dòng)的前一秒內(nèi)、前二秒內(nèi)、前三秒內(nèi)、前四秒內(nèi)、……前n秒內(nèi)的位移V0+■a、2V0+■a、3V0+■a、4V0+■a、…nV0+■a所構(gòu)成的數(shù)列記為{cn}，則cn=nV0+■a，又知V0=0。所以c1=■a、c2=■a、c3=■a、c4=■a、…cn=■a，所以c1∶c2∶c3∶c4∶…cn=1∶4∶9∶16∶…n2。所以初速度為0的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的前一秒內(nèi)、前二秒內(nèi)、前三秒內(nèi)、前四秒內(nèi)、……前n秒內(nèi)的位移的比為1∶4∶9∶16∶……n2。

綜上所述，我們從討論的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式出發(fā)，從一般的情況入手，對(duì)它們做恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理就可以構(gòu)造出一系列的等差數(shù)列，它與初速度和加速度的具體值的大小無關(guān)，事實(shí)上也與初速度和加速度的方向無關(guān)。但是當(dāng)僅考慮具體問題的計(jì)算時(shí)，所得的值是依賴于初速度和加速度的。正如以上的推論，當(dāng)初速度為0且僅計(jì)算比值時(shí)，則所得結(jié)論與加速度的大小也無關(guān)，這都充分說明勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的普遍性。

作者簡(jiǎn)介：張榮登（1966-），男，大學(xué)本科，畢業(yè)于云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，現(xiàn)從事教學(xué)與管理工作。endprint

摘要：從勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式出發(fā)，從一般的情況入手，對(duì)它們做恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理就可以構(gòu)造出一系列的等差數(shù)列，它與初速度和加速度的具體值的大小無關(guān)，事實(shí)上也與初速度和加速度的方向無關(guān)。但是當(dāng)僅考慮具體問題的計(jì)算時(shí)，所得的值是依賴于初速度和加速度的。

關(guān)鍵詞：勻變速直線運(yùn)動(dòng)；位移公式；等差數(shù)列

中圖分類號(hào)：G424.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）19-0103-02

對(duì)高中學(xué)生及大學(xué)理科學(xué)生來說，數(shù)學(xué)和物理是相對(duì)較難掌握的學(xué)科，相對(duì)而言，高中教學(xué)、大學(xué)理科教學(xué)中數(shù)學(xué)、物理是花時(shí)較多，而成績(jī)提高較為困難的學(xué)科，作為教師來說，怎樣改變這種狀況呢？我采用用物理材料構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的方法實(shí)施教學(xué)，效果較好，現(xiàn)以勻變速直線運(yùn)動(dòng)與等差數(shù)列舉例如下。

一、用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式構(gòu)造等差數(shù)列

我們知道，在物理中，若物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)初速度為V■，加速度a，則t時(shí)刻物體的位移為：S=V■t+■at2。如果我們考慮前一秒內(nèi)、前二秒內(nèi)、前三秒內(nèi)、前四秒內(nèi)……前n秒內(nèi)的位移，則它們分別為：V■+■a、2V■+■a、3V■+■a、4V■+■a、…nV■+■a；如果我們考慮第一秒內(nèi)，第二秒內(nèi)，第三秒內(nèi)，第四秒內(nèi)……第n秒內(nèi)的位移，則它們分別為：V■+■a、V■+■a、V■+■a、V■+■a…V■+■a，從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來分析上述數(shù)列{an}，我們將第n項(xiàng)記為an，則有an=V■+■a。因?yàn)椋篴n+1-an=V■+■a-（V■+■a）=a，所以它們構(gòu)成了首項(xiàng)為a1=V■+■a，公差為d=a（注意，從物理的觀點(diǎn)看，這里d和a的僅是數(shù)值上相等），通項(xiàng)公式為an=V■+■a的等差數(shù)列。其中第n項(xiàng)的含義為做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在第n秒內(nèi)發(fā)生的位移。數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，我們利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，公式中，a1=V■+■a，d=a則：sn=■n=v0 n+■an2{an=a1+（n-1）d}。其含義則為物體在前n秒內(nèi)發(fā)生的位移，所得結(jié)論與物理教材上的結(jié)論完全一致（這時(shí)，t=n）。事實(shí)上，如果我們選取的時(shí)間間隔為固定值Δt，并來討論物體在前Δt秒內(nèi)、前2Δt秒內(nèi)、前3Δt秒內(nèi)、前4Δt秒內(nèi)、……前nΔt秒內(nèi)的位移，則它們分別為：V■Δt+■a（Δt）2、2VΔt0+■a（Δt）2、3V■Δt+■a（Δt）2、4V■Δt+■a（Δt）2、…nV■Δt+■a（Δt）2，如果我們考慮第一個(gè)Δt秒內(nèi)，第二個(gè)Δt秒內(nèi)，第三個(gè)Δt秒內(nèi)，第四個(gè)Δt秒內(nèi)、……第n個(gè)Δt秒內(nèi)的位移，則它們分別為：V■Δt+■a（Δt）2、V■Δt+■a（Δt）2、V■Δt+■a（Δt）2、V■Δt+■a（Δt）2、…V■Δt+■a（Δt）■，從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來分析上述數(shù)列{bn}，我們將第n項(xiàng)記為bn，則有bn=V■Δt+■a（Δt）2，因?yàn)椋篵n+1-bn=V■Δt+■a（Δt）2-（V■Δt+■a）（Δt）2=a（Δt）2。所以它們構(gòu)成了首項(xiàng)為b1=V■Δt+■a（Δt）2，公差為d=a（Δt）■，通項(xiàng)公式為bn=V■Δt+■a（Δt）2的等差數(shù)列。其中第n項(xiàng)的含義為做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在第n個(gè)Δt秒內(nèi)發(fā)生的位移。物理學(xué)家伽利略在研究落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（它是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例）時(shí)，曾假設(shè)物體速度的變化對(duì)時(shí)間來說是均勻的，并通過數(shù)學(xué)推理和實(shí)驗(yàn)研究得出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。通過我們上面的計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，相連的單位時(shí)間內(nèi)后一個(gè)時(shí)間比前一個(gè)時(shí)間增加的位移是相同的，其值為a（Δt）2，如果單位時(shí)間取Δt=1秒，則相連的單位時(shí)間內(nèi)后一個(gè)時(shí)間比前一個(gè)時(shí)間增加的位移僅就數(shù)值上來說即為a，由于a（Δt）■是位移的差值，所以單位與位移的單位相同，所以a的單位仍是m/s■，這是加速度的另一個(gè)物理意義。同時(shí)說明位移對(duì)時(shí)間來說是均勻增加的。同樣對(duì)于數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，因?yàn)?，b1=V0+■a，bn=V0Δt+■a（Δt）2，d=a（Δt）2則：sn=■n=nV0Δt+■an2（Δt）2{an=a1+（n-1）d}，其和為前nΔt時(shí)間內(nèi)的位移，我們令t=nΔt，則我們同樣可以可得到sn=V0t+■at2，仍然與前述的物理教材上的結(jié)論一致。我們用等差數(shù)列的知識(shí)理解了勻變速直線運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，又用等差數(shù)列的知識(shí)處理了勻變速直線運(yùn)動(dòng)中的位移問題。同時(shí)，對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式及應(yīng)用也有了進(jìn)一步的熟悉和了解。在這里，物理知識(shí)構(gòu)成了數(shù)學(xué)知識(shí)的素材，數(shù)學(xué)知識(shí)則變成了解決物理問題的工具。物理知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)的緊密關(guān)系在此例子中得到了深刻的體現(xiàn)。

二、幾個(gè)推論

1.初速度為0的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的第一秒內(nèi)、第二秒內(nèi)、第三秒內(nèi)、第四秒內(nèi)、……第n秒內(nèi)的位移的比是1∶3∶5∶7∶……（2n-1）。證明：因?yàn)閍n=V0+■a，根據(jù)題意V0=0，所以a1=■a、a2=■a、a3=■a、a4=■a、…an=■a，所以a1∶a2∶a3∶a4：…an=■a∶■a∶■a∶■a∶…■a=1∶3∶5∶7∶…■。所以初速度為0的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的第一秒內(nèi)、第二秒內(nèi)、第三秒內(nèi)、第四秒內(nèi)、……第n秒內(nèi)的位移的比是1∶3∶5∶7：……（2n-1）。

2.初速度為0的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的前一秒內(nèi)、前二秒內(nèi)、前三秒內(nèi)、前四秒內(nèi)、……前n秒內(nèi)的位移的比為1∶4∶9∶16∶……n2證明：我們可以將一般勻變速直線運(yùn)動(dòng)的前一秒內(nèi)、前二秒內(nèi)、前三秒內(nèi)、前四秒內(nèi)、……前n秒內(nèi)的位移V0+■a、2V0+■a、3V0+■a、4V0+■a、…nV0+■a所構(gòu)成的數(shù)列記為{cn}，則cn=nV0+■a，又知V0=0。所以c1=■a、c2=■a、c3=■a、c4=■a、…cn=■a，所以c1∶c2∶c3∶c4∶…cn=1∶4∶9∶16∶…n2。所以初速度為0的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的前一秒內(nèi)、前二秒內(nèi)、前三秒內(nèi)、前四秒內(nèi)、……前n秒內(nèi)的位移的比為1∶4∶9∶16∶……n2。

綜上所述，我們從討論的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式出發(fā)，從一般的情況入手，對(duì)它們做恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理就可以構(gòu)造出一系列的等差數(shù)列，它與初速度和加速度的具體值的大小無關(guān)，事實(shí)上也與初速度和加速度的方向無關(guān)。但是當(dāng)僅考慮具體問題的計(jì)算時(shí)，所得的值是依賴于初速度和加速度的。正如以上的推論，當(dāng)初速度為0且僅計(jì)算比值時(shí)，則所得結(jié)論與加速度的大小也無關(guān)，這都充分說明勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的普遍性。

作者簡(jiǎn)介：張榮登（1966-），男，大學(xué)本科，畢業(yè)于云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，現(xiàn)從事教學(xué)與管理工作。endprint

摘要：從勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式出發(fā)，從一般的情況入手，對(duì)它們做恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理就可以構(gòu)造出一系列的等差數(shù)列，它與初速度和加速度的具體值的大小無關(guān)，事實(shí)上也與初速度和加速度的方向無關(guān)。但是當(dāng)僅考慮具體問題的計(jì)算時(shí)，所得的值是依賴于初速度和加速度的。

關(guān)鍵詞：勻變速直線運(yùn)動(dòng)；位移公式；等差數(shù)列

中圖分類號(hào)：G424.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）19-0103-02

對(duì)高中學(xué)生及大學(xué)理科學(xué)生來說，數(shù)學(xué)和物理是相對(duì)較難掌握的學(xué)科，相對(duì)而言，高中教學(xué)、大學(xué)理科教學(xué)中數(shù)學(xué)、物理是花時(shí)較多，而成績(jī)提高較為困難的學(xué)科，作為教師來說，怎樣改變這種狀況呢？我采用用物理材料構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的方法實(shí)施教學(xué)，效果較好，現(xiàn)以勻變速直線運(yùn)動(dòng)與等差數(shù)列舉例如下。

一、用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式構(gòu)造等差數(shù)列

我們知道，在物理中，若物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)初速度為V■，加速度a，則t時(shí)刻物體的位移為：S=V■t+■at2。如果我們考慮前一秒內(nèi)、前二秒內(nèi)、前三秒內(nèi)、前四秒內(nèi)……前n秒內(nèi)的位移，則它們分別為：V■+■a、2V■+■a、3V■+■a、4V■+■a、…nV■+■a；如果我們考慮第一秒內(nèi)，第二秒內(nèi)，第三秒內(nèi)，第四秒內(nèi)……第n秒內(nèi)的位移，則它們分別為：V■+■a、V■+■a、V■+■a、V■+■a…V■+■a，從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來分析上述數(shù)列{an}，我們將第n項(xiàng)記為an，則有an=V■+■a。因?yàn)椋篴n+1-an=V■+■a-（V■+■a）=a，所以它們構(gòu)成了首項(xiàng)為a1=V■+■a，公差為d=a（注意，從物理的觀點(diǎn)看，這里d和a的僅是數(shù)值上相等），通項(xiàng)公式為an=V■+■a的等差數(shù)列。其中第n項(xiàng)的含義為做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在第n秒內(nèi)發(fā)生的位移。數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，我們利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，公式中，a1=V■+■a，d=a則：sn=■n=v0 n+■an2{an=a1+（n-1）d}。其含義則為物體在前n秒內(nèi)發(fā)生的位移，所得結(jié)論與物理教材上的結(jié)論完全一致（這時(shí)，t=n）。事實(shí)上，如果我們選取的時(shí)間間隔為固定值Δt，并來討論物體在前Δt秒內(nèi)、前2Δt秒內(nèi)、前3Δt秒內(nèi)、前4Δt秒內(nèi)、……前nΔt秒內(nèi)的位移，則它們分別為：V■Δt+■a（Δt）2、2VΔt0+■a（Δt）2、3V■Δt+■a（Δt）2、4V■Δt+■a（Δt）2、…nV■Δt+■a（Δt）2，如果我們考慮第一個(gè)Δt秒內(nèi)，第二個(gè)Δt秒內(nèi)，第三個(gè)Δt秒內(nèi)，第四個(gè)Δt秒內(nèi)、……第n個(gè)Δt秒內(nèi)的位移，則它們分別為：V■Δt+■a（Δt）2、V■Δt+■a（Δt）2、V■Δt+■a（Δt）2、V■Δt+■a（Δt）2、…V■Δt+■a（Δt）■，從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來分析上述數(shù)列{bn}，我們將第n項(xiàng)記為bn，則有bn=V■Δt+■a（Δt）2，因?yàn)椋篵n+1-bn=V■Δt+■a（Δt）2-（V■Δt+■a）（Δt）2=a（Δt）2。所以它們構(gòu)成了首項(xiàng)為b1=V■Δt+■a（Δt）2，公差為d=a（Δt）■，通項(xiàng)公式為bn=V■Δt+■a（Δt）2的等差數(shù)列。其中第n項(xiàng)的含義為做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在第n個(gè)Δt秒內(nèi)發(fā)生的位移。物理學(xué)家伽利略在研究落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（它是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例）時(shí)，曾假設(shè)物體速度的變化對(duì)時(shí)間來說是均勻的，并通過數(shù)學(xué)推理和實(shí)驗(yàn)研究得出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。通過我們上面的計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，相連的單位時(shí)間內(nèi)后一個(gè)時(shí)間比前一個(gè)時(shí)間增加的位移是相同的，其值為a（Δt）2，如果單位時(shí)間取Δt=1秒，則相連的單位時(shí)間內(nèi)后一個(gè)時(shí)間比前一個(gè)時(shí)間增加的位移僅就數(shù)值上來說即為a，由于a（Δt）■是位移的差值，所以單位與位移的單位相同，所以a的單位仍是m/s■，這是加速度的另一個(gè)物理意義。同時(shí)說明位移對(duì)時(shí)間來說是均勻增加的。同樣對(duì)于數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，因?yàn)椋琤1=V0+■a，bn=V0Δt+■a（Δt）2，d=a（Δt）2則：sn=■n=nV0Δt+■an2（Δt）2{an=a1+（n-1）d}，其和為前nΔt時(shí)間內(nèi)的位移，我們令t=nΔt，則我們同樣可以可得到sn=V0t+■at2，仍然與前述的物理教材上的結(jié)論一致。我們用等差數(shù)列的知識(shí)理解了勻變速直線運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，又用等差數(shù)列的知識(shí)處理了勻變速直線運(yùn)動(dòng)中的位移問題。同時(shí)，對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式及應(yīng)用也有了進(jìn)一步的熟悉和了解。在這里，物理知識(shí)構(gòu)成了數(shù)學(xué)知識(shí)的素材，數(shù)學(xué)知識(shí)則變成了解決物理問題的工具。物理知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)的緊密關(guān)系在此例子中得到了深刻的體現(xiàn)。

二、幾個(gè)推論

1.初速度為0的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的第一秒內(nèi)、第二秒內(nèi)、第三秒內(nèi)、第四秒內(nèi)、……第n秒內(nèi)的位移的比是1∶3∶5∶7∶……（2n-1）。證明：因?yàn)閍n=V0+■a，根據(jù)題意V0=0，所以a1=■a、a2=■a、a3=■a、a4=■a、…an=■a，所以a1∶a2∶a3∶a4：…an=■a∶■a∶■a∶■a∶…■a=1∶3∶5∶7∶…■。所以初速度為0的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的第一秒內(nèi)、第二秒內(nèi)、第三秒內(nèi)、第四秒內(nèi)、……第n秒內(nèi)的位移的比是1∶3∶5∶7：……（2n-1）。

2.初速度為0的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的前一秒內(nèi)、前二秒內(nèi)、前三秒內(nèi)、前四秒內(nèi)、……前n秒內(nèi)的位移的比為1∶4∶9∶16∶……n2證明：我們可以將一般勻變速直線運(yùn)動(dòng)的前一秒內(nèi)、前二秒內(nèi)、前三秒內(nèi)、前四秒內(nèi)、……前n秒內(nèi)的位移V0+■a、2V0+■a、3V0+■a、4V0+■a、…nV0+■a所構(gòu)成的數(shù)列記為{cn}，則cn=nV0+■a，又知V0=0。所以c1=■a、c2=■a、c3=■a、c4=■a、…cn=■a，所以c1∶c2∶c3∶c4∶…cn=1∶4∶9∶16∶…n2。所以初速度為0的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的前一秒內(nèi)、前二秒內(nèi)、前三秒內(nèi)、前四秒內(nèi)、……前n秒內(nèi)的位移的比為1∶4∶9∶16∶……n2。

綜上所述，我們從討論的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式出發(fā)，從一般的情況入手，對(duì)它們做恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理就可以構(gòu)造出一系列的等差數(shù)列，它與初速度和加速度的具體值的大小無關(guān)，事實(shí)上也與初速度和加速度的方向無關(guān)。但是當(dāng)僅考慮具體問題的計(jì)算時(shí)，所得的值是依賴于初速度和加速度的。正如以上的推論，當(dāng)初速度為0且僅計(jì)算比值時(shí)，則所得結(jié)論與加速度的大小也無關(guān)，這都充分說明勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的普遍性。

作者簡(jiǎn)介：張榮登（1966-），男，大學(xué)本科，畢業(yè)于云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，現(xiàn)從事教學(xué)與管理工作。endprint