從公理化方法視角解讀數(shù)學(xué)

雒福東

1、公理化的方法解讀數(shù)學(xué)

1.1數(shù)學(xué)的定義

數(shù)學(xué)是什么？這是困擾人們千百年來的問題。歷史上很多哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都對數(shù)學(xué)下過定義，在眾說紛紜之間體現(xiàn)了數(shù)學(xué)多樣的美。其中一個定義是這樣敘述的：數(shù)學(xué)是公理化，是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設(shè)）出發(fā)，按照邏輯規(guī)則推導(dǎo)出其他命題，建立起一個演繹系統(tǒng)。對于龐大的數(shù)學(xué)體系，這樣的定義過于抽象，這要求我們要從具體事例角度加以理解。

1.2公理化方法的定義

公理化思想就是任何真正的科學(xué)都始于原理，以它們?yōu)榛A(chǔ)，并由之而導(dǎo)出一切結(jié)果。隨著假設(shè)演繹模型法的進(jìn)一步發(fā)展，經(jīng)濟(jì)學(xué)日益走向公理化方法。公理化是一種數(shù)學(xué)方法。最早出現(xiàn)在二千多年前的歐幾里德幾何學(xué)中，當(dāng)時認(rèn)為“公理’（如兩點(diǎn)之間可連一直線）是一種不需要證明的自明之理，而其他所謂“定理” （如三對應(yīng)邊相等的兩個三角形全等）則是需要由公理出發(fā)來證明的

1.3公理化方法解讀數(shù)學(xué)

當(dāng)一門科學(xué)積累了相當(dāng)豐富的經(jīng)驗(yàn)知識，需要按照邏輯順序加以綜合整理，使之條理化、系統(tǒng)化，上升到理性認(rèn)識的時候，公理化方法便是一種有效的手段。如近代數(shù)學(xué)中的群論，便經(jīng)歷了一個公理化的過程。當(dāng)人們分別研究了許多具體的群結(jié)構(gòu)以后，發(fā)現(xiàn)了它們具有基本的共同屬性，就用一個滿足一定條件的公理集合來定義群，形成一個群的公理系統(tǒng)，并在這個系統(tǒng)上展開群的理論，推導(dǎo)出一系列定理。不但對建立科學(xué)理論體系，訓(xùn)練人的邏輯推理能力，系統(tǒng)地傳授科學(xué)知識，以及推廣科學(xué)理論的應(yīng)用等方面起到有益的作用，而且對于進(jìn)一步發(fā)展科學(xué)理論也有獨(dú)特的作用。例如在代數(shù)方面，由于公理化方法的應(yīng)用，在群論、域論、理想論等理論部門形成了一系列新的概念，建立了一系列新的聯(lián)系并導(dǎo)致了一系列深遠(yuǎn)的結(jié)果;在幾何方面，由于對平行公設(shè)的研究導(dǎo)致了非歐幾何的創(chuàng)立。

2、幾何公理化演變

2.1《幾何原本》帶來的公理化方法

早在古埃及和古巴比倫時期，實(shí)用幾何知識已經(jīng)初步形成。古希臘早期的數(shù)學(xué)家泰勒斯熟悉了經(jīng)驗(yàn)幾何和計算法則后，確定了幾條最早的幾何定理。后來畢達(dá)哥拉斯學(xué)派開始了幾何邏輯證明。其中該學(xué)派的希波克拉茨第一個系統(tǒng)得對幾何進(jìn)行邏輯證明，其名著?幾何綱要?開創(chuàng)了希臘公理學(xué)論著的先河。[1]之后柏拉圖學(xué)派也把數(shù)學(xué)奠基于邏輯之上，堅持使用準(zhǔn)確的定義、清楚的假設(shè)和嚴(yán)格的證明，提出了系統(tǒng)的推理法則。古希臘數(shù)學(xué)家哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里士多德則是“第一個偉大的公理化方法理論家”。他在?分析篇?中，總結(jié)概括了邏輯學(xué)豐富資料，在歷史上第一次對公理化方法做了論述。但是他沒有實(shí)際用過公理化方法推出定理，構(gòu)造一個理論化知識體系。[2]直到?幾何原本?問世，才開始初步形成實(shí)質(zhì)性公理化方法。

2.2希爾伯特公理體系的建立

然而歐式幾何也并非完美無缺的，它對于一些概念的描述存在著模糊性，因此后世一直在對其進(jìn)行完善。例如?幾何原本?中提到的第五公設(shè)：“如果兩條直線與另一條直線相交，所成的同側(cè)內(nèi)角和小于兩直角，那么這兩條直線在這一側(cè)必相交?！比藗儗ζ溥M(jìn)行多次證明，結(jié)果卻以失敗告終。直到高斯，羅巴切夫斯基和黎曼各自獨(dú)立認(rèn)識到這種證明是不可能的，從而建立了不同于歐式幾何的“非歐幾何”。

2.3幾何公理化演變的啟示

從幾何公理化的演變歷史中，我們可以看出以下幾點(diǎn)。首先幾何的公理化體系并不是從幾何誕生之日起便實(shí)現(xiàn)的，而是隨著歷史的發(fā)展不斷完善的。正是因?yàn)橛辛斯畔ＥD眾多數(shù)學(xué)家的努力，歐幾里得集大成者完成了?幾何原本?，開創(chuàng)了實(shí)質(zhì)性公理化方法。而后希爾伯特又在非歐幾何基礎(chǔ)上建立了希爾伯特公理體系，從而形成了數(shù)學(xué)公理體系。由此可見，數(shù)學(xué)的公理化形成過程并不是僅僅靠一位或幾位天才的數(shù)學(xué)家就可以實(shí)現(xiàn)，而是需要無數(shù)的數(shù)學(xué)家的汗水努力所完成的。所以，我們應(yīng)該明確幾何公理化的形成過程，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，提高推理論證能力，才能更好的運(yùn)用幾何公理化知識去進(jìn)行邏輯推理，來解決實(shí)際問題。

3、數(shù)學(xué)是公理化的依據(jù)

公理化具有如此鮮明的特點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的豐富多彩的性質(zhì)。同樣，將數(shù)學(xué)定義為公理化，也體現(xiàn)了從幾條簡單的公理和公設(shè)出發(fā)演繹出整個數(shù)學(xué)體系的公理化過程。下面讓我們看一下將數(shù)學(xué)定義為公理化的基本依據(jù)。

3.1數(shù)學(xué)的發(fā)展是公理化完善過程

數(shù)學(xué)的發(fā)展是一個漫長的歷史過程，并隨著時間的流逝不斷的完善。在數(shù)學(xué)最初的起源時，數(shù)學(xué)知識基本來源于生產(chǎn)生活之中。例如古埃及，古巴比倫的數(shù)學(xué)，就是起源于生活之中。而后在古希臘時期，論證幾何的出現(xiàn)讓數(shù)學(xué)逐漸脫離現(xiàn)實(shí)，進(jìn)入了抽象化的水平。東方數(shù)學(xué)也是如此，從用于解決天文學(xué)問題的?周髀算經(jīng)?，發(fā)展到成就豐富的?九章算術(shù)?，再到宋元數(shù)學(xué)的輝煌，同樣是一個數(shù)學(xué)理論體系完善的過程。

3.2公理定義方式對數(shù)學(xué)定義的影響

公理定義就是用一組公理來描述被定義項(xiàng)概念的本質(zhì)屬性的定義方式。在幾何公理化演變部分，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾對于自然數(shù)的定義便是應(yīng)用的公理定義方式。公理定義方式屬于數(shù)學(xué)七大定義方式之一，為人們所普遍接受。數(shù)學(xué)中很多基本概念，例如點(diǎn)、線、面都可以用公理化方法來定義，但是語言敘述相對復(fù)雜一些。所以在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，我們一般采用描述方法來說明此類簡單概念。

3.3公理化體系的形成帶來數(shù)學(xué)的變革

在前面的數(shù)學(xué)中，我們對數(shù)學(xué)公理化的演變有了清晰的了解。西方有句諺語：羅馬不是一天就建成的。同樣，數(shù)學(xué)理論體系不是一天就形成的，而是一個不斷變化發(fā)展的過程，而每一次大的數(shù)學(xué)變革都顛覆了人們對傳統(tǒng)的認(rèn)識。的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了數(shù)學(xué)第一次危機(jī)，撼動了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的理念。解析幾何的創(chuàng)立將幾何與代數(shù)完美的結(jié)合在一起。微積分的創(chuàng)造讓數(shù)學(xué)從常量數(shù)學(xué)時代進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時代。19世紀(jì)末非歐幾何的創(chuàng)立更是改變了兩千多年來人們對歐式幾何的信賴。可見，數(shù)學(xué)變革的力量是巨大的，它可以推動整個數(shù)學(xué)知識體系的完善和深化。

3.4公理化方法對于數(shù)學(xué)的作用和意義

分析、總結(jié)數(shù)學(xué)知識.凡取得了公理化結(jié)構(gòu)形式的數(shù)學(xué)，由于概念和定理均已數(shù)學(xué)公理化方法（axiomatic method of mathe-matics）一種常用的數(shù)學(xué)方法.從盡可能少的不定義的原始概念（基本概念）和一組不加證明的命題（公理）出發(fā)，經(jīng)過精確定義和邏輯推理而得到其他的全部概念和定理的、建立數(shù)學(xué)系統(tǒng)的方法。

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