數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)課堂中的滲透

鄭艷麗

摘 要：在我國面向多地推行新課改的背景下，有不少教師已經(jīng)轉(zhuǎn)變了教育觀念，對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)越來越重視。在這種背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，雖然教師需要重視學(xué)生對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概念的理解與掌握，但是也要注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。數(shù)形結(jié)合思想就是學(xué)生需要掌握的其中一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，本文對如何實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生學(xué)習(xí)中的應(yīng)用進行討論與研究.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;高中數(shù)學(xué);滲透

引言：在日常教學(xué)的過程中，教師應(yīng)該注重對學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，并在潛移默化中讓各種數(shù)學(xué)思想滲透到學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中去.本文通過研究數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中的具體應(yīng)用，試圖論證數(shù)形結(jié)合思想對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具有重要意義.

一、利用數(shù)形結(jié)合思想闡述基本概念解決課內(nèi)例題

在高中數(shù)學(xué)課堂中，教師在講述某些內(nèi)容時首先需要對學(xué)生進行基礎(chǔ)概念的闡述，讓學(xué)生理解掌握了基礎(chǔ)的概念，才能嘗試著去解決數(shù)學(xué)問題.但是因為數(shù)學(xué)的許多概念是抽象的，如果單憑教師口述不利于學(xué)生對基礎(chǔ)概念進行掌握理解.因此，在對學(xué)生進行基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)時，教師可以嘗試以數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生去更好的理解.這樣可以將概念以一種較為直觀的方式在黑板上為學(xué)生演示出來，便于學(xué)生更好的理解掌握基本概念.

例如，教師在為學(xué)生講述函數(shù)單調(diào)性、最值、極值等概念時，用“形”學(xué)生更容易理解，同樣以數(shù)形結(jié)合的方式為學(xué)生講解例題，更易于學(xué)生理解和掌握.比如，解不等式.在對這道例題講解時，教師首先應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生對題干進行簡單分析：令y=，對該函數(shù)進行變形得到y(tǒng)2=-（x-3），代表拋物線的上半支，令y=x-1表示一條直線，做出函數(shù)的圖像（圖1）.

如上圖1，是拋物線y2=-（x-3）（y≥0）及直線y=x-1的圖像，根據(jù)圖像，啟發(fā)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想求解，答案一目了然.通過這種簡單的數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，教師可以充分啟發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)基本概念的理解與應(yīng)用.

二、將數(shù)形結(jié)合滲透到解題過程中

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生必須掌握并有能力應(yīng)用其解決數(shù)學(xué)問題的一種常用方法.學(xué)生在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的過程中，可以充分鍛煉自身思維的活躍性，提高解決數(shù)學(xué)問題的效率.在高中數(shù)學(xué)中，常需考慮數(shù)形結(jié)合的題型有：建立合適的坐標(biāo)系將代數(shù)關(guān)系在坐標(biāo)系中直觀表示類及將代數(shù)問題幾何化以及向量問題幾何化類;除此，數(shù)形結(jié)合思想也常常被用來解決一些諸如通過觀察題目所給的幾何圖形列出代數(shù)關(guān)系式，或者是根據(jù)題目所給的條件，畫出相應(yīng)的幾何圖形的題型.學(xué)生在解決這一類題型時就需要熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想，不斷練習(xí)與應(yīng)用，實現(xiàn)能夠憑借數(shù)形結(jié)合思想更好地解決數(shù)學(xué)問題.

教師可以通過帶領(lǐng)學(xué)生一同解決一些數(shù)學(xué)問題來啟發(fā)學(xué)生如何運用數(shù)形結(jié)合思想.比如，已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足下列三個條件：①對任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）;②對任意的0≤x1≤x2，都有f（x1）<f（x2）;③y=f（x+2）的圖像關(guān)于y軸對稱;則f（4.5）， f（6.5） ，f（7）之間的大小關(guān)系是：_________.

在解決這道函數(shù)問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對這道題進行簡單的理解與分析，首先由條件①可以得知，T=4;由條件②可以得知，f（x）在[0，2]上是增函數(shù);由條件③可以得知，f（x+2）為偶函數(shù)，則f（-x-2）=f（x+2），所以可以得出f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對稱，由此學(xué)生可以作出示意圖，從而可以直觀的比較大小，示意圖如（圖2）所示.

在對題目進行分析并作出簡圖過程中，學(xué)生就可以直觀的從函數(shù)圖像中得出答案：f（4.5）<f（7）<f（6.5）.在解決這道問題時，如果使用代數(shù)法會使得解題過程變得極為復(fù)雜，會花費大量的時間甚至求不出解或錯解.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用使得抽象的題目形象化，更有利于學(xué)生尋找答案.

三、利用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)疑難問題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，除了將數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用到解釋基礎(chǔ)概念或者解決基礎(chǔ)問題中更重要的是用于簡化問題.由于數(shù)學(xué)本身的抽象性等特點，不少數(shù)學(xué)問題解題過程復(fù)雜學(xué)生對題目理解不透徹，這時數(shù)形結(jié)合的思想成為學(xué)生簡化處理這類疑難問題的有力工具.教師可以通過數(shù)形結(jié)合的思想啟發(fā)學(xué)生將復(fù)雜的問題進行簡化，通過觀察直觀的數(shù)學(xué)圖形，找到簡化疑難問題的方法.這樣不僅可以啟發(fā)學(xué)生以不同的思路去解決數(shù)學(xué)疑難問題，更是可以縮短學(xué)生解題的時間，同時也讓學(xué)生解題的正確率得到提高.

例如，數(shù)形結(jié)合思想為解決高考題中的一些疑難問題提供巨大幫助。比如下面這道高考題：設(shè)關(guān)于θ的方程θcos+sinθ+a=0在區(qū)間（0，2π）內(nèi)有兩個相異的實根α、β。①求實數(shù)a的取值范圍;②求α+β的值。

在解決這道高考題的過程中，教師要充分引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，將復(fù)雜的函數(shù)問題以圖形的形式進行簡化，并嘗試尋找解題方法。首先對①問進行分析，對原方進行變形可得到sin（θ+）=-，隨后令y= sin（θ+）（x∈（0，2π）），并做出該函數(shù)的圖像，如圖3所示，從圖中可以較為清楚的看出，方程在（0，2π）的范圍內(nèi)有相異的實根α、β的充分必要條件，是;所以可以較為輕松的得知實數(shù)a的范圍，-2<a<-或<a<2

對②問進行分析求解，因為在上一問中學(xué)生已經(jīng)畫出了函數(shù)的圖像，因此通過對函數(shù)圖像進行分析，可以得當(dāng)-<a<2，即y=-與三角函數(shù)y= sin（x+）的圖像相交于C、D兩點，它們的中點的橫坐標(biāo)為，所以，從而得出α+β=。通過這道例題可以發(fā)現(xiàn)，在高考之中也存在不少需要運用數(shù)形結(jié)合思想的題目，在解決這些問題中，教師要啟發(fā)學(xué)生多加思考，開拓思維，盡可能的通過數(shù)形結(jié)合來簡化解題步驟，為自己在高考中節(jié)省時間并提升自身正確率。

三、結(jié)束語

為了讓數(shù)形結(jié)合的思想融入滲透帶學(xué)生日常學(xué)習(xí)中，教師可以用數(shù)形結(jié)合的思想為學(xué)生闡述基本概念分析例題，也可以啟發(fā)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合的思想來幫助自己解決數(shù)學(xué)問題，同時教師更應(yīng)該注重對學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，提高學(xué)生對復(fù)雜問題簡單化的能力，實現(xiàn)對自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

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