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    拉阿貝判別法的推廣及應(yīng)用

    2021-02-22 07:20:26張文沈啟邱淑芳
    關(guān)鍵詞:級(jí)數(shù)

    張文 沈啟 邱淑芳

    【摘要】本文對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的拉阿貝判別法進(jìn)行了推廣,并通過例題說明該方法具有更廣的適用性.

    【關(guān)鍵詞】級(jí)數(shù);斂散性;拉阿貝判別法

    【基金項(xiàng)目】國家自然科學(xué)基金(11861007, 11761007), 江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ160564), 江西省教學(xué)研究項(xiàng)目(JXJG-18-6-4).

    一、引言

    級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)在理科《數(shù)學(xué)分析》或工科《高等數(shù)學(xué)》課程中都占據(jù)重要地位,判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)

    ∑∞n=1an的斂散性方法則為重中之重.常用的斂散性判別法為比較判別法、比式判別法、根式判別法、積分判別法和拉阿貝(Raabe)判別法等,由于比式判別法、根式判別法和拉阿貝判別法均有在臨界情況下失效的情形,于是我們想到在拉阿貝判別法的基礎(chǔ)上做出一些改進(jìn).

    二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比式判別法、根式判別法和拉阿貝判別法

    定理1 (比式判別法和根式判別法)

    對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1an(an>0),若limn→∞an+1an=r或者limn→∞nan=r,則:

    (1)當(dāng)r<1時(shí),級(jí)數(shù)∑∞n=1an收斂;

    (2)當(dāng)r>1時(shí),級(jí)數(shù)∑∞n=1an發(fā)散.

    問題:當(dāng)r=1時(shí),比式判別法和根式判別法均不能得出確切的斂散性結(jié)論,此時(shí)應(yīng)該如何判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性?我們?cè)龠x用拉阿貝判別法進(jìn)行判別.

    定理2 (拉阿貝判別法)

    對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1an(an>0),若limn→∞ n1-an+1an=p,則:

    (1)當(dāng)p>1時(shí), 級(jí)數(shù)∑∞n=1an收斂;

    (2)當(dāng)p<1時(shí), 級(jí)數(shù)∑∞n=1an發(fā)散.

    我們列舉經(jīng)典例題進(jìn)行討論.

    例1 討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1(2n-1)?。。?n)!!s,s∈N的斂散性.

    解 由于該級(jí)數(shù)的斂散性受到參數(shù)s∈N的影響,所以我們令an=(2n-1)!?。?n)?。,試著找出an+1an與s的關(guān)系.

    易知

    an+1an=2n+12n+2s=1-12n+2s,(1)

    于是

    limn→∞an+1an=limn→∞1-12n+2s=1,(2)

    即正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比式判別法失效. 根據(jù)拉阿貝判別法有

    limn→∞ n1-an+1an=limn→∞ n1-1-12n+2s,(3)

    上式為∞·0型的極限形式,轉(zhuǎn)化為00型后利用洛必達(dá)法則有

    limn→∞ n1-an+1an=limn→∞1-1-12n+2s1n

    =limn→∞-s1-12n+2s-112(n+1)2-1n2=s2,(4)

    于是,根據(jù)拉阿貝判別法知:

    當(dāng)s=1時(shí),limn→∞ n1-an+1an=s2<1,正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1(2n-1)?。。?n)??!s發(fā)散;

    當(dāng)s≥3時(shí),limn→∞ n1-an+1an=s2>1,正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1(2n-1)?。。?n)?。收斂.

    但是,當(dāng)s=2時(shí),limn→∞ n1-an+1an=s2=1,拉阿貝判別法也失效了.于是我們尋求推廣的拉阿貝判別法來判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1(2n-1)?。。?n)?。?的斂散性.

    三、拉阿貝判別法的推廣

    我們將拉阿貝判別法的適用范圍由正項(xiàng)級(jí)數(shù)推廣到一般項(xiàng)情形.

    定理3 若limn→∞ n1-an+1an=p(an≠0),則級(jí)數(shù)∑∞n=1an:

    (1)當(dāng)p>1時(shí)絕對(duì)收斂;

    (2)當(dāng)0≤p<1時(shí)條件收斂或發(fā)散;

    (3)當(dāng)p<0時(shí)發(fā)散.

    證明 (1) 當(dāng)p>1時(shí),N∈N+n>N滿足

    n1-an+1an>p+12>1,(5)

    即(n-1)|an|-n|an+1|>p+12-1|an|>0,(6)

    于是正項(xiàng)數(shù)列{n|an+1|}∞n=N嚴(yán)格單調(diào)遞減,由單調(diào)有界定理知數(shù)列{n|an+1|}∞n=1收斂,進(jìn)一步便知正項(xiàng)級(jí)數(shù)

    ∑∞n=2(n-1)|an|-n|an+1|=|a2|-limn→∞n|an+1|(7)

    也收斂,根據(jù)不等式(6)及比較判別法知:當(dāng)p>1時(shí),級(jí)數(shù)∑∞n=1an絕對(duì)收斂.

    (2) 當(dāng)0≤p<1時(shí),N∈N+,n>N滿足

    n1-an+1an

    即(n-1)|an|-n|an+1|

    于是

    |an+1|≥(N-1)|aN|n.(10)

    由比較判別法知:當(dāng)0≤p<1時(shí),級(jí)數(shù)∑∞n=1an條件收斂或發(fā)散.

    (3) 當(dāng)p<0時(shí),N∈N+,n>N滿足

    n1-an+1an

    即0<|aN|<|an|<|an+1|,(12)

    于是limn→∞ an≠0,由收斂級(jí)數(shù)必要條件知:當(dāng)p<0時(shí),級(jí)數(shù)∑∞n=1an發(fā)散.

    注:針對(duì)p=1的情形,定理1、定理2、定理3均不能給出確切的結(jié)論,即上述判別法均失效.下面的定理4為Kummer判別法的變形形式,可作為上述判別法的補(bǔ)充,為拉阿貝判別法的另一種推廣.

    定理4 設(shè)Tn=un-un+1an+1an(an>0,un>0),則有:

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