交錯級數(shù)收斂性判別法

房慶祥， 劉雪山， 楊偉能， 張 媛

(1.中國計量學(xué)院理學(xué)院， 浙江杭州310018； 2.山東省嘉祥縣職業(yè)中專，山東濟(jì)寧272400)

1 引 言

對于交錯級數(shù)的審斂準(zhǔn)則，一般高等數(shù)學(xué)教材[1]上僅介紹萊布尼茨判別法. 對于很多交錯級數(shù)，應(yīng)用萊布尼茨定理判別散斂性計算繁瑣. 近幾年來，很多學(xué)者對交錯級數(shù)的審斂準(zhǔn)則進(jìn)行了深入研究. 2006年，楊萬必[2]提出關(guān)于判定交錯級數(shù)收斂性的兩個結(jié)論. 2010年，劉志高[3]研究了交錯級數(shù)的對數(shù)判別法. 此外，文獻(xiàn)[4-7]也提出一些新的交錯級數(shù)判別法及應(yīng)用實(shí)例. 這些研究工作對判別交錯級數(shù)的收斂性提供了新的依據(jù). 本文進(jìn)一步研究交錯級數(shù)收斂性判別法，提出三個與正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法和根式判別法類似的收斂性判據(jù)，并舉例說明它們的應(yīng)用.

2 交錯級數(shù)收斂性判據(jù)

定理1對于交錯級數(shù)

(1)

如果存在常數(shù)λ,μ,p,l1,l2和數(shù)列{θn}，滿足λ>0,0

(2)

則

(i) 當(dāng)λ>1時，級數(shù)(1)絕對收斂；當(dāng)λ<1時，級數(shù)(1)發(fā)散;

(ii) 當(dāng)λ=1時，若μ>0，則級數(shù)(1)收斂；若μ≤0，則級數(shù)(1)發(fā)散.

由于

(3)

當(dāng)λ=1時,若μ≤0，則由(2)知，

由于

(4)

所以

由定理1，可得如下推論：

推論1對于交錯級數(shù)(1)，如果存在常數(shù)λ,μ,p滿足λ>0,0

(5)

則

(i) 當(dāng)λ>1時，級數(shù)(1)收斂；當(dāng)λ<1時級數(shù)(1)發(fā)散；

(ii) 當(dāng)λ=1時，若μ>0，則級數(shù)(1)收斂；若μ≤0，則級數(shù)(1)發(fā)散.

定理2對于交錯級數(shù)(1)，如果存在常數(shù)λ,μ,p,θ,m,λ>0,0m時，有

(6)

則

(i) 當(dāng)λ>1時，級數(shù)(1)發(fā)散；當(dāng)λ<1時，級數(shù)(1)絕對收斂；

(ii) 當(dāng)λ=1時，若μ≥0，則級數(shù)(1)發(fā)散；若μ<0，則級數(shù)(1)收斂.

證(i) 當(dāng)λ>1時，由(6)知n充分大時，

(7)

(ii)當(dāng)λ=1時,若μ>0，由(6)知

因此，交錯級數(shù)(1)發(fā)散.

若μ=0，由(6)知

因此，交錯級數(shù)(1)發(fā)散.

若μ<0，令

(8)

則

(9)

再令

(10)

和

(11)

則

(12)

且當(dāng)x→+∞時，g(x)和h(x)同號. 又因?yàn)?/p>

(13)

所以當(dāng)x→+∞時，h(x)<0. 由(12)知f′(x)<0. 因此，當(dāng)n充分大時，{un}單調(diào)遞減.

由于μ<0，故

根據(jù)萊布尼茨判別法知交錯級數(shù)(1)收斂.

由定理2，可得如下推論：

推論2對于交錯級數(shù)(1)，如果存在常數(shù)λ,μ,p，使得0

(14)

則

(i) 當(dāng)λ>1時級數(shù)(1)發(fā)散；當(dāng)λ>1時級數(shù)(1)收斂；

(ii) 當(dāng)λ=1時，若μ≥0，則級數(shù)(1)發(fā)散；若μ<0，則級數(shù)(1)收斂.

定理3的證明要用到下面的引理.

引理1(拉貝對數(shù)判別法)[8]對于正項(xiàng)級數(shù)∑un，若

則

(i) 當(dāng)l>1時，級數(shù)∑un收斂；

(ii) 當(dāng)l<1時，級數(shù)∑un發(fā)散.

定理3對于交錯級數(shù)(1)，如果存在常數(shù)p,l，使得0

(15)

則

(i) 當(dāng)l>0時，級數(shù)(1)收斂. 特別地當(dāng)p=1且l>1時，級數(shù)(1)絕對收斂；當(dāng)p=1且0

(ii) 當(dāng)l<0時，級數(shù)(1)發(fā)散；

(iii) 當(dāng)l=0時，級數(shù)(1)有可能收斂，也有可能發(fā)散.

從而

即

于是，對于任意正整數(shù)m>N1，有

即

當(dāng)p=1時，由引理1知，若l>1，則級數(shù)(1)絕對收斂；若0

3 判別法的應(yīng)用

例1判斷級數(shù)

的斂散性(p>0).

因?yàn)?/p>

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2011.

[2] 楊萬必. 關(guān)于交錯級數(shù)的審斂準(zhǔn)則的改進(jìn)和推廣[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2006, 22(2): 138-141.

[3] 劉志高. 交錯級數(shù)的對數(shù)判別法[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26(2):194-196.

[4] 劉曉玲, 張艷霞. 交錯級數(shù)收斂性的一個判別法[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2007，10(3): 51-53.

[5] 林讓起. 交錯級數(shù)收斂性的兩個補(bǔ)充判別法[J]. 紅河學(xué)院學(xué)報，2008，6(2):44-46.

[6] 蔡敏, 龔水法. 交錯級數(shù)收斂的幾個結(jié)果及其應(yīng)用[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2009，12(3): 29-31.

[7] 張建軍, 宋業(yè)新. 關(guān)于交錯級數(shù)收斂性判定的討論[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2009，12(3): 38-40.

[8] 姬小龍,王銳利. 正項(xiàng)級數(shù)的Raabe對數(shù)判別法[J]. 高等數(shù)學(xué)研究,2007 ,10 (3) : 7-9.