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    巧用夾逼準(zhǔn)則求極限

    2014-09-17 01:43:10高劍明葉海平
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2014年5期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)系東華大學(xué)乘積

    高劍明, 葉海平

    (東華大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系,上海201620)

    夾逼準(zhǔn)則是高等數(shù)學(xué)中求極限的重要方法之一[1]. 它的適用范圍涉及求數(shù)列的極限,一元以及多元函數(shù)的極限,反常積分的計(jì)算等等.近年來,全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題中也頻頻出現(xiàn)它的身影. 本文旨在巧用夾逼準(zhǔn)則求各類極限. 通過歸納和分類,幫助學(xué)生掌握夾逼準(zhǔn)則適用的類型和相關(guān)的解題技巧.

    1 求數(shù)列的極限

    [類型一]簡單放縮.

    錯(cuò)誤分析 在上述運(yùn)算中,使用了極限運(yùn)算法則“和的極限等于極限的和”,這個(gè)運(yùn)算法則只對有限個(gè)函數(shù)之和的情形才成立. 但在本題中,隨著n趨于無窮大,函數(shù)的個(gè)數(shù)也趨于無窮大,所以該解法是錯(cuò)誤的. 正確解法是用夾逼準(zhǔn)則.

    解由于

    [類型二]適當(dāng)放縮.

    以定積分形式表示的數(shù)列,該定積分難以算出精確表達(dá)式,常用夾逼準(zhǔn)則求該數(shù)列的極限.這里,放大、縮小要適當(dāng),兩頭極限必須相等才行. 因此,如何適當(dāng)放縮是難點(diǎn).

    證因?yàn)?/p>

    根據(jù)“夾逼準(zhǔn)則”可知,

    [類型三]放縮后,再利用積分和.

    適當(dāng)放縮后,經(jīng)常可以變?yōu)榉e分和[2],即利用

    [類型四]化乘積為求和.

    取自然對數(shù),可使n項(xiàng)乘積變?yōu)閚項(xiàng)求和. 然后再用夾逼準(zhǔn)則求n項(xiàng)和式的極限.

    由夾逼準(zhǔn)則,得

    故原式=e0=1.

    2 求一元函數(shù)的極限

    [類型五]函數(shù)取絕對值后放大.

    解因?yàn)閤>1時(shí),

    所以

    [類型六]用數(shù)列夾逼函數(shù).

    以積分上限表示的函數(shù),常用數(shù)列兩邊夾該函數(shù),然后再用夾逼準(zhǔn)則求得該函數(shù)的極限.

    解對于任何足夠大的正數(shù)x,總存在正整數(shù)n,使nπ≤x<(n+1)π,這樣x→+∞就等價(jià)于n→∞,所以

    所以

    3 求無窮區(qū)間上的反常積分

    解當(dāng)nπ≤t<(n+1)π時(shí),t→+∞等價(jià)于n→∞,

    同樣

    由夾逼準(zhǔn)則,得

    4 求多元函數(shù)的極限

    將多元函數(shù)自變量記為一個(gè)向量P=(x1,x2,…,xn),則多元函數(shù)u=f(x1,x2,…,xn)就可以寫成u=f(P). 夾逼準(zhǔn)則是證明極限為零的常用方法. 若估計(jì)所求極限為零,可采用不等式方法放大,

    0≤|f(P)|≤g(P),

    解由于

    [參 考 文 獻(xiàn)]

    [1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 微積分[M]. 北京:高等教育出版社,2002.

    [2] 李紹寬. 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M]. 上海:東華大學(xué)出版社,2000.

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