巧用夾逼準(zhǔn)則求極限

高劍明， 葉海平

(東華大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，上海201620)

夾逼準(zhǔn)則是高等數(shù)學(xué)中求極限的重要方法之一[1]. 它的適用范圍涉及求數(shù)列的極限，一元以及多元函數(shù)的極限，反常積分的計(jì)算等等.近年來，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題中也頻頻出現(xiàn)它的身影. 本文旨在巧用夾逼準(zhǔn)則求各類極限. 通過歸納和分類，幫助學(xué)生掌握夾逼準(zhǔn)則適用的類型和相關(guān)的解題技巧.

1 求數(shù)列的極限

[類型一]簡單放縮.

錯(cuò)誤分析 在上述運(yùn)算中，使用了極限運(yùn)算法則“和的極限等于極限的和”，這個(gè)運(yùn)算法則只對有限個(gè)函數(shù)之和的情形才成立. 但在本題中，隨著n趨于無窮大，函數(shù)的個(gè)數(shù)也趨于無窮大，所以該解法是錯(cuò)誤的. 正確解法是用夾逼準(zhǔn)則.

解由于

[類型二]適當(dāng)放縮.

以定積分形式表示的數(shù)列，該定積分難以算出精確表達(dá)式，常用夾逼準(zhǔn)則求該數(shù)列的極限.這里，放大、縮小要適當(dāng)，兩頭極限必須相等才行. 因此，如何適當(dāng)放縮是難點(diǎn).

證因?yàn)?/p>

而

根據(jù)“夾逼準(zhǔn)則”可知，

[類型三]放縮后，再利用積分和.

適當(dāng)放縮后，經(jīng)常可以變?yōu)榉e分和[2]，即利用

[類型四]化乘積為求和.

取自然對數(shù)，可使n項(xiàng)乘積變?yōu)閚項(xiàng)求和. 然后再用夾逼準(zhǔn)則求n項(xiàng)和式的極限.

又

由夾逼準(zhǔn)則，得

故原式=e0=1.

2 求一元函數(shù)的極限

[類型五]函數(shù)取絕對值后放大.

解因?yàn)閤>1時(shí)，

所以

[類型六]用數(shù)列夾逼函數(shù).

以積分上限表示的函數(shù)，常用數(shù)列兩邊夾該函數(shù)，然后再用夾逼準(zhǔn)則求得該函數(shù)的極限.

解對于任何足夠大的正數(shù)x，總存在正整數(shù)n，使nπ≤x<(n+1)π，這樣x→+∞就等價(jià)于n→∞，所以

而

所以

3 求無窮區(qū)間上的反常積分

解當(dāng)nπ≤t<(n+1)π時(shí)，t→+∞等價(jià)于n→∞，

而

同樣

由夾逼準(zhǔn)則，得

4 求多元函數(shù)的極限

將多元函數(shù)自變量記為一個(gè)向量P=(x1,x2,…,xn)，則多元函數(shù)u=f(x1,x2,…,xn)就可以寫成u=f(P). 夾逼準(zhǔn)則是證明極限為零的常用方法. 若估計(jì)所求極限為零，可采用不等式方法放大，

0≤|f(P)|≤g(P)，

解由于

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 微積分[M]. 北京：高等教育出版社，2002.

[2] 李紹寬. 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M]. 上海：東華大學(xué)出版社，2000.