分析一道線性代數(shù)例題的解法

李志明， 李宏偉

(中國地質(zhì)大學(xué)數(shù)理學(xué)院，湖北武漢430074)

線性代數(shù)是大學(xué)的一門基礎(chǔ)課程，該課程內(nèi)容抽象，理論性強(qiáng)，在教學(xué)中存在許多難點(diǎn)．國內(nèi)外線性代數(shù)教材種類繁多，各具特色和優(yōu)點(diǎn)．其中同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編、高等教育出版社出版的《工程線性代數(shù)》是一本很有代表性的教材. 該教材目前已是第五版，歷經(jīng)數(shù)次修編，在結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容闡述等方面具有主線明確、邏輯清晰、過渡自然、易教易學(xué)等特點(diǎn)，因而在全國高校使用廣泛，影響深遠(yuǎn)．

該教材的第123頁有如下一道例題，在教材中是第五章的例11．

教材中的解答如下．

得λ1=-1，λ2=λ3=1．

對(duì)應(yīng)單根λ1=-1，可求得線性無關(guān)的特征向量恰有1個(gè)，故矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是對(duì)應(yīng)重根λ2=λ3=1，有2個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即方程(A-E)x=0有2個(gè)線性無關(guān)的解，亦即系數(shù)矩陣A-E的秩R(A-E)x=1．

由

要R(A-E)x=1，得x+1=0，即x=-1．因此，當(dāng)x=-1時(shí)，矩陣A能對(duì)角化．

此解法中“矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是對(duì)應(yīng)重根λ2=λ3=1，有2個(gè)線性無關(guān)的特征向量”這一理論在該教材的內(nèi)容體系中欠周密．

關(guān)于矩陣對(duì)角化問題的研究，該教材分別在第120頁和第123頁給出了如下兩條定理并予以證明．下面的定理1、定理2分別是教材中第五章的定理2、定理4．

定理1設(shè)λ1，λ2，…，λm是方陣A的m個(gè)特征值，p1，p2，…，pm是依次與之對(duì)應(yīng)的特征向量. 如果λ1，λ2，…，λm各不相等，則p1，p2，…，pm線性無關(guān)．

定理2n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似(即A能對(duì)角化)的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量．

例1中，對(duì)應(yīng)重根λ2=λ3=1，假設(shè)矩陣A有2個(gè)線性無關(guān)的特征向量p2，p3，同時(shí)設(shè)對(duì)應(yīng)單根λ1=-1，A的特征向量為p1，那么p1，p2，p3的線性相關(guān)性如何呢？這個(gè)根據(jù)定理1并不能直接得出，因?yàn)槎ɡ?只是描述了對(duì)于每個(gè)特征值僅有單個(gè)特征向量的情形．由定理1可以得到的是，p1與p2線性無關(guān)，p1與p3線性無關(guān)．

例1的解法可完善如下．

λ1=-1時(shí)，解方程(A+E)x=0．由

得基礎(chǔ)解系p1=(-1,1,1,)T，p1是對(duì)應(yīng)于λ1=-1的特征向量．

λ2=λ3=1時(shí)，解方程(A-E)x=0．由

得基礎(chǔ)解系p2=(0,1,0)T，p3=(1,0,1)T，p2，p3是對(duì)應(yīng)于λ2=λ3=1的特征向量．而

所以p1，p2，p3線性無關(guān)，從而矩陣A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A能對(duì)角化．

也即是在求解中加入了充分性的驗(yàn)證．

實(shí)際上，定理1可推廣為下面的定理3．

定理3設(shè)λ1，λ2，…，λm是方陣A的不同特征值，而pi1，pi2，…，piri是對(duì)應(yīng)于特征值λi的線性無關(guān)的特征向量 (i=1,2,…,m)，那么向量組p11，p12，…，p1r1，p21，p22，…，p2r2，…，pm1，pm2，…，pmrm線性無關(guān)．

此定理在不少代數(shù)教材中有陳述和證明，如文獻(xiàn)[2]．

若基于此定理，則教材中的解法是完全正確的．

因?yàn)楸疚挠懻摰慕滩臎]有介紹這一定理，所以例1的解法還是周全嚴(yán)謹(jǐn)為宜．

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．工程線性代數(shù)[M]．5版.北京：高等教育出版社，2013：117-124．

[2] 邱森．高等代數(shù)[M]．2版.武漢：武漢大學(xué)出版社，2012：210-216．