淺析歐拉角的定義及應(yīng)用

劉鋒 李國平

【摘要】本文首先介紹了歐拉角的定義及其在不同學(xué)科的應(yīng)用，然后分析了歐拉角作為表達(dá)剛體姿態(tài)方法的優(yōu)缺點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】歐拉角;姿態(tài);偏航角;滾動(dòng)角;俯仰角

【基金項(xiàng)目】湖南工學(xué)院教研教改項(xiàng)目（JY201841）

一、旋轉(zhuǎn)矩陣

描述剛體在空間中的姿態(tài)，我們可以用旋轉(zhuǎn)矩陣.假設(shè)參考坐標(biāo)系（固定坐標(biāo)系）為坐標(biāo)系{A}，固連于剛體的坐標(biāo)系為{B}，則剛體相對(duì)于參考坐標(biāo)系的姿態(tài)可表示為

ABR=r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33

其中ABR是正交矩陣，構(gòu)成矩陣的每一列都是一個(gè)單位向量，且各列向量是互相正交的.對(duì)于右手坐標(biāo)系，還有BAR=1.可以證明行列式等于1的所有3×3正交矩陣以矩陣乘法作為群運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群，稱為特殊正交群，記為SO（3），SO（3）的最簡(jiǎn)表示需要3個(gè)參數(shù).

旋轉(zhuǎn)矩陣的9個(gè)元素，有6個(gè)約束，實(shí)際上只有3個(gè)自由變量.這就表示只需要3個(gè)獨(dú)立的參數(shù)就可描述剛體在空間中的姿態(tài).而且用旋轉(zhuǎn)矩陣表示剛體的位姿，不直觀，沒有明顯的物理意義.如果機(jī)器人操作人員要輸入9個(gè)元素的矩陣來控制機(jī)器人到達(dá)預(yù)期的位置，這也是極不方便的事情.

鑒于旋轉(zhuǎn)矩陣的缺點(diǎn)，我們介紹用含有三個(gè)角度參數(shù)的廣義坐標(biāo)來描述剛體位姿.

二、歐拉角的定義

1.歐拉定理

歐拉定理：有一不動(dòng)點(diǎn)的剛體的一般位移是繞某一軸線的轉(zhuǎn)動(dòng).

若把固連于剛體的坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為不動(dòng)點(diǎn)，則剛體的位移不會(huì)包含坐標(biāo)系的平移運(yùn)動(dòng)，只涉及坐標(biāo)系的方向（剛體位姿）的變化.旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)有一個(gè)特征，就是旋轉(zhuǎn)軸的方向不受旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)影響.因此，沿旋轉(zhuǎn)軸方向的任何向量，在初始坐標(biāo)軸和最終坐標(biāo)軸上的分量相同，只要能夠證明某個(gè)向量在初始坐標(biāo)系和最終坐標(biāo)系中坐標(biāo)相同，就可證明歐拉定理.

歐拉定理實(shí)際上也給我們提供了一種表示剛體姿態(tài)的方法：等效軸角坐標(biāo)系法.我們把歐拉定理中的旋轉(zhuǎn)軸稱為等效軸，繞軸的轉(zhuǎn)角稱為等效轉(zhuǎn)角.這樣剛體的任意姿態(tài)都可以選擇適當(dāng)?shù)妮S和角得到.物體繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)姿態(tài)的變化，可用角位移描述.剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可看作剛體繞連續(xù)變化的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)過程，它對(duì)應(yīng)一個(gè)角位移序列.所以，歐拉定理也可以表述為角位移序列等價(jià)于單個(gè)角位移.這樣，角位移序列就可以表示任意旋轉(zhuǎn)，從而歐拉角就誕生了.

2.歐拉角

歐拉角的基本思想是將角位移分解為繞三個(gè)互相垂直軸的三個(gè)旋轉(zhuǎn)組成的序列.三個(gè)相互垂直的軸一般選笛卡兒坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸，順序是任意順序.但不能繞連續(xù)同一旋轉(zhuǎn)軸兩次，這個(gè)很容易理解.比如，先繞x軸轉(zhuǎn)α角，再繞x軸轉(zhuǎn)β角，根據(jù)復(fù)合旋轉(zhuǎn)變換可知等價(jià)于一次繞x軸旋轉(zhuǎn)（α+β）角，所以，一般要求不能繞同一軸連續(xù)轉(zhuǎn)兩次.歐拉角的定義方式不是唯一的，根據(jù)坐標(biāo)系繞其軸的旋轉(zhuǎn)順序不同，存在多種定義方式：首先，繞三個(gè)坐標(biāo)軸中的任意軸轉(zhuǎn)動(dòng)，有三種情形;其次，繞除第一次轉(zhuǎn)軸之外的任意一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，有兩種情形;最后，繞除第二次轉(zhuǎn)軸之外的任意一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，又有兩種情形.因此，總計(jì)存在3×2×2=12種定義方式.一般給出歐拉角參數(shù)表示坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)時(shí)，都需要指出歐拉角的定義方式.

這12種不同順序的歐拉角可分為兩類：歐拉式和卡爾丹式，分別以歐拉和卡爾丹的名字命名.歐拉式是可以繞同一軸旋轉(zhuǎn)兩次，但不是連續(xù)的：X-Y-X，X-Z-X，Y-X-Y，Y-Z-Y，Z-X-Z或Z-Y-Z.卡爾丹式的特點(diǎn)是繞三個(gè)不同的軸旋轉(zhuǎn)：X-Y-Z，X-Z-Y，Y-Z-X，Y-X-Z，Z-X-Y，Z-Y-X.要強(qiáng)調(diào)的是，這里的坐標(biāo)軸是指固連于剛體的坐標(biāo)系的，習(xí)慣上稱為動(dòng)坐標(biāo)系.

一般來說，歐拉角的順序是任意選擇的，但在特定領(lǐng)域，都有其獨(dú)特的約定.在經(jīng)典力學(xué)、天體力學(xué)、應(yīng)用力學(xué)、分子物理學(xué)和固態(tài)物理學(xué)中經(jīng)常采用Z-X-Z順序來設(shè)定歐拉角.

首先，我們?cè)O(shè)參考（全局）坐標(biāo)系為{G}（O-XYZ），剛體坐標(biāo)系為{B}（O-xyz）.為了找到從坐標(biāo)系{G}到坐標(biāo)系{B}的旋轉(zhuǎn)矩陣，我們首先使用剛體坐標(biāo)系B′（O-x′y′z′），在第一次旋轉(zhuǎn)之前，坐標(biāo)系B′與{G}重合，現(xiàn)在B′繞z′軸旋轉(zhuǎn)角φ（如圖1），因?yàn)檫@時(shí)Z軸和z′軸重合，故B′相對(duì)于{G}的姿態(tài)為：

GB′R=Rot（Z，φ）=cos φ-sin φ0sin φcos φ0001

圖1

圖2

經(jīng)典力學(xué)中把繞Z軸旋轉(zhuǎn)的角稱為進(jìn)動(dòng)（precession）角，第一次繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角φ就是進(jìn)動(dòng)角.

其次，考慮以坐標(biāo)系B′為新的參考坐標(biāo)系，現(xiàn)在引入坐標(biāo)系B″（O-x″y″z″）.在第二次旋轉(zhuǎn)前B″和B′重合，現(xiàn)在考慮繞x″軸旋轉(zhuǎn)θ角（如圖2所示），因?yàn)閤″軸和x′軸重合，所以B″相對(duì)于B′的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

B′B″R=Rot（x′，θ）=1000cos θ-sin θ0sin θcos θ

經(jīng)典力學(xué)中把繞x軸旋轉(zhuǎn)的角稱為章動(dòng)（nutation）角，第二次繞x″軸旋轉(zhuǎn)的角θ就是章動(dòng)角.

圖3

最后，再考慮以B″作為新的參考坐標(biāo)系，在第三次旋轉(zhuǎn)前，{B}（O-xyz）和B″重合.現(xiàn)在{B}坐標(biāo)系繞z″軸旋轉(zhuǎn)ψ角（如圖3所示），則{B}相對(duì)于B″的姿態(tài)為：

B″BR=Rot（z″，ψ）=cos ψ-sin ψ0sin ψcos ψ0001

經(jīng)典力學(xué)中把繞z軸旋轉(zhuǎn)的角稱為自轉(zhuǎn)（spin）角，第三次繞z″旋轉(zhuǎn)的ψ角即為自轉(zhuǎn)角.

由旋轉(zhuǎn)矩陣的復(fù)合運(yùn)算，我們可得剛體坐標(biāo)系相對(duì)于參考坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣：

GBR=GB′RB′B″RBB″R=cos φ-sin φ0sin φcos φ00011000cos θ-sin θ0sin θcos θcos ψ-sin ψ0sin ψcos ψ0001?????? =cos φcos ψ-cos θsin φsin ψ -cos φsin ψ-cos θcos ψsin φ sin θsin φcos ψsin φ+cos θcos φsin ψ -sin φsin ψ+cos θcos φcos ψ -cos φsin θ??? sin θsin ψ? ???????sin θcos ψ????? cos θ

根據(jù)上面的討論知，這種歐拉角定義方式為Z-X-Z順序.上式給出了用歐拉角表示剛體姿態(tài)的矩陣，可以證明此矩陣仍然是正交矩陣，只要證明：GBRGBRT=E.

cos φcos ψ-cos θsin φsin ψ -cos φsin ψ-cos θcos ψsin φ sin θsin φcos ψsin φ+cos θcos φsin ψ -sin φsin ψ+cos θcos φcos ψ -cos φsin θ??? sin θsin ψ???????? sin θcos ψ????? cos θ

仍然是正交矩陣，它和剛體某個(gè)姿態(tài)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣相等，也就是說，知道Z-X-Z定義的三個(gè)歐拉角φ，θ，ψ，就可以寫出對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣.現(xiàn)在考慮它的逆問題，也就是知道旋轉(zhuǎn)矩陣，求出Z-X-Z定義的三個(gè)歐拉角.假設(shè)旋轉(zhuǎn)矩陣為：

R=r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33

則有

cos φcos ψ-cos θsin φsin ψ -cos φsin ψ-cos θcos ψsin φ sin θsin φcos ψsin φ+cos θcos φsin ψ -sin φsin ψ+cos θcos φcos ψ -cos φsin θ??? sin θsin ψ???????? sin θcos ψ????? cos θ=r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33.

由兩矩陣相等，對(duì)應(yīng)元素相等，可得

r11=cos φcos ψ-cos θsin φsin ψ， r12=-cos φsin ψ-cos θcos ψsin φr13=sin θsin φ， r21=cos ψsin φ+cos θcos φsin ψr22=-sin φsin ψ+cos θcos φcos ψ， r23=-cos φsin θ，r31=sin θsin ψr32=sin θcos ψ， r33=cos θ

在經(jīng)典力學(xué)中，通常假設(shè)

0≤φ≤2π，0≤θ≤π，0≤ψ≤2π.

當(dāng)sin θ≠0（θ=0或π）時(shí)，由r33=cos θ，得θ=arccos r33.由r13=sin θsin φ和

r23=-cos φsin θ，得

φ=-arctanr13r23或φ=π-arctanr13r23.

由r31=sin θsin ψ及r32=sin θcos ψ，得

ψ=arctanr31r32或ψ=π+arctanr31r32.

這樣由r13r23確定的φ的正切值，利用反正切函數(shù)求出的φ有兩個(gè)，不能確定哪一個(gè)是我們需要的φ.同理，求ψ時(shí)也會(huì)遇到這種情況.為了解決這個(gè)問題，我們需要知道sin φ和cos φ的符號(hào).由正弦和余弦符號(hào)確定角所在象限的規(guī)則如下：

（1）sin φ為正，cos φ為正，φ在第一象限，且φ=arctansin φcos φ;

（2）sin φ為正，cos φ為負(fù)，φ在第二象限，且φ=π+arctansin φcos φ;

（3）sin φ為負(fù)，cos φ為負(fù)，φ在第三象限，且φ=π+arctansin φcos φ;

（4）sin φ為負(fù)，cos φ為正，φ在第四象限，且φ=arctansin φcos φ.

在matlab計(jì)算軟件中，用雙變量反正切函數(shù)atan 2（sin φ，cos φ）來計(jì)算arctansin φcos φ，這樣做的好處就在于可以根據(jù)sin φ，cos φ的符號(hào)來確定φ所在的象限.例如，atan222，22=45°，而atan2-22，-22=-135°，利用單變量反正切函數(shù)計(jì)算結(jié)果一樣，都是45°，不能區(qū)分這兩個(gè)角.

在這里求歐拉角φ，θ，ψ時(shí)，我們也采用雙變量反正切函數(shù).因?yàn)橐阎猺33=cos θ，

現(xiàn)在需要求出sin θ，由r312+r322=sin 2θsin 2ψ+sin 2θcos 2ψ=sin 2θ，得sin θ=r312+r322，所以

θ=atan 2r312+r322，r33.

因此，sin φ=r13r312+r322，cos φ=-r23r312+r322，所以

φ=atan 2r13r312+r322，-r23r312+r322.

同樣可得，sin ψ=r31r312+r322，cos ψ=r32r312+r322，所以

ψ=atan 2r31r312+r322，r32r312+r322.

在求sin θ時(shí)，之所以取r312+r322的正平方根，是因?yàn)橐?≤θ≤π.若θ=0°或180°時(shí)，用上邊的公式就不能求出φ和ψ了，這種情況稱為解退化.這時(shí)，只能求出φ和ψ的和或差：

當(dāng)θ=0°時(shí)，cos θ=1，由r11=cos φcos ψ-sin φsin ψ=cos （φ+ψ）和

r21=cos ψsin φ+cos φsin ψ=sin （φ+ψ），得φ+ψ=atan 2（r21，r11）.

當(dāng)θ=180°時(shí)，cos θ=-1，由r11=cos φcos ψ+sin φsin ψ=cos （φ-ψ）和r21=cos ψsin φ-cos φsin ψ=sin （φ-ψ），得φ-ψ=atan 2（r21，r11）.

根據(jù)前面的旋轉(zhuǎn)圖可知，當(dāng)θ=0°時(shí)，Ox′y′坐標(biāo)平面和OXY坐標(biāo)平面重合，x′軸的位置不確定，φ和ψ不確定，表明歐拉角在幾何上具有奇點(diǎn).當(dāng)θ=180°時(shí)，Ox′y′坐標(biāo)平面和OXY坐標(biāo)平面也重合，只是y′軸和z′軸的正向與Y軸和Z軸正向相反.

基于Z-X-Z順序歐拉角的特點(diǎn)，經(jīng)常用來描述章動(dòng)角θ不變，而進(jìn)動(dòng)角速度φ·和自轉(zhuǎn)角速度ψ·為勻速運(yùn)動(dòng)的剛體.

在量子力學(xué)、核物理學(xué)和粒子物理學(xué)中，習(xí)慣上采用Z-Y-Z順序定義的歐拉角，它和Z-X-Z順序的區(qū)別在于第二次旋轉(zhuǎn)是繞中間軸y″旋轉(zhuǎn)的.對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

GBR=cos φ-sin φ0sin φcos φ0001cos θ0sin θ010-sin θ0cos θcos ψ-sin ψ0sin ψcos ψ0001 =cos φsin θcos ψ-sin φsin ψ -cos φcos θsin ψ-sin φcos ψ cos φsin θsin φcos θcos ψ+cos φsin ψ -sin φcos θsin ψ+cos φcos ψ sin φsin θ?? -sin θcos ψ?????? sin θsin ψ??????? cos θ

同樣假設(shè)

r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33=cos φsin θcos ψ-sin φsin ψ -cos φcos θsin ψ-sin φcos ψ cos φsin θsin φcos θcos ψ+cos φsin ψ -sin φcos θsin ψ+cos φcos ψ sin φsin θ?? -sin θcos ψ?????? sin θsin ψ??????? cos θ

則和Z-X-Z順序類似，可以得到：

θ=atan 2（r132+r232，r33）

φ=atan 2r23r132+r232，r13r132+r232

ψ=atan 2r32r132+r232，-r31r132+r232

當(dāng)θ=0°或180°時(shí)，也是無法求出φ和ψ角.

上面這兩種順序的歐拉角，當(dāng)θ→0°時(shí)，即z軸接近Z軸時(shí)，φ和ψ角就無法區(qū)分開了.為了解決這個(gè)問題，可以使三次轉(zhuǎn)動(dòng)繞不同的軸轉(zhuǎn)動(dòng).在航空、航天及航海領(lǐng)域，采用的就是繞三個(gè)不同軸旋轉(zhuǎn)的歐拉角，即卡爾丹式歐拉角，也稱泰特-布萊恩角或?qū)Ш浇?對(duì)于飛行器或地面車輛，通常定義x軸方向?yàn)榍斑M(jìn)方向，z軸方向?yàn)榇怪毕蛳路较颍瑈軸方向?yàn)橛沂址较?飛機(jī)的坐標(biāo)系如圖4.

圖4

圖5

地理坐標(biāo)系采用北-東-地坐標(biāo)系，如圖5.

我們采用Z-Y-X順序的歐拉角描述飛機(jī)坐標(biāo)系{B}相對(duì)于地理坐標(biāo)系{G}的姿態(tài).初始狀態(tài){B}和{G}重合，然后{B}坐標(biāo)系繞zb軸旋轉(zhuǎn)ψ角，接著再繞yb軸旋轉(zhuǎn)θ角，最后繞xb軸旋轉(zhuǎn)φ角.ψ，θ，φ習(xí)慣上稱為偏航角、俯仰角和滾轉(zhuǎn)角.則飛機(jī)坐標(biāo)系{B}相對(duì)于地理坐標(biāo)系{G}的姿態(tài)為：

GBR=cos ψsin ψ0

-sin ψcos ψ0

001cos θ0-sin θ

010

sin θ0cos θ100

0cos φsin φ

0-sin φcos φ

=cos θcos ψ sin φsin θcos ψ-cos φsin ψ cos φsin θcos ψ+sin φsin ψ

cos θsin ψ sin φsin θsin ψ+cos φcos ψ cos φsin θsin ψ-sin φcos ψ

-sin θ???? sin φcos θ???????? cos φcos θ

同樣給出一個(gè)姿態(tài)矩陣，可以確定相應(yīng)的歐拉角，當(dāng)cos θ≠0時(shí)，有：

θ=atan 2（-r31，r112+r212）

φ=atan 2r32r112+r212，r33r112+r212

ψ=atan 2r12r112+r212，r11r112+r212

當(dāng)θ=±π2時(shí)，解不唯一，在幾何上稱為奇異點(diǎn).當(dāng)飛機(jī)在做垂直翻筋斗飛行時(shí)，該動(dòng)作可以用俯仰角在-π<θ≤π范圍內(nèi)連續(xù)變化來表示，滾轉(zhuǎn)角和偏航角都為0.實(shí)際上，我們可限制俯仰角在-π2≤θ≤π2內(nèi)，因?yàn)樵趯?shí)際飛行中，飛機(jī)很少達(dá)到或超過這個(gè)范圍飛行，在地面車輛和艦船中更不可能出現(xiàn)大的俯仰角.當(dāng)飛機(jī)俯仰角達(dá)到π2時(shí)，允許滾轉(zhuǎn)角和偏航角突然從0變?yōu)棣谢《龋@時(shí)飛機(jī)顛倒并且反向飛行.當(dāng)飛機(jī)俯仰角達(dá)到π2時(shí)，機(jī)頭豎直向上，通過姿態(tài)零點(diǎn)之后，俯仰角逐漸減小，當(dāng)機(jī)頭豎直向下時(shí)，俯仰角達(dá)到-π2，滾轉(zhuǎn)角和偏航角又變回0.這樣一來，除了俯仰角為±π2以外，歐拉角都是唯一確定的.

在描述機(jī)械手姿態(tài)時(shí)，也可使用RPY角，其中繞接近軸a 軸旋轉(zhuǎn)稱為滾動(dòng)，繞方向軸o軸旋轉(zhuǎn)稱為俯仰，繞法線軸n軸旋轉(zhuǎn)稱為偏航.

除了上邊介紹的繞剛體坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的歐拉角之外，還有繞參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的角坐標(biāo)系.比如，X-Y-Z固定角坐標(biāo)系，也就是固定RPY角坐標(biāo)系.

歐拉角應(yīng)用廣泛，除了前邊所提到的之外，它還可以用來描述3D游戲軸物體的姿態(tài)、導(dǎo)彈及衛(wèi)星的姿態(tài)，是慣性導(dǎo)航中描述載體姿態(tài)的一種很重要的方法.

三、結(jié) 論

從前邊的討論知，歐拉角在描述姿態(tài)時(shí)有很多優(yōu)點(diǎn)，它使用最少的參數(shù)，三個(gè)角度，而且具有明顯直觀的物理意義，符合人們思考姿態(tài)的方式.在使用計(jì)算軟件計(jì)算時(shí)，也只要輸入三個(gè)角度，很方便.但歐拉角也有表達(dá)方式不唯一，有奇點(diǎn)，當(dāng)兩連續(xù)旋轉(zhuǎn)軸共線時(shí)還會(huì)出現(xiàn)萬向節(jié)死鎖類似的問題.另外，在進(jìn)行歐拉角插值時(shí)也會(huì)出現(xiàn)很多問題.這些問題有些可以通過對(duì)歐拉角取值范圍進(jìn)行限制來解決，有些是采用這種最簡(jiǎn)表示法的一種不幸的后果，需采用其他方法描述姿態(tài)，才能避開這種問題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]Herbert Goldstein，Charles Poole，John Safko.經(jīng)典力學(xué)：第3版[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]布賴恩·L.史蒂文斯，弗蘭克·L.劉易斯.飛機(jī)控制與仿真：第2版[M]. 唐長紅，等譯.北京：航空工業(yè)出版社， 2017.

[3]Fletcher Dunn，Ian Parberry.3D數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：圖形與游戲開發(fā)[M]. 史銀雪，陳洪，王榮靜，譯.北京：清華大學(xué)出版社， 2005.